第3章图形的相似章末复习教案（湘教版九年级上册）

章末复习

1.掌握本章知识，能熟练运用有关性质和判定，解决具体问题.

2.通过回顾和梳理本章知识了解图形相似的有关知识.

3.在应用本章知识解决具体问题过程中提高学生分析问题、解决问题的能力.

【教学重点】

相似图形的特征与识别，相似三角形的有关概念及相似的表示方法和相似比的概念.

【教学难点】

能熟练运用有关性质和判定解决实际问题.

一、知识结构

【教学说明】引导学生回顾本章知识点，展示本章知识结构图，使学生系统地了解本章知识之间的关系.

二、释疑解惑，加深理解

1.比例的概念：

如果两个数的比值与另两个数的比值相等，就说这四个数成比例.通常我们把a，b，c，d四个实数成比例表示成a∶b=c∶d或，其中a，d叫作比例外项，b，c叫作比例内项.

2.比例的基本性质：

如果，那么ad=bc.

3.比例线段的概念：

在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称比例线段.

4.比例线段的比：

如果选用同一长度单位量得线段AB，A′B′的长度分别为m，n，那么把它们的长度的比叫作这两条线段的比，记作：或AB∶A′B′=m∶n；如果的比值为k，那么上述式子也可以写成或AB∶A′B′=k.

5.黄金分割：

如果线段AB上有一点C，且，那么线段AB被点C黄金分割.点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.

黄金分割比的数值近似为0.618.

6.平行线分线段成比例：

两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.

7.相似三角形的概念：

我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形.

8.相似三角形的表示方法.

表示：相似用符号“∽”来表示，读作“相似于”，相似三角形对应边的比叫作相似比.

9.相似多边形的概念：

对于两个边数相同的多边形，如果它们的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫作相似多边形.相似多边形的对应边的比叫作相似比.相似多边形的对应角相等，对应边成比例.

10.相似三角形的判定：

（1）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，截得的三角形与原三角形相似.

（2）两角分别相等的两个三角形相似.

（3）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似

(4)三边成比例的两个三角形相似.

 11.相似三角形的基本性质：

（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例.

（2）相似三角形对应边上的高的比等于相似比.

（3）相似三角形对应角平分线的比等于相似比.

（4）相似三角形对应边上的中线的比等于相似比.

（5）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.

12.位似的概念：

一般地，如果一个图形G上的点A、B、C、…、P与另一个图形G′上的点A′、B′、C′、…、P′分别对应，且满足：

（1）直线AA′、BB′、CC′、…、PP′都经过同一点O.

（2）=k，

那么图形G与图形G′是位似图形，这个点O叫作位似中心，常数k叫作位似比.

13.位似图形的性质：

（1）两个图形位似，则这两个图形不仅相似，而且对应点的连线相交于一点，对应边互相平行.利用位似，可以把一个图形进行放大或缩小.

（2）一个多边形的顶点坐标分别扩大或缩小相同的倍数，所得到的图形与原图形是以坐标原点为位似中心的位似图形.

（3）在平面直角坐标系中，如果一坐标原点为位似中心，位似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.

14.画位似图形的方法：

（1）确定位似中心 ；（2）找对应点；(3)连线；(4)下结论.

三、典例精析，复习新知

1.已知点M将线段AB黄金分割(AM＞BM)，则下列各式中不正确的是（   ）

A.AM∶BM=AB∶AM             B.AM=AB

C.BM=AB                  D.AM≈0.618AB

【答案】 C

2.若，则m＝_______.

分析：分a＋b＋c≠0和a＋b＋c＝0两种情况.

【答案】 ±1

3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝27，D在AC上，且BD＝BC＝18，DE∥BC交AB于E，则DE＝_______.

分析：由△ABC∽△BCD，列出比例式，求出CD，再用△ABC∽△AED，列出比例式，求出DE.

【答案】 10

4.已知：如图，F是四边形ABCD对角线AC上一点，EF∥BC，FG∥AD.

求证：＝1.

分析：利用AC＝AF＋FC.

证明：∵EF∥BC，FG∥AD，

∴，.

∴＝1.

5.如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，E为BC中点，延长AC、DE相交于点F，

求证：.

分析：过F点作FG∥CB，只需再证GF＝DF.

方法一：作FG∥BC交AB延长线于点G.

∵BC∥GF，

∴.

又∠BDC＝90°，BE＝EC，

∴BE＝DE.

∵BE∥GF，

∴＝1. ∴DF＝GF.

∴.

方法二：作EH∥AB交AC于点H.

∵，∠BDC＝90°，BE＝EC，

∴BE＝DE.∴.

6.已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，DM⊥BC于点M，交BA的延长线于点D，交AC于点E.

求证：（1）MA2=MD·ME；

（2）

证明：（1）∵∠BAC=90°，M是BC的中点， ∴MA=MC，∠1=∠C，∵DM⊥BC，∴∠C=∠D=90°-∠B，

∴∠1=∠D，∵∠2=∠2，

∴△MAE∽△MDA，

∴，∴MA2=MD·ME，

（2）∵△MAE∽△MDA，

∴

∴

【教学说明】通过典型例题，培养学生的识图能力和推理能力.

四、复习训练，巩固提高

1.如图，AB∥CD，图中共有______对相似三角形

【答案】 6

2.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，AE＝EC，AD＝18，BE＝15，则△ABC的面积是______.

分析：作EF∥BC交AD于F.设BE交AD于O点，先求出OD长和OB长，最后用勾股定理求出BD的长.

【答案】 144

3.如图，已知AD∥EF∥BC，且AE＝2EB，AD＝8 cm，BC＝14 cm，则S梯形AEFD︰S梯形BCFE＝______.

分析：延长EA，与CD的延长线交于P点，则△APD∽△EPF∽△BPC.

【答案】

4.已知C是线段AB的黄金分割点(AC＞BC）， 则AC∶BC = （   ）

A.(-1)∶2                     B.(+1)∶2

C.(3-)∶2                     D.(3+)∶2

【答案】 B

5.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC边上取一点D，使BD＝BA，连接AD.求证：

（1）△ADC∽△BAC；

（2）点D是BC的黄金分割点.

证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝108°，

∴∠B＝∠C＝36°，

∵BD＝BA，

∴∠BAD＝72°，∠CAD＝36°，

∴∠CAD＝∠B，

∵∠C＝∠C，

∴△ADC∽△BAC；

 （2）∵△ADC∽△BAC，

∴，∴AC2＝BC·CD，

∵AC＝AB＝BD，

∴BD2＝BC·CD，

∴点D是BC的黄金分割点.

6.如图，路灯（P点）距地面8米，身高1.6米的小明从距路灯的底部（O点）20米的A点，沿AO所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？

分析：如右图，由于AC∥BD∥OP，故有△MAC∽△MOP，△NBD∽△NOP，然后可由相似三角形的性质求解.

解：∵∠MAC=∠MOP=90°，

∠AMC=∠OMP，

∴△MAC∽△MOP.

∴，即，

解得MA=5米；

同理，由△NBD∽△NOP，可求得NB=1.5米，

∴小明的身影变短了5-1.5=3.5米.

【教学说明】解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解答问题.

7.如图，BD、CE分别是△ABC的两边上的高，过D作DG⊥BC于G，分别交CE及BA的延长线于F、H，求证：

（1）DG2＝BG·CG；（2）BG·CG＝GF·GH.

证明：（1）DG为Rt△BCD斜边上的高，

∴Rt△BDG∽Rt△DCG.

∴，即DG2＝BG·CG.

（2）∵DG⊥BC，

∴∠ABC＋∠H＝90°，

∵CE⊥AB，

∴∠ABC＋∠ECB＝90°.

∴∠ABC＋∠H＝∠ABC＋∠ECB.

∴∠H＝∠ECB.

又∠HGB＝∠FGC＝90°，

∴Rt△HBG∽Rt△CFG.

∴，

∴BG·GC＝GF·GH.

8.如图：AD∥EG∥BC，EG分别交AB、DB、AC于点E、F、G，已知AD=6，BC=10，AE=3，AB=5，求EG、FG的长.

分析：在△ABC中，根据平行线分线段成比例求出EG，在△BAD中，根据平行线分线段成比例求出EF，即可求出FG=EG-EF.

解：∵△ABC中，EG∥BC，

∴，

∵BC=10，AE=3，AB=5，

∴，∴EG=6，

∵在△BAD中，EF∥AD

∴，

∵AD=6，AE=3，AB=5，

∴,∴EF=.

∴FG=EG-EF=.

【教学说明】进一步加深对知识的理解，体会本节课所涉及的数学思想和数学规律.同时，学会归纳概括和总结，积累学习经验，为今后的学习奠定基础.

五、复习训练，巩固提高

通过本节课的学习，你有哪些收获？还存在哪些疑惑？

布置作业:教材“复习题3”中第3、6、7、10、13、15题.

通过本节课的学习，使学生能够掌握用图形相似的有关知识解决实际问题.经过这些习题的练习，使学生能够将本章的内容很好地揉合在一起.