2023年江苏省南京市南师附中九年级特长生考试数学试题（月考）

这是一份2023年江苏省南京市南师附中九年级特长生考试数学试题（月考），共6页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、填空题
1．若，则______．
2．方程的解为______．
3．5张“一诚卡”上分别写着数字1、1、2、2、3，从中任意抽取3张，则这3个数字可以作为三角形三边的边长的概率为______．
4．如图，中，D，E在BC上，，，若，，则______．
5．已知质数x，y，z满足，则______．
二、解答题
6．已知方程（k为常数）
（1）求证：该方程恒有两个不相等的实数根
（2）设该方程的两个实根为，，求的最小值．
7．因式分解：（1）；（2）．
8．如图，的外心为O，垂心为H，D为BC的中点．求证：．
数学加试
1．已知，，，求的值．
2．已知方程有正根，求a的取值范围．
3．如图，内切于半径为3，圆心角为60°的扇形中，与外切，与扇形内切，求的半径．
4．已知n，k均为正整数，且对于每一个确定的n，满足不等式的k仅有一个，求n的最大值与最小值．
信息加试
1．已知，，，求的值．
2．已知方程有正根，求a的取值范围．
3．已知整数a，b，c满足，且其中任意两数之和是第三个数的整数倍，求所有可能的值。
4、已知n为正整数，且和都是完全平方数，求证：n是40的倍数．
2023南师附中特长生考试
综合卷（数学试题）
一、填空题
1．【解析】因为，所以，所以，
整理得，所以．
2．【解析】因为
所以，所以，
所以，
所以．
3．【解析】5张一诚卡片任选3张，共有10种选法，其中可以作为三角形三边的边长的选法有：（共2种选法），，共3种选法，所以所求概率为．
4．【解析】由可得，故．
又因为，所以，
所以，所以，
所以，所以．
5．【解析】由可知，不妨设，
则，则，
结合y，z为质数，易得或，
所以．
二、解答题
6．【解析】（1）原方程可化为：，
所以原方程的两根为2和，
又因为，
所以该方程恒有两个不相等的实数根．
（2）由（1）可得，所以的最小值为1．
7．（1）【解析】设，则原式
．
（2）【解析】原式．
8．【解析】过点B作圆O的直径BE，连接AE，CE，CH．
因为H为的垂心，所以，
因为BE为圆O的直径，所以
所以，同理可证，
所以四边形AHCE是平行四边形，所以．
又因为D为BC的中点，O为BE的中点，所以．
所以．
数学加试
1．【解析】设，
则，
则，
所以．
2．【解析】设t为方程的正根，
则，
则，
设，则，
由t为正数可得，所以a的取值范围是．
3．【解析】设扇形的圆心为A，与扇形的弧切于点B，与扇形的半径切于点C，与扇形的半径切于点F，连接AB，OC，EF，AE，OE，过E作于点D．
由题可知，A，O，B共线，直角中，所以，
所以，所以，即的半径为1．
设的半径为r，则，
则直角中，，，，则．
则直角中，，，，，
由勾股定理可得：，解得：．
又因为，所以，即的半径为．
4．【解析】原不等式可化为，
因为满足该不等式的k仅有一个，所以，解得：．
且当时，，恰有一个整数解，符合题意．
所以n的最大值为40．
另一方面，因为n，k均为正整数，
所以由可得，
即，解得：．
且当时，，恰有一个整数解，符合题意．
所以n的最小值为9．
信息加试
1．【解析】设，
则，
则，
所以．
2．【解析】设t为方程的正根，
则，
则，
设，则，
由t为正数可得，所以a的取值范围是．
3．【解析】由已知得：
为整数，且，故．
为负整数，故，所以，所以．
所以，则只可能是-1或0．
4．【解析】设，，其中a，b都为正整数．
①因为a为奇数，所以，所以，
所以b为奇数，所以，所以，所以．
②对于任意整数x，有，1，4．
因为，所以只可能是，
故，所以，所以．
综合①②可得，即n是40的倍数．