数学九年级上册3.4 相似三角形的判定与性质第1课时教学设计及反思

3.4.2 相似三角形的性质

第1课时 相似三角形中三条重要线段的性质

1.理解掌握相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）之间的关系.

2.对性质定理的探究，学生经历观察——猜想——论证——归纳的过程，培养学生主动探究、合作交流的习惯和严谨治学的态度.

3.在学习和探讨的过程中，体验从特殊到一般的认知规律.

【教学重点】

相似三角形性质的应用.

【教学难点】

相似三角形性质的应用.

一、情境导入，初步认识

1.什么叫相似三角形？相似比指的是什么？

2.全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少？

3.相似三角形的判定方法有哪些？

【教学说明】复习相关知识，为本节课的学习做准备.

二、思考探究，获取新知

1.根据相似三角形的概念可知相似三角形有哪些性质？

【归纳结论】相似三角形的基本性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

2.如图，△ABC和△A′B′C′是两个相似三角形，相似比为k，其中，AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的高，那么，AD和A′D′之间有什么关系？

证明：∵△ABC∽△A′B′C′，

∴∠B=∠B′，

 又∵AD⊥BC，A′D′⊥B′C′，

 ∴∠ADB=∠A′D′B′=90°，

 ∴△ABD∽△A′B′D′，

 ∴AB︰A′B′=AD︰A′D′=k.

你能得到什么结论？

【归纳结论】相似三角形对应边上的高的比等于相似比.

3.如图，△A′B′C′和△ABC是两个相似三角形，相似比为k，求这两个三角形的角平分线A′D′与AD的比.

解：∵△A′B′C′∽△ABC，

∴∠B′=∠B，∠A′B′C′=∠ABC，

∵A′D′，AD分别是△A′B′C′与△ABC的角平分线，

∴∠B′A′D′=∠BAD，

∴△A′B′D′∽△ABD.（有两个角对应相等的两个三角形相似）

∴

根据上面的探究，你能得到什么结论？

【归纳结论】相似三角形对应角平分线的比等于相似比.

4.在上图中，如果AD、A′D′分别为BC、B′C′边上的中线，那么，AD和A′D′之间有什么关系？你能证明你的结论吗？

【归纳结论】相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.

三、运用新知，深化理解

1.见教材P86例9.

2.已知△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，且，B′D′=4，则BD的长为________.

 分析：因为△ABC∽△A′B′C′，BD和B′D′是它们的对应中线，根据对应中线的比等于相似比，

【答案】 6

3.如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高.

（1）则图中有几对相似三角形；

（2）若AD=9 cm，CD=6 cm，求BD；

（3）若AB=25 cm，BC=15 cm，求BD.

解：（1）∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°.

在△ADC和△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB，同理可知，△CDB∽△ACB.∴△ADC∽△CDB.所以图中有三对相似三角形.

（2）∵△ACD∽△CBD，∴，即，∴BD=4 （cm）.

（3）∵△CBD∽△ABC，∴.∴，∴=9（cm）.

4.如图 ，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．

（1）求证：△CDF∽△BGF；

（2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长.

（1）证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，

∴∠CDF=∠FGB，∠DCF=∠GBF，

∴△CDF∽△BGF．

（2）由（1）知△CDF∽△BGF，

又F是BC的中点，∴BF=FC，

∴△CDF≌△BGF，

∴DF=FG，CD=BG.

又∵EF∥CD，AB∥CD，

∴EF∥AG，得2EF=AB+BG．

∴BG=2EF-AB=2×4-6=2，

∴CD=BG=2cm．

5.（1）已知，且3x+4z-2y=40，求x，y，z的值；

（2）已知：两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560cm，求它们的周长．

分析：（1）用同一个字母k表示出x，y，z．再根据已知条件列方程求得k的值，从而进行求解；

（2）根据相似三角形周长的比等于对应高的比，求得周长比，再根据周长差进行求解.

解：（1）设，那么x=2k，y=3k，z=5k，

 由于3x+4z-2y=40，

 ∴6k+20k-6k=40，

 ∴k=2，

 ∴x=4，y=6，z=10．

（2）设一个三角形周长为Ccm，则另一个三角形周长为（C+560）cm，

则，

∴C=240，C+560=800，

即它们的周长分别为240cm，800cm．

【教学说明】通过例题的拓展延伸，体会类比的数学思想，培养学生大胆猜想、勇于探索、勤于思考的习惯，提高分析问题和解决问题的能力.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题3.4”中第7题.

本节的主要内容是导出相似三角形的性质定理，并进行初步运用，让学生经历相似三角形性质探索的过程，提高数学思考、分析和探究活动的能力，体会相似三角形中的变量与不变量，体会其中蕴涵的数学思想.