【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 基础模块下册 单元复习 第5章 指数函数与对数函数（知识考点）讲义

知识点一：根式、分数指数幂及其运算

1．根式

(1)n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.

①当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数，这时a的n次方根用符号  表示．

②当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．这时，正数a的正的n次方根用符号  表示，负的n次方根用符号 － 表示．正的n次方根与负的n次方根可以合并写成 ±．

③负数没有偶次方根．  ④0的n(n∈N*)次方根是0，记作 ＝0．

(2)根式：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

(3)根式的性质：n为奇数时，＝a；n为偶数时，＝|a|.

2．幂的有关概念及运算

(1)零指数幂：a0＝1.这里a≠0.  (2)负整数指数幂：a－n＝   (a≠0，n∈N*)．

(3)正分数指数幂：  (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

(4)负分数指数幂：a＝   (a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．

(5)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．

(6)有理指数幂的运算性质

①； ②； ③．

知识点二：指数函数及其图像和性质

1．定义：

一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数．

2．指数函数的图象及性质

知识点三：对数及其运算

1．对数

(1)对数：如果ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN.其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

(2)两类重要的对数

①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lgN；

②自然对数：以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记作lnN．

注：(i)无理数e＝2.718 28…；(ii)负数和零没有对数；(iii)loga1＝0，logaa＝1.

(3)对数与指数之间的关系   当a＞0，a≠1时，ax＝N ⇔ x＝logaN.

(4)对数运算的性质 如果a＞0，且a≠1，M＞0，N＞0，那么：

①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM；一般地，＝ logaM；

(5)换底公式及对数恒等式 ①对数恒等式：＝N； ②换底公式：logab＝ (a＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特别地，logab＝.

知识点四：对数函数及其图像和性质

1．定义：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为．

2．对数函数的图象与性质

考点一 根式、分数指数幂及其运算

1．化简：（1）（）；   （2）；     （3）.

【答案】(1)(2)(3)

【解析】（1）因为，所以，所以；

（2）；

（4）.

2．计算：（1）；（2）；（3）；（4）.

【答案】（1）5（2）（3）

【解析】（1）；（2）；（3）；（4）.

3．用分数指数幂形式表示下列各式（式中）：

（1）；   （2）；    （3）；

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】（1）（2）；（3）；

4． 化简下列各式（，，，）：

（1）；  （2）；  （3）；  （4）.

【答案】（1）；（2）；（3）或；（4）.

【解析】（1）；（2）；（3）；

（4）.

考点二 指数函数及其图像和性质

5．函数，，，，其中指数函数的个数为（    ）

A．1        B．2        C．3        D．4

【答案】B

【解析】因为形如的函数称为指数函数，所以和是指数函数，故选：B．

6．函数是指数函数，则（    ）

A．或        B．        C．        D．且

【答案】C

【解析】由指数函数定义知，同时，且，所以解得，故选：C

7．已知函数和都是指数函数，则______.

【答案】

【解析】因为函数是指数函数，所以，由是指数函数，所以，所以.

8．已知函数是指数函数，且，则________.

【答案】

【解析】设（且），则，得，故，因此，.

9．若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.

10．若函数的图象如图所示，则（    ）

A．，        B．，        C．，        D．，

【答案】D

【解析】根据图象，函数是单调递减的，所以指数函数的底，根据图象的纵截距，令，解得，即，故选：D.

11．已知，则它们的大小关系是（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】B

【解析】由，所以.故选：B

12．已知函数，则不等式的解集为(    )

A.        B.        C.        D.

【答案】B

【解析】可知函数为减函数，由，可得，整理得，解得，所以不等式的解集为．故选B.

13．函数的值域为_______.

【答案】

【解析】的值域为，所以函数的值域为，故答案为：.

考点三 对数及其运算

14．使有意义的实数a的取值范围是（       ）

A．          B．           C．             D．

【答案】C

【解析】由题意知，解得，所以实数a的取值范围是，故选C.

15．已知方程的两根为，，则（       ）

A． B．1 C．2 D．

【答案】D

【解析】∵方程的两根为，，∴，∴，故选D．

16．方程的解是_________．

【答案】

【分析】根据对数的运算法则和运算性质，即可求解.

【详解】由对数的运算性质，可得，可得，解得．

故答案为：.

17．计算：（       ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】根据指数对数恒等式及对数的运算法则计算可得；

【详解】解：

；

故选：B

18．已知，，试用，表示.

【答案】

【解析】解：，， ，

．

考点四 对数函数及其图像和性质

19．下列函数是对数函数的是(      )

A．        B．        C．        D．

【答案】A

【解析】对数函数（且），其中为常数，为自变量．对于选项A，符合对数函数定义；对于选项B，真数部分是，不是自变量，故它不是对数函数；对于选项C，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数；对于选项D，底数是变量，不是常数，故它不是对数函数．

20．对数函数（且）的图象经过点，则此函数的解析式_____．

【答案】

【解析】由已知条件可得，可得，因为且，所以，，因此，所求函数解析式为，故答案为：.

21．已知对数函数，则______．

【答案】2

【解析】由对数函数的定义，可得，解得．

22．函数的图象一定过定点__________.

【答案】

【解析】令，则，所以，所以过定点，故答案为：

23．设，则（    ）

A．        B．        C．        D．

【答案】D

【解析】因为，，，又由对数函数的性质:当时，底数越大，图像越低，可得，所以，故选: D.

24．函数是定义在R上的偶函数，且在单调递增，若，，，则（    ）

A．        B．

C．        D．

【答案】C

【解析】由偶函数知，又，，，显然，又在单调递增，则.故选：C.

25．已知函数=．

（1）判断的奇偶性；      （2）求在的值域．

【答案】（1）奇函数；（2）

【解析】（1），则，的定义域为，，故是奇函数.

（2），当时，，故，即在的值域为.