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【期中复习】(高教版2021)中职高中数学 拓展模块上册 单元复习 第2章 平面向量 知识点复习-讲义
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知识点一:向量的概念1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量;向量的大小叫做向量的长度(或模).向量表示方法:向量或;模或.(2)零向量:长度等于0的向量,方向是任意的,记作.(3)单位向量:长度等于1个单位的向量,常用表示,特别的:非零向量的单位向量是.(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量,与共线可记为;特别的:与任一向量平行或共线.(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量,记作.(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量,记作.知识点二:向量的线性运算1.向量的加法(1)定义:求两个向量和的运算,叫做向量的加法.两个向量的和仍然是一个向量.对于零向量与任意向量,我们规定.(2)向量加法的三角形法则(首尾相接,首尾连)已知非零向量,,在平面内任取一点,作,,则向量叫做与的和,记作,即.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则. (3)向量加法的平行四边形法则(作平移,共起点,四边形,对角线)已知两个不共线向量,,作,,以,为邻边作,则以为起点的向量(是的对角线)就是向量与的和.这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.2.向量的减法(1)定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即.(2)向量减法的三角形法则(共起点,连终点,指向被减向量)已知向量,,在平面内任取一点,作,,则向量.如图所示如果把两个向量,的起点放在一起,则可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量.3.向量的数乘(1)向量数乘的定义:一般地,我们规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作.它的长度与方向规定如下:①②当时,的方向与的方向相同;当时,的方向与的方向相反;当时,.4.共线向量定理(1)定义:向量与非零向量共线,则存在唯一一个实数,.(2)向量共线定理的注意问题:定理的运用过程中要特别注意;特别地,若,实数仍存在,但不唯一.知识点三:向量的内积1.两个向量的夹角(1)定义:给定两个非零向量,,在平面内任选一点,作,,则称内的为向量与向量的夹角,记作.(2)性质:当时,与同向;当时,与反向.(3)向量垂直:如果与的夹角是90°,我们说与垂直,记作.由于零向量方向是不确定的,在讨论垂直问题时,规定零向量与任意向量垂直。2.向量数量积的定义(1)定义:一般地,当与都是非零向量时,称为向量与的数量积(也称内积);(2)记法:向量与的数量积记作,即;零向量与任一向量的数量积为0;(3)由定义可知,两个非零向量与的数量积是一个实数,这与向量的加法、减法及数乘向量的结果仍是一个向量不同。3.向量的投影及向量数量积的几何意义(1)设,是两个非零向量,,,考虑如下变换:过的起点A和终点B,分别作所在直线的垂线,垂足分别为,,得到,我们称上述变换为向量向向量投影,叫做向量在向量上的投影向量.(2)在平面内任取一点O,作,,过点M作直线的垂线,垂足为,则就是向量在向量上的投影向量,且. (3)几何意义:数量积等于的长度||与在的方向上的投影的乘积,投影的数量与投影的长度有关,但是投影的数量既可能是非负数,也可能是负数。四、向量数量积的性质设,都是非零向量,是单位向量,θ为与(或)的夹角.则(1);(2);(3)当与同向时,;当与反向时,;特别地,或;(4);(5)知识点四:向量的坐标表示1.平面向量的坐标运算(1)向量加减:若,则;(2)数乘向量:若,则;(3)若,则(4)任一向量:设,则.(5)若,则的充要条件为.(6)向量数量积:若,则;(7)若向量,则 考点一 向量的概念1.下面关于向量的说法不正确的是 A.单位向量:模为1的向量 B.零向量:模为0的向量 C.平行(共线)向量:方向相同或相反的向量 D.相等向量:模相等,方向相同的向量 2.下列命题中正确的是( )A.两个有共同起点且相等的向量,其终点必相同B.两个有公共终点的向量,一定是共线向量C.两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同D.若与是共线向量,则点,,,必在同一条直线上 3.下列说法正确的是 A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小 B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的可以比较大小 C.向量的大小与方向有关 D.向量的模可以比较大小 4. 如图所示,中,三边长均不相等,、、分别是,,的中点.(1)写出与共线的向量; (2)写出与长度相等的向量; (3)写出与相等的向量. 5.若为任一非零向量,为单位向量,下列各式:(1);(2)∥;(3)||>0;(4)||=±1;(5)若是与同向的单位向量,则=.其中正确的是________.(填序号) 6.已知平面向量、、,下列结论中正确的是( )A.若,则 B.若,则C.若,,则 D.若,则 考点二 向量的线性运算7.的化简结果为( )A. B. C. D. 8.下列计算正确的个数是 ①;②;③.A.0 B.1 C.2 D.3 9.化简下列各式:(1); (2);(3); (4). 10.已知,是两个不共线的向量,向量,,求(用,表示). 11.在四边形ABCD中,已知,,,其中,是不共线的向量,试判断四边形ABCD的形状. 考点三 向量的内积12.已知向量、满足,,且,那么( )A. B. C. D. 13.设是任意向量,则下列结论一定正确的是( )A. B.C. D. 14.若的夹角为,则( )A. B. C. D.2 15.已知等边三角形ABC的边长为2,则( )A.2 B. C. D. 16.已知 ,向量 的夹角为,则 ( )A. B.1 C.2 D. 17.已知向量,满足,,且,的夹角为30°,则( )A. B.7 C. D.3 18.已知,与的夹角是.(1)求的值及的值;(2)当为何值时,? 考点四 向量的坐标表示19.已知向量,,则( )A.2 B.3 C.4 D.5 20.已知向量,,则与的夹角为( )A. B. C. D. 21.已知,向量,若,则实数( )A. B. C.-2 D.2 22.已知向量,则k=( )A.-12 B.-6 C.6 D.12 23.已知向量,若,则实数λ= ( )A. B. C.-2 D.224.已知向量.(1)求的值;(2)求向量与夹角的余弦值. 25.已知向量,向量.(1)求向量的坐标;(2)若,求实数k的值.
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