【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 拓展模块上册 单元复习 第4章 立体几何 知识点复习-讲义

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  知识点一：平面1．平面的特征和表示(1)平面的特征几何里的“平面”没有边界，画平面的时候一般用平行四边形表示平面.(2)平面的画法常常把水平的平面画成一个平行四边形，并且其锐角画成45°，且横边长等于邻边长的2倍.一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强立体感，被遮挡部分用虚线画出来.(3)平面的表示方法①用希腊字母表示，如平面α，平面β，平面γ.②用表示平面的平行四边形的四个顶点的大写字母表示，如平面ABCD.③用表示平面的平行四边形的相对的两个顶点表示，如平面AC，平面BD.(4)点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉α l在α内l⊂αl在α外l⊄α l，m相交于Al∩m＝Al，α相交于Al∩α＝A α，β相交于lα∩β＝l2．平面的基本性质公理文字语言图形语言符号语言作用公理1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内公理2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A，B，C∈α①确定平面的依据②判定点线共面公理3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P∈α且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l①判定两平面相交的依据②判定点在直线上知识点二：直线与直线的位置关系1．空间两条直线的位置关系2．公理4及等角定理(1)公理4：平行于同一条直线的两条直线平行．符号表示：⇒a∥c．(2)等角定理：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等．3．异面直线的判定及其所成的角(1)异面直线的判定定理定理文字语言符号表示图形语言异面直线的判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线若l⊂α，A∉α，B∈α，B∉l，则直线l与A B是异面直线(2)异面直线所成的角①定义：a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′和b′所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角或夹角．②异面直线所成的角θ的取值范围：．③当θ＝时，a与b互相垂直，记作a⊥b．(3)求两条异面直线所成角的步骤①恰当选点，用平移法构造出一个相交角．②证明这个角就是异面直线所成的角(或补角)．③把相交角放在平面图形中，一般是放在三角形中，通过解三角形求出所构造的角的度数．④若求出的平面角是锐角或直角，则它就是两条异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是两条异面直线所成的角．知识点三：直线与平面的位置关系1．直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝Aa∥α图形表示 2．直线与平面平行(1)直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言⇒a∥α图形语言 (2)直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m图形语言 3．直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义定义如果直线a与平面α内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面α垂直记法a⊥α有关概念直线a叫作平面α的垂线，平面α叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足图示画法画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 注意：过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直．从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离． (2)直线与平面垂直的判定定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直符号语言若a⊥m，a⊥n，m∩n＝A，m⊂α，n⊂α，则a⊥α图形语言 (3)直线与平面垂直的性质定理文字语言垂直于同一个平面的两条直线平行符号语言⇒a∥b图形语言作用①线面垂直⇒线线平行；②作平行线 注意：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离．4．直线与平面所成的角有关概念对应图形斜线一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作这个平面的斜线，如图中直线PQ斜足斜线与平面的交点，如图中点Q斜线段斜线上一点与斜足间的线段叫作这个点到平面的斜线段，如图中线段PQ射影如图，过平面外一点P向平面α引斜线和垂线，那么过斜足Q和垂足P1的直线就是斜线在平面内的射影，线段P1Q就是斜线段PQ在平面α内的射影直线与平面所成的角定义：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的税角，如图中∠PQP1规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0°角取值范围设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 知识点四：平面与平面的位置关系　1．两个平面的位置关系位置关系图形表示符号表示公共点平面α与平面β平行α∥β没有公共点平面α与平面β相交α∩β＝a有一条公共直线 2．两平面平行(1)平面与平面平行的判定定理表示定理图形文字符号两个平面平行的判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行若a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，且a∥β，b∥β，则α∥β (2)平面与平面平行的性质定理表示定理图形文字符号两个平面平行的性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行⇒a∥b 注意：与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段．我们把公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离．3．两面角概念一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形图示平面角定义一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角图示符号OA⊂α，OB⊂β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l⇒∠AOB是二面角的平面角范围[0，π]规定二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫作直二面角记法如图，棱为AB，面为α，β的二面角，记作二面角α－AB－β，也可以记作M－AB－N 4．两平面垂直(1)平面与平面垂直的概念①定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面互相垂直．②画法： ③记作：α⊥β.(2)平面与平面垂直的判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直符号语言l⊥α，l⊂β⇒α⊥β图形语言 (3)平面与平面垂直的性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β图形语言  考点一 平面1．下列命题中是真命题的是（       ）A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．两条直线确定一个平面D．两两相交且不共点的三条直线，确定一个平面 2．下列说法中，正确的是（       ）．A．三点确定一个平面 B．过一条直线的平面有无数多个C．两条直线确定一个平面 D．三条两两相交的直线确定三个平面 3．在空间，给出下面四个命题：① 三个不同的点确定一个平面；② 一条直线和一个点确定一个平面；③ 空间两两相交的三条直线确定一个平面；④ 两条相交直线确定一个平面. 其中正确命题的序号是（       ）A．① B．② C．③ D．④ 4． 给出下列语句：①桌面给人以平面的形象；②一个平面长3 m，宽2 m；③平面内有无数个点，平面可以看成点的集合；④空间图形是由空间的点、线、面所构成的.其中正确的个数为A．1 B．2 C．3 D．4 考点二 直线与直线的位置关系5．如图所示，正方体ABCD­A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系：①直线A1B与直线D1C的位置关系是________；②直线A1B与直线B1C的位置关系是________；③直线D1D与直线D1C的位置关系是________；  ④直线AB与直线B1C的位置关系是________． 6．下列命题中正确的有________．(填序号)①两条直线无公共点，则这两条直线平行；②两条不重合的直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的直线与平面内的任意一条直线均构成异面直线；④和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线． 7．如图，在三棱锥中，M，N，E，F分别为棱SA，SC，AB，BC的中点，试判断直线MN与直线EF是否平行． 8．在三棱锥中分别是边的中点，且，则四边形是（    ）A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 考点三 直线与平面的位置关系9．下列命题正确的是(　　)A．如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行B．过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行C．如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行D．如果一条直线平行于平面内的无数条直线，则该直线与平面平行 10．如图所示，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为四边形ABCD和四边形A′B′C′D′的中心，则正方体的六个面中与EF平行的平面有(　　)A．1个   B．2个C．3个   D．4个 11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.    12．如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.   13．如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．  14．下列命题中，正确的是(　　)A．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥αB．若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直D．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α 15．如果一条直线垂直于一个平面内的：①三角形的两边；②梯形的两边；③圆的两条直径；④正五边形的两边．则能保证该直线与平面垂直的是________．(填序号) 16．在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝，PA⊥平面ABCD，PA＝1，则PC与平面ABCD所成的角的大小是________． 17．如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．(1)求证：AN⊥平面PBM；(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.      18．如图，α∩β＝l，PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B，a⊂α，a⊥AB.求证：a∥l.    考点四 平面与平面的位置关系19．下列命题正确的是(　　)A．一个平面内两条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行B．如果一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行C．平行于同一直线的两个平面一定相互平行D．如果一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 20．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，过A1B1的平面与平面ABC交于直线DE，则DE与AB的位置关系是(　　)A．异面 B．平行C．相交 D．以上均有可能 21．已知l⊥α，则过l与α垂直的平面(　　)A．有1个      B．有2个     C．有无数个      D．不存在 22．在正方体ABCD－A′B′C′D′中，二面角D′－AB－D的大小是(　　)A．30°         B．45°         C．60°         D．90° 23．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点．求证：(1)B，C，H，G四点共面；(2)平面EFA1∥平面BCHG.    24．如图，在边长为a的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，PC⊥平面ABCD，求证：平面PDB⊥平面PAC.   25．如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC.求证：BC⊥AB.