第五章《函数的概念和性质》同步练习高中数学苏教版（2019）必修第一册

这是一份第五章《函数的概念和性质》同步练习高中数学苏教版（2019）必修第一册，共23页。
专题练习《函数的概念和性质》
一．选择题（共12小题）
1．已知函数为偶函数，则2a+b＝（　　）
A．3 B． C． D．
2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（﹣1）＝﹣1，则f（2020）+f（2021）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
3．函数y＝（）的值域为（　　）
A．[） B．（﹣∞，2] C．（0，] D．（0，2]
4．已知﹣2≤x≤﹣1，则下列函数中与函数y＝x不相同的函数是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣|x| D．y＝
5．下列函数中既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．f（x）＝﹣ B．f（x）＝3x C．y＝log3x D．f（x）＝
6．设a＝1.20.2，b＝0.91.2，c＝0.3﹣0.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（　　）倍．
A．lg4.5 B．4.510 C．450 D．104.5
8．以下关于函数f（x）＝2x的说法正确的是（　　）
A．f（mn）＝f（m）f（n） B．f（mn）＝f（m）+f（n）
C．f（m+n）＝f（m）+f（n） D．f（m+n）＝f（m）f（n）
9．有下列各式：①；②；③；④
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．已知a＝lg2，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
11．设，则a，b，c的大小顺序为（　　）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
12．已知幂函数在（0，+∞）上单调递减，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．﹣1
二．填空题（共4小题）
13．正实数a，b，c满足a+2﹣a＝2，b+3b＝3，c+log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为 　 　．
14．已知函数f（x）＝log3（x2﹣ax+2a）在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为 　 　．
15．已知偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断：
（1）f（5）＝0；
（2）f（x）在[1，2]上是减函数；
（3）函数y＝f（x）没有最小值；
（4）函数f（x）在x＝0处取得最大值；
（5）f（x）的图象关于直线x＝1对称．
其中正确的序号是　 　．
16．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，如果它的值域恰好也是[﹣1，1]，那么f（x）的解析式可以是 　 　.（写出一个即可）
三．解答题（共4小题）
17．已知函数f（x）＝（a∈R），且f（1）＝5．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在区间（0，2）上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（2x）≥2f（x）．
19．已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．
（1）若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数的值域；
（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．
20．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（，2），
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）定义：若函数自变量的取值区间为（a，b），其值域区间为（2a，2b），则称区间A为该函数的倍值区间．
（1）试求函数f（x）的形如（0，c）（c∈R）的倍值区间；
（2）设函数g（x）＝|f（x）﹣3x|，试求函数g（x）的所有倍值区间．

《函数的概念和性质》
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．已知函数为偶函数，则2a+b＝（　　）
A．3 B． C． D．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由已知结合偶函数定义可得f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），代入可求a，b，进而可求．
【解答】解：因为为偶函数，
所以f（﹣1）＝f（1），f（﹣2）＝f（2），
所以﹣a+b＝2，9＝﹣8a+b，
解得，a＝﹣1，b＝1，此时f（x）＝为偶函数，满足题意，
则2a+b＝＝．
故选：B．
【点评】本题主要考查了偶函数定义的应用，属于基础题．
2．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）＝f（x+4），且f（﹣1）＝﹣1，则f（2020）+f（2021）＝（　　）
A．﹣1 B．0 C．1 D．2
【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据条件判断函数的周期是4，再利用函数的奇偶性和周期性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝f（x+4），
∴f（x）是周期为4的周期函数，
则f（2020）+f（2021）＝f（2020+0）+f（2020+1）＝f（0）+f（1），
∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，
由f（﹣1）＝﹣1，得f（1）＝1，
则f（2020）+f（2021）＝f（0）+f（1）＝0+1＝1，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键，是基础题．
3．函数y＝（）的值域为（　　）
A．[） B．（﹣∞，2] C．（0，] D．（0，2]
【考点】函数的值域．【专题】计算题．
【分析】由二次函数可得x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，由复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和值域可得答案．
【解答】解：令函数t（x）＝x2﹣2x，由二次函数的知识可知：
当x＝1时，函数t（x）取到最小值﹣1，故t（x）≥﹣1，
因为函数y＝为减函数，故≤＝2
又由指数函数的值域可知，
故原函数的值域为：（0，2]
故选：D．
【点评】本题为函数值域的求解，熟练掌握二次函数和指数函数以及复合函数的单调性是解决问题的关键，属基础题．
4．已知﹣2≤x≤﹣1，则下列函数中与函数y＝x不相同的函数是（　　）
A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣|x| D．y＝
【考点】判断两个函数是否为同一函数【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．
【解答】解：对于A，y＝＝x（﹣2≤x≤﹣1），与y＝x（﹣2≤x≤﹣1）的定义域相同，对应关系相同，是同一函数；
对于B，y＝＝|x|＝﹣x（﹣2≤x≤﹣1），与y＝x（﹣2≤x≤﹣1）的对应关系不同，不是同一函数；
对于C，y＝﹣|x|＝x（﹣2≤x≤﹣1），与y＝x（﹣2≤x≤﹣1）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数；
对于D，y＝＝x（﹣2≤x≤﹣1），与y＝x（﹣2≤x≤﹣1）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．
故选：B．
【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的问题，是基础题．
5．下列函数中既是奇函数又是增函数的为（　　）
A．f（x）＝﹣ B．f（x）＝3x C．y＝log3x D．f（x）＝
【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数单调性的性质与判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】由常见函数的单调性与奇偶性逐一判断即可．
【解答】解：对于A，f（x）＝﹣是奇函数，在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增，不符合题意；
对于B，f（x）＝3x是非奇非偶函数，不符合题意；
对于C，y＝log3x是非奇非偶函数，不符合题意；
对于D，f（x）＝是奇函数，且在R上是增函数，符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的判断，熟练掌握常见函数的性质是解题的关键，属于基础题．
6．设a＝1.20.2，b＝0.91.2，c＝0.3﹣0.2，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【考点】有理数指数幂及根式．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用有理指数幂和幂函数的单调性分别求得a，b，c的范围即可得答案．
【解答】解：∵a＝1.20.2，b＝0.91.2＜0.90＝1，
又y＝x0.2在（0，+∞）上单调递增，
∴1＜a＝1.20.2＜0.3﹣0.2＝（）0.2，
∴b＜a＜c，
故选：C．
【点评】本题考查数的大小比较，考查有理指数幂与幂函数的单调性，是基础题．
7．尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解．例如，地震释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lgE＝4.8+1.5M．据此推断里氏8.0级地震所释放的能量是里氏5.0级地震所释放的能量的（　　）倍．
A．lg4.5 B．4.510 C．450 D．104.5
【考点】对数的运算性质．【专题】计算题；转化思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】可设8.0级地震释放出的能量为E1，5.0级地震释放出的能量为E2，根据条件得到lgE1﹣lgE2＝4.5，然后进行对数的运算，即可求出答案．
【解答】解：设8.0级地震释放出的能量为E1，5.0级地震释放出的能量为E2，则lgE1﹣lgE2＝4.5，
∴，∴．
故选：D．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
8．以下关于函数f（x）＝2x的说法正确的是（　　）
A．f（mn）＝f（m）f（n） B．f（mn）＝f（m）+f（n）
C．f（m+n）＝f（m）+f（n） D．f（m+n）＝f（m）f（n）
【考点】有理数指数幂及根式．【专题】探究型；函数思想；数学模型法；函数的性质及应用．
【分析】由有理指数幂的运算性质逐一分析四个选项得答案．
【解答】解：∵f（x）＝2x，
∴f（mn）＝2mn，f（m）f（n）＝2m•2n＝2m+n，
f（m+n）＝2m+n，f（m）+f（n）＝2m+2n，
则f（m+n）＝f（m）f（n）．
故选：D．
【点评】本题考查有理指数幂的运算性质，是基础题．
9．有下列各式：①；②；③；④
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【考点】有理数指数幂及根式．【专题】计算题；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用指数幂的运算性质即可判断出．
【解答】解：由n次方根的定义可知①对，
∵＝＝，∴②是错的；
∵•＝a＝，∴③是错的
∵a2+b2不是完全平方式，开不出来，所以④是错的．
所以，只有①对．
故选：B．
【点评】本题考查了指数幂和根式的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．
10．已知a＝lg2，b＝log23，c＝log34，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞b＞c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b
【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；集合思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】可根据对数函数的单调性及对数的运算得出，然后即可得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：lg2＜lg10＝1，，，
∴a＜c＜b．
故选：C．
【点评】本题考查了对数的运算性质，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
11．设，则a，b，c的大小顺序为（　　）
A．a＜c＜b B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【考点】对数值大小的比较．【专题】计算题；对应思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先构造函数f（x）＝，再判断单调性，即可求解．
【解答】解：设f（x）＝，则f′（x）＝，
当x∈（0，e）时，则f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（e，+∞）时，则f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∵2＜＜e，
∴＜＜，
∴c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题考查三个数大小的比较，其中构造函数再判断单调性是关键，属于中档题．
12．已知幂函数在（0，+∞）上单调递减，则m的值为（　　）
A．0 B．1 C．0或1 D．﹣1
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】根据幂函数的定义与性质，列方程和不等式求出m的值．
【解答】解：幂函数在（0，+∞）上单调递减，
所以，
解得，
即m＝0．
故选：A．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．
二．填空题（共4小题）
13．正实数a，b，c满足a+2﹣a＝2，b+3b＝3，c+log4c＝4，则实数a，b，c之间的大小关系为 　c＞a＞b　．
【考点】对数值大小的比较【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据指数函数、对数函数和一次函数的单调性即可得出a，b，c的范围，进而得出a，b，c的大小关系．
【解答】解：∵a+2﹣a＝2，a＞0，∴0＜2﹣a＜1，∴1＜a＜2，
∵b+3b＝3，b＞0，∴1＜3b＜3，∴0＜b＜1，
∵c+log4c＝4，c＞0，，∴2＜c＜4，
∴c＞a＞b．
故答案为：c＞a＞b．
【点评】本题考查了一次函数、指数函数和对数函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题．
14．已知函数f（x）＝log3（x2﹣ax+2a）在（1，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围为 　[﹣1，2]　．
【考点】复合函数的单调性．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由题意，利用复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，求得a的范围．
【解答】解：∵函数f（x）＝log3（x2﹣ax+2a）在（1，+∞）上单调递增，
∴函数t（x）＝x2﹣ax+2a 在（1，+∞）上单调递增，且t（x）＞0，
∴，求得﹣1≤a≤2，
故答案为：[﹣1，2]．
【点评】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、二次函数的性质，属于中档题．
15．已知偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，且满足f（1﹣x）+f（1+x）＝0，给出下列判断：
（1）f（5）＝0；
（2）f（x）在[1，2]上是减函数；
（3）函数y＝f（x）没有最小值；
（4）函数f（x）在x＝0处取得最大值；
（5）f（x）的图象关于直线x＝1对称．
其中正确的序号是　①②④　．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】函数的性质及应用．
【分析】分别利用函数的奇偶性，单调性和周期性进行推理和判断，由f（1﹣x）+f（1+x）＝0得到f（1+x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），得到函数的周期为4．f（x+2）＝﹣f（x），
【解答】解：
（1）由f（1﹣x）+f（1+x）＝0
得到f（1+x）＝﹣f（1﹣x）＝﹣f（x﹣1），
设t＝x﹣1．x＝t+1，∴f（t+2）＝﹣f（t），f（t+4）＝f（t）
所以f（4+x）＝f（x），所以函数的周期是4．
当x＝0时，f（1）+f（1）＝0，
所以f（1）＝0，
因为f（5）＝f（4+1）＝f（1）＝0，所以①正确．

（2）因为y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，周期为4，f（x+2）＝﹣f（x），所以函数在区间[1，2]上单调递减，所以②正确．
（3）函数有最小值，也有最大值，且是相反数，故③错，
（4）∵偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，f（x+2）＝﹣f（x），
∴函数f（x）在x＝0处取得最大值；
（5）因为y＝f（x）是偶函数，所以f（2+x）＝﹣f（x），f（1）＝0所以函数关于（1，0）对称．故⑤错误
因为偶函数y＝f（x）（x∈R）在区间[﹣1，0]上单调递增，则在[0，1]上单调递减，且周期为4，所以y＝f（x）在x＝0处取得最大值，在x＝﹣1时取得f（﹣1）＝0．所以④正确，⑤错误．
故答案为：①②④
【点评】本题主要考查函数的奇偶性，单调性和周期性的综合应用，要求熟练掌握相应的性质．
16．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，如果它的值域恰好也是[﹣1，1]，那么f（x）的解析式可以是 　f（x）＝2x2﹣1　.（写出一个即可）
【考点】函数奇偶性的性质与判断．【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，故可构造函数模型，根据模型的性质，利用待定系数法求解方程即可
【解答】解：因为f（x）是定义在[﹣1，1]上的偶函数，
故可构造函数模型：f（x）＝ax2+b，
又f（x）的值域恰好也是[﹣1，1]，
所以可令函数经过（0，﹣1），（1，1），（﹣1，1），
所以可得f（0）＝b＝﹣1，f（1）＝a+b＝1，
解得a＝2，b＝﹣1，所以f（x）＝2x2﹣1，
故答案为：f（x）＝2x2﹣1，（答案不唯一）．
【点评】本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属于基础题．
三．解答题（共4小题）
17．已知函数f（x）＝（a∈R），且f（1）＝5．
（1）求a的值；
（2）判断f（x）在区间（0，2）上的单调性，并用单调性的定义证明你的判断．
【考点】函数单调性的性质与判断；函数的值．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学抽象．
【分析】（1）由f（1）＝5直接代入即可求解a；
（2）先设0＜x1＜x2＜2，然后利用作差法比较f（x1）与f（x2）的大小即可判断．
【解答】解：（1）因为f（x）＝，
所以f（1）＝1+a＝5，
所以a＝4；
（2）f（x）＝＝x+在（0，2）上单调递减，证明如下：
设0＜x1＜x2＜2，
所以x1﹣x2＜0，1﹣＜0，
则f（x1）﹣f（x2）＝＝＝（x1﹣x2）（1﹣）＞0，
所以f（x1）＞f（x2），
所以f（x）在区间（0，2）上单调递减．
【点评】本题主要考查了待定系数求解函数解析式，还考查了函数单调性定义在单调性判断中的应用，属于基础题．
18．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3．
（1）求f（x）的解析式；
（2）解不等式f（2x）≥2f（x）．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数解析式的求解及常用方法．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）由题意，利用函数的奇偶性的定义，求出函数的解析式．
（2）由题意，分类讨论，利用指数函数的单调性，求出不等式的解集．
【解答】解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0，f（x）＝2x+3，
设x＜0，则﹣x＞0，∴f（x）＝f（﹣x）＝2﹣x+3．
综上，可得f（x）＝．
（2）当x≥0时，由不等式f（2x）≥2f（x）可得，22x+3≥2（2x+3），即22x﹣2×2x﹣3≥0，
求得2x≥3，或2x≤﹣1（舍去），∴x≥log23．
当x＜0时，由不等式f（2x）≥2f（x）可得，2﹣2x+3≥2（2﹣x+3），即2﹣2x﹣2×2﹣x﹣3≥0，
求得2﹣x≥3，或 2﹣x≤﹣1（舍去），
∴x≤﹣log23．
综上，不等式的解集为{x|x≥log23或x≤﹣log23 }．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性的应用，指数不等式的解法，属于中档题．
19．已知函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数．
（1）若函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），求函数的值域；
（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求a+b的值．
【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）由题意先求得a、b的值，可得函数的解析式，利用指数函数的性质求得函数的值域．
（2）根据函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，求得a、b的值，可得a+b的值．
【解答】解：（1）函数f（x）＝ax+b（a＞0，a≠1），其中a，b均为实数，
函数f（x）的图象经过点A（0，2），B（1，3），∴，
∴，∴函数f（x）＝2x+1＞1，函数＝＜1．
又＝＞0，故函数的值域为（0，1）．
（2）如果函数f（x）的定义域和值域都是[﹣1，0]，
若a＞1，函数f（x）＝ax+b为增函数，∴，求得a、b无解．
若0＜a＜1，函数f（x）＝ax+b为减函数，∴，求得，
∴a+b＝﹣．
【点评】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式，指数函数的单调性与特殊点，属于基础题．
20．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（，2），
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）定义：若函数自变量的取值区间为（a，b），其值域区间为（2a，2b），则称区间A为该函数的倍值区间．
（1）试求函数f（x）的形如（0，c）（c∈R）的倍值区间；
（2）设函数g（x）＝|f（x）﹣3x|，试求函数g（x）的所有倍值区间．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求函数f（x）的解析式即可；
（Ⅱ）（1）由题意可知幂函数f（x）＝x2 在区间（0，c）上单调递增，则2c＝c2，解出c的值即可；（2）根据函数的倍值区间的定义，分情况讨论，求出函数g（x）的所有倍值区间．
【解答】解：（Ⅰ）设幂函数f（x）＝xα（α为常数），
∵幂函数y＝f（x）图象过点（，2），
∴，∴α＝2，
∴幂函数f（x）＝x2；
（Ⅱ）（1）∵幂函数f（x）＝x2，在区间（0，c）上单调递增，
∴2c＝c2，解得c＝0或2，
又∵c＞0，
∴所求区间为（0，2）；
（2）显然，因为函数值非负，所以区间左端点非负．
①若所求区间为（0，c）（c∈R）型区间，则|c2﹣3c|＝2c，解得c＝1或5；
经检验，（0，1），（0，5）均符合条件；
②若2c为抛物线顶点纵坐标，则，但，不合题意，舍去；
③若所求区间不是（0，c）型区间，显然区间右端点不能超过3，且左端点应大于，
在该单调减区间内，则 该方程组无解，
故所求区间为（0，1），（0，5）；
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，考查了新定义问题，准确理解新定义的内容是解题关键，属于中档题．
考点卡片
1．判断两个函数是否为同一函数
【知识点的认识】函数的构成要素：定义域、对应关系、值域．
所以判断两个函数是不是同一函数，就看定义域和对应法则是否一样．
【解题方法点拨】判断函数是否是同一个函数，一般是同解变形化简函数的表达式，考察两个函数的定义域是否相同，对应法则是否相同．
【命题方向】高考中以小题出现，选择题与填空题的形式，由于函数涉及知识面广，所以函数是否为相同函数命题比较少．
2．函数的值域
【知识点的认识】函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．A是函数的定义域．
【解题方法点拨】（1）求函数的值域
此类问题主要利用求函数值域的常用方法：配方法、分离变量法、单调性法、图象法、换元法、不等式法等．
无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域．
（2）函数的综合性题目
此类问题主要考查函数值域、单调性、奇偶性、反函数等一些基本知识相结合的题目．
此类问题要求考生具备较高的数学思维能力和综合分析能力以及较强的运算能力．
在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强．
（3）运用函数的值域解决实际问题
此类问题关键是把实际问题转化为函数问题，从而利用所学知识去解决．此类题要求考生具有较强的分析能力和数学建模能力．
【命题方向】函数的值域及其求法是近几年高考考查的重点内容之一，有时在函数与导数的压轴题中出现，是常考题型．
3．函数解析式的求解及常用方法
【知识点的认识】通过求解函数的解析式中字母的值，得到函数的解析式的过程就是函数的解析式的求解．
求解函数解析式的几种常用方法主要有
1、换元法；2、待定系数法；3、凑配法；4、消元法；5、赋值法等等．
【解题方法点拨】常常利用函数的基本性质，函数的图象特征，例如二次函数的对称轴，函数与坐标轴的交点等；利用函数的解析式的求解方法求解函数的解析式，有时利用待定系数法．
例1：已知曲线y＝x2+2x在点（1，f（1））处的切线为l．求l的方程．
解：∵y＝x2+2x，
∴y'＝2x+2，当x＝1时，y'＝4得切线的斜率为4，所以k＝4；
所以曲线在点（1，3）处的切线方程为：
y﹣3＝4×（x﹣1），即4x﹣y﹣1＝0．
故l的方程为：4x﹣y﹣1＝0
我们从这个题当中可以发现求直线方程的一般规律，第一：求出函数的斜率，切线的斜率就是该点的导数，如果是两个点的情况则可以用两点法求出斜率；第二：找到直线必过的一个点，用点斜式即可求出．（当然还有其他的，比方说截距式）
例2：若函数y＝f（x）与y＝ex+1的图象关于直线y＝x对称，则f（x）＝
解：函数y＝ex+1的图象与函数y＝f（x）的图象关于直线y＝x对称，
所以f（x）是y＝ex+1的反函数，
x＝lny﹣1（y＞0）
即f（x）＝lnx﹣1，（x＞0）
故答案为：lnx﹣1，（x＞0）
本例题体现了根据函数图象或者两条曲线的关系来求另一条直线的途径，这里面根据关于y＝x对称，推知要求的是该函数的反函数，这也是常考的题型，望重视．
【命题方向】求解函数解析式是高考重点考查内容之一，在三角函数的解析式中常考．是基础题．
4．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
5．复合函数的单调性
【知识点的认识】
所谓复合函数就是由两个或两个以上的基本函数构成，这种函数先要考虑基本函数的单调性，然后再考虑整体的单调性．平常常见的一般以两个函数的为主．
【解题方法点拨】
求复合函数y＝f（g（x））的单调区间的步骤：
（1）确定定义域；
（2）将复合函数分解成两个基本初等函数；
（3）分别确定两基本初等函数的单调性；
（4）按“同增异减”的原则，确定原函数的单调区间．
【命题方向】
理解复合函数的概念，会求复合函数的区间并判断函数的单调性．
6．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（　　）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
7．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x+的最小值，有2x+≥2＝8；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）＝﹣1＝
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
8．有理数指数幂及根式
【根式与分数指数幂】
规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1）
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义

常考题型：
例1：下列计算正确的是（　　）
A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝a（a＞0）
分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案．
解：∵（﹣1）0＝1，
∴A不正确；
∵，
∴B不正确；
∵，
∴C正确；
∵
∴D不正确．
故选：C．
点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题．

【有理数指数幂】
（1）幂的有关概念：
①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）；
③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．
（2）有理数指数幂的性质：
①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）；
②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）；
③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）．

常考题型：
例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　）
A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n
分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案．
解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立；
B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立；
C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立；
D中，1÷an＝a0﹣n，成立．
故选：D．
点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质．
9．指数函数的单调性与特殊点
【知识点归纳】
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
10．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①＝N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； loga＝logaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； loga＝logaM．
11．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
12．幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【知识点归纳】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．