数学必修 第一册4.1 指数学案

这是一份数学必修 第一册4.1 指数学案，共11页。学案主要包含了对数函数的概念及应用，与对数函数有关的定义域，对数函数模型的应用等内容，欢迎下载使用。
学习目标 1.理解对数函数的概念.2.会求简单对数函数的定义域.3.了解对数函数在生产实际中的简单应用．
知识点 对数函数的概念
一般地，函数y＝lgax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．
思考 函数y＝lgπx，y＝lg2eq \f(x,3)是对数函数吗？
答案 y＝lgπx是对数函数，y＝lg2eq \f(x,3)不是对数函数．
1．由y＝lgax，得x＝ay，所以x>0.( √ )
2．y＝lg2x2是对数函数．( × )
3．若对数函数y＝lgax，则a>0.( √ )
4．函数y＝lga(x－1)的定义域为(0，＋∞)．( × )
一、对数函数的概念及应用
例1 (1)下列给出的函数：
①y＝lg5x＋1；
②y＝lgax2(a>0，且a≠1)；③
④y＝lg3eq \f(x,2)；⑤y＝lgxeq \r(3)(x>0，且x≠1)；
⑥其中是对数函数的为( )
A．③④⑤ B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥
(2)已知对数函数的图象过点M(8,3)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝________.
答案 (1)D (2)－1
解析 (1)①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数，故③⑥正确．
(2)设f(x)＝lgax(a>0，且a≠1)，由图象过点M(8,3)，则有3＝lga8，解得a＝2.所以对数函数的解析式为f(x)＝lg2x，所以f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝lg2eq \f(1,2)＝－1.
反思感悟 判断一个函数是否为对数函数的方法
对数函数必须是形如y＝lgax(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：
(1)对数式系数为1.
(2)底数为大于0且不等于1的常数．
(3)对数的真数仅有自变量x.
跟踪训练1 (1)下列函数表达式中，是对数函数的有( )
①y＝lgx2；②y＝lgax(a∈R)；③y＝lg8x；④y＝ln x；⑤y＝lgx(x＋2)；⑥y＝lg2(x＋1)．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
(2)若对数函数f(x)的图象过点(4，－2)，则f(8)＝________.
答案 －3
二、与对数函数有关的定义域
例2 求下列函数的定义域．
(1)y＝lga(3－x)＋lga(3＋x)；
(2)y＝lg2(16－4x)；
(3)y＝lg1－x5.
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
解 (1)由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,3＋x>0，))得－31且a≠2)
D．y＝2lgax(a>0且a≠1)
考点 对数函数的概念
题点 对数函数的概念
答案 C
2．函数y＝lg2(x－2)的定义域是( )
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．[4，＋∞)
考点 对数函数的定义域
题点 对数函数的定义域
答案 C
3．函数f(x)＝eq \r(3－x)＋lg(x＋1)的定义域为( )
A．[－1,3) B．(－1,3) C．(－1,3] D．[－1,3]
答案 C
4．对数函数f(x)过点(9,2)，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝________.
答案 －1
解析 设f(x)＝lgax(a>0且a≠1)，lga9＝2，
∴a2＝9，∴a＝3(舍a＝－3)，
∴f(x)＝lg3x，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))＝lg3eq \f(1,3)＝－1.
5．函数f(x)＝lgax＋a2－2a－3为对数函数，则a＝________.
答案 3
解析 依题意有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a2－2a－3＝0，,a>0，,a≠1，))解得a＝3.
1．知识清单：
(1)对数函数的定义．
(2)对数函数的定义域．
2．方法归纳：待定系数法．
3．常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件．
1．给出下列函数：
①y＝；②y＝lg3(x－1)；③y＝lg(x＋1)x；④y＝lgπx.
其中是对数函数的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点 对数函数的概念
题点 对数函数的概念
答案 A
解析 ①②不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x；③不是对数函数，因为对数的底数不是常数；④是对数函数．
2．已知函数f(x)＝eq \f(1,\r(1－x))的定义域为M，g(x)＝ln(1＋x)的定义域为N，则M∩N等于( )
A．{x|x>－1} B．{x|xeq \f(a,3).
∴eq \f(a,3)＝eq \f(2,3)，即a＝2.
8．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案，在销售额为x万元时，奖励y万元．若公司拟定的奖励方案为y＝2lg4x－2，某业务员要得到5万元奖励，则他的销售额应为________万元．
答案 128
解析 由题意得5＝2lg4x－2，
即7＝lg2x，得x＝128.
9．求下列函数的定义域：
(1)f(x)＝lg(x－1)(3－x)；
(2)f(x)＝eq \f(\r(2x＋3),x－1)＋lg2(3x－1)．
解 (1)由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3－x>0，,x－1>0，,x－1≠1，))解得1eq \f(1,3)，且x≠1.
故f(x)的定义域是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，1))∪(1，＋∞)．
10．20世纪70年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅．
(1)假设在一次地震中，一个距离震中1 000千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.002，计算这次地震的震级；
(2)5级地震给人的震感已比较明显，我国发生在汶川的8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍？
解 (1)M＝lg A－lg A0＝lgeq \f(A,A0)＝lgeq \f(20,0.002)＝lg 104＝4.
即这次地震的震级为4级．
(2)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5＝lg A5－lg A0，,8＝lg A8－lg A0，))
所以lg A8－lg A5＝3，
即lgeq \f(A8,A5)＝3.
所以eq \f(A8,A5)＝103＝1 000.
即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1 000倍．
11．函数y＝eq \f(lg2x－1,\r(2－x))的定义域是( )
A．(1,2] B．(1,2) C．(2，＋∞) D．(－∞，2)
答案 B
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1>0，,2－x>0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>1，,x0恒成立，
当k＝0时，eq \f(3,8)>0恒成立，∴k＝0满足条件．
当k≠0时，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>0，,Δ＝k2－4×2k×\f(3,8)