初中湘教版第4章 锐角三角函数4.3 解直角三角形第2课时教学设计

第2课时 与坡度、坡角有关的实际问题

1.了解测量中坡度、坡角的概念；

2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.

3.通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.

4.进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.

【教学重点】

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.

【教学难点】

能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.

一、情境导入，初步认识

如图所示，斜坡AB和斜坡A1B1，哪一个倾斜程度比较大?显然，斜坡A1B1的倾斜程度比较大，说明∠A1＞∠A.

从图形可以看出，，

即tanA1＞tanA.

【教学说明】通过实际问题的引入，提高学生学习的兴趣.

二、思考探究，获取新知

1．坡度的概念，坡度与坡角的关系.

如上图，这是一张水库拦水坝的横断面的设计图，坡面的铅垂高度与水平前进的距离的比叫作坡度(或坡比)，记作i，即i＝，坡度通常用l∶m的形式，例如上图中的1∶2的形式.坡面与水平面的夹角叫作坡角，记作α.从三角函数的概念可以知道，坡度与坡角的关系是i＝tanB，显然，坡度越大，坡角越大，坡面就越陡.

2.如图，一山坡的坡度为i＝1∶2，小刚从山脚A出发，沿山坡向上走了240米到达点C，这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到0.01°，长度精确到0.1米）

【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.学生独立完成.

三、运用新知，深化理解

1.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．

分析：引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形．

解：已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5，∠A=24°，求AB．

在Rt△ABC中，cosA=，

∴AB=≈6.0（米）

答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米．

2.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m)．

解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，

，

∴AE=3BE=3×23=69(m)．

 FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．

∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．

因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝≈0.3333，

所以α≈18°26′.

∵=sinα，

∴AB=≈72.7（m）.

答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米．

3.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发．如图，已知小山北坡的坡度i=1∶3，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）

解：过点A作AD⊥BC于点D，

在Rt△ADC中，由i=1∶得tanC=，∴∠C=30°∴AD=AC=×240=120(米)

在Rt△ABD中，∠B=45°∴AB＝AD＝120（米）

120÷（240÷24）＝120÷10＝12（米/分钟）

答：李强以12米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．

4.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道．若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=，BF=3米，BC=1米，CD=6米．求：

(1) ∠D的度数；(2)线段AE的长．

解：（1）∵四边形BCEF是矩形，

∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，

∴∠BFA=∠CED=90°，

∵CE=BF，BF=3米，

∴CE=3米，

∵CD=6米，∠CED=90°，

∴∠D=30°.

（2）∵sin∠BAF=，

 ∴，

∵BF=3米，∴AB=米，

∴AF=米，∴AE=米.

四、师生互动，课堂小结

先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.

布置作业：教材“习题4.4”中第1、7题.

通过本节课的学习，使学生知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.