中考数学二轮专项训练专题12一元二次方程含解析答案

这是一份中考数学二轮专项训练专题12一元二次方程含解析答案，共26页。试卷主要包含了下列方程属于一元二次方程的是等内容，欢迎下载使用。

专题12�一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

评卷人
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一、单选题
1．方程x2-2x-3=0的一个实数根为m，则2022-m2+2m的值是( )
A．2022 B．2021 C．2020 D．2019
2．关于的方程有两个不相等的实根、，若，则的最大值是（    ）
A．1 B． C． D．2
3．关于x的一元二次方程的根的情况是（   ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
4．在解一元二次方程x2+px+q＝0时，小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（　　）
A．x2+2x﹣3＝0 B．x2+2x﹣20＝0 C．x2﹣2x﹣20＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0
5．下列方程属于一元二次方程的是（    ）
A． B． C． D．
6．关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则a的值可以是（    ）
A．0 B．1 C．－5 D．－2
7．若关于的方程有一个根为，则的值为（   ）
A． B． C． D．
8．用配方法解方程时，配方后的方程是（    ）
A． B． C． D．
9．若关于x的方程x2-5x+k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（   ）
A． B． C． D．
10．已知二次函数的图象与x轴交于点与，其中，方程的两根为m，n（m A． B． C． D．
11．方程的解是（    ）
A．－2 B．1，－2 C．－1，1 D．－1，3
12．已知x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5=0的两个实数解，则的值为（　　）
A． B． C．1 D．
13．某市2021年底有2万户5G用户，计划到2023年底全市5G用户数累计达到8.72万户．设全市5G用户数年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ）
A．2（1＋2x）＝8.72 B．2＋2（1＋x）＋2（1＋2x）＝8.72
C．2（1＋x）2＝8.72 D．2＋2（1＋x）＋2（1＋x）2＝8.72
14．新能源汽车越来越受消费者喜爱，各种品牌相继投放市场，我国新能源汽车近几年销量全球第一，2020年销量为136.7万辆，销量逐年增加，预计到2022年销量达到500万辆．若年平均增长率为x，则可列方程为（    ）
A． B．
C． D．
15．一元二次方程x2﹣2x﹣3＝p2根的情况是（　　）
A．无实数根 B．有一个正根，一个负根
C．有两个负根 D．有两个正根
16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，有下列结论：①；②；③二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为a和b，则．其中，正确结论的个数是（    ）
A．0 B．1 C．2 D．3

评卷人
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二、填空题
17．在实数范围内定义一种运算“*”，其规则为a*b＝a2﹣b2，根据这个规则，解方程（x+2）*5＝0，其中最大的解为 ．
18．一元二次方程4x2﹣9＝0的根是 ．
19．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有实数根，则a的值为 ．
20．设α、β是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ＝ ．
21．若x＝0是关于x的一元二次方程m2x2+6x+m2﹣2m＝0的一个根，则m＝
22．《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，王文素著,完成于明嘉靖三年,全书12本42卷，近50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载的用导数解高次方程的方法堪与牛顿媲美，且早于牛顿140年．《算学宝鉴》中记载了我国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长阔共几何？”
译文：一个矩形田地的面积等于864平方步，且它的宽比长少12步，问长与宽的和是多少步？如果设矩形田地的长为x步，可列方程为 ．

评卷人
得分



三、解答题
23．解方程：．
24．解方程：
25．解方程：x2+4x﹣1=0．
26．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高元．
（1）服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
27．某工厂有甲、乙两个车间，甲车间生产A产品，乙车间生产B产品，去年两个车间生产产品的数量相同且全部售出．已知A产品的销售单价比B产品的销售单价高100元，1件A产品与1件B产品售价和为500元．
（1）A、B两种产品的销售单价分别是多少元？
（2）随着5G时代的到来，工业互联网进入了快速发展时期．今年，该工厂计划依托工业互联网将乙车间改造为专供用户定制B产品的生产车间．预计A产品在售价不变的情况下产量将在去年的基础上增加a%；B产品产量将在去年的基础上减少a%，但B产品的销售单价将提高3a%．则今年A、B两种产品全部售出后总销售额将在去年的基础上增加%．求a的值．
28．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广．喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和．去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15000吨．
（1）请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？
（2）今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了．同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了．经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值．
（3）节水不仅为了环保，也与经济收益有关系．今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元．在（2）的情况下，若每吨水费为2.5元，请判断，相比去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年的以上两项投入之和？
29．2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育学习活动，我市“红二方面军长征出发地纪念馆”成为重要的活动基地．据了解，今年3月份该基地接待参观人数10万人，5月份接待参观人数增加到12.1万人．
（1）求这两个月参观人数的月平均增长率；
（2）按照这个增长率，预计6月份的参观人数是多少？
30．解方程：
(1)x2﹣6x﹣4＝0；
(2)3y (y - 1) = 2 (y - 1)．
31．解方程:
(1)(2x+1)2=9；
(2)(x+4)2=3(x+4)．
32．某工厂生产并销售A，B两种型号车床共14台，生产并销售1台A型车床可以获利10万元；如果生产并销售不超过4台B型车床，则每台B型车床可以获利17万元，如果超出4台B型车床，则每超出1台，每台B型车床获利将均减少1万元．设生产并销售B型车床台．
（1）当时，完成以下两个问题：
①请补全下面的表格：

A型
B型
车床数量/台
________

每台车床获利/万元
10
________
②若生产并销售B型车床比生产并销售A型车床获得的利润多70万元，问：生产并销售B型车床多少台？
（2）当0＜≤14时，设生产并销售A，B两种型号车床获得的总利润为W万元，如何分配生产并销售A，B两种车床的数量，使获得的总利润W最大？并求出最大利润．
33．已知关于x的一元二次方程有，两实数根．
（1）若，求及的值；
（2）是否存在实数，满足？若存在，求出求实数的值；若不存在，请说明理由．
34．若是关于x的一元二次方程的两个根，则．现已知一元二次方程的两根分别为m，n．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
35．列方程（组）解应用题
端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：该水果的进价是每千克22元；
小李：当销售价为每千克38元时，每天可售出160千克；若每千克降低3元，每天的销售量将增加120千克．
根据他们的对话，解决下面所给问题：超市每天要获得销售利润3640元，又要尽可能让顾客得到实惠，求这种水果的销售价为每千克多少元？
36．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于轴对称，则把该函数称之为“T函数”，其图象上关于轴对称的不同两点叫做一对“T点”．根据该约定，完成下列各题．
（1）若点与点是关于的“T函数”的图象上的一对“T点”，则______，______，______（将正确答案填在相应的横线上）；
（2）关于的函数（，是常数）是“T函数”吗？如果是，指出它有多少对“T点”；如果不是，请说明理由；
（3）若关于的“T函数”（，且，，是常数）经过坐标原点，且与直线（，，且，是常数）交于，两点，当，满足时，直线是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．
37．定义：我们把关于的一元二次方程与（，）称为一对“友好方程”．如的“友好方程”是．
（1）写出一元二次方程的“友好方程”_______．
（2）已知一元二次方程的两根为，，它的“友好方程”的两根、________．根据以上结论，猜想的两根、与其“友好方程”的两根、之间存在的一种特殊关系为________，证明你的结论．
（3）已知关于的方程的两根是，．请利用（2）中的结论，求出关于的方程的两根．

参考答案：
1．D
【分析】利用一元二次方程根的定义得到m2−2m＝3，然后利用整体代入的方法计算2022-m2+2m的值．
【详解】解：∵方程x2-2x-3=0的一个实数根为m，
∴m2−2m-3=0，
∴m2−2m＝3，
∴2022-m2+2m＝2022-3＝2019．
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
2．D
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，求得两根之和和两根之积，再根据两根关系，求得系数的关系，代入代数式，配方法化简求值即可．
【详解】解：由方程有两个不相等的实根、
可得，，，
∵，可得，，即
化简得
则
故最大值为
故选D
【点睛】此题考查了一元二次方程根与系数的关系，涉及了配方法求解代数式的最大值，根据一元二次方程根与系数的关系得到系数的关系是解题的关键．
3．A
【分析】先确定a、b、c的值，计算的值进行判断即可求解．
【详解】解：由题意可知：a=1，b=m，c=-m-2，
∴，
∴方程有两个不相等实数根．
故选A.
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，是常见考点，当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程没有实数根，熟记判别式并灵活应用是解题关键．
4．B
【分析】分别按照看错的情况构建出一元二次方程，再舍去错误信息，从而可得正确答案.
【详解】解： 小红看错了常数项q，得到方程的两个根是﹣3，1，
所以此时方程为： 即：
小明看错了一次项系数P，得到方程的两个根是5，﹣4，
所以此时方程为： 即：
从而正确的方程是：
故选：
【点睛】本题考查的是根据一元二次方程的根构建一元二次方程，掌握利用一元二次方程的根构建方程的方法是解题的关键.
5．C
【分析】根据一元二次方程的定义判断即可．
【详解】解：A．方程含有2个未知数，且未知数最高次数是2，故该选项不符合题意；
B．方程含有2个未知数且最高次数是1，故该选项不符合题意；
C．只含有1个未知数，未知数的最高次数是2，故该选项符合题意；
D．不是整式方程，故该选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解题的关键．
6．C
【分析】根据根的判别式得到Δ=a2-4×1×1>0，然后解关于a的不等式，即可求出a的范围，并根据选项判断．
【详解】解：根据题意得Δ=a2-4×1×1>0，解的a>2或a<-2．
故选：C．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ<0时，方程无实数根．
7．B
【分析】直接把x=-1代入方程得到关于c的方程，然后解关于c的方程即可．
【详解】把x=-1代入方程得1-3+c=0，
解得c=2．
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解：熟练掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键．
8．B
【分析】直接利用配方法进行配方即可．
【详解】解：
移项得：，
配方得：，
合并得：
故选：B．
【点睛】本题考查了配方法，解决本题的关键是牢记配方法的步骤，本题较基础，考查了学生对基础知识的掌握与基本功等．
9．A
【分析】根据一元二次方程根的判别式得出不等式，求解不等式即可得．
【详解】解：方程有两个不相等的实数根，其中，，，
∴，
解得：，
故选：A．
【点睛】题目主要考查一元二次方程根的判别式，理解题意，熟练掌握运用根的判别式是解题关键．
10．D
【分析】由一元二次方程，根的判别式：，求根公式：，根与系数的关系两根和：；的图象由的图象上下平移a个单位得到作答．
【详解】A：两函数的对称轴不变所以n＞，选项说法错误不符合题意；
B：方程有根所以＞0，选项说法错误不符合题意；
C：，选项说法错误不符合题意；
D：a＞0时，开口向上图象向下平移；a＜0时，开口向下图象向上平移，选项说法正确符合题意．
故答案选：D
【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，图象的平移；掌握二次函数的性质和图象平移的特征是解题关键．
11．C
【分析】先移项，再提取公因式x-1，利用因式分解法解得，．
【详解】∵
∴
∴
∴或
∴，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，一元二次方程的解法主要有：开平方法、配方法、公式法、因式分解法，本题有公因式，采用因式分解法较简单．
12．B
【分析】直接根据根与系数的关系求出，再把变形为，然后整体代入计算即可．
【详解】解：∵x1，x2分别为一元二次方程x2+4x﹣5=0的两个实数解，
∴
∴==
故选：B
【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为根x1，x2，则x1+x2=-，x1•x2=．
13．C
【分析】根据该市2021年底及2023底全市5G用户数的数量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．
【详解】解：设全市5G用户数年平均增长率为x，
依题意得：2（1+x）2=8.72，
故选：C．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
14．A
【分析】由题意得等量关系：2020年销量×（1+增长率）2=2022年销量，再根据等量关系列出方程即可．
【详解】解：根据题意得：；
故选：A
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程．
15．B
【分析】先把方程化为一般式，再计算根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义对各选项进行判断．
【详解】解：方程化为x2-2x-3-p2=0，
∵Δ=（-2）2-4（-3-p2）=16+4p2>0，
∴方程有两个不相等的实数根，
∵-3-p2＜0，
∴有一个正根，一个负根．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的两个实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
16．C
【分析】将已知的一元二次方程整理为:一般形式，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可对选项②进行判断；再利用根与系数的关系求出两根之积为6-m，这只有在m=0时才能成立，故选项①错误；将选项③中的二次函数解析式整理后，利用根与系数关系得出的两根之和与两根之积代入，确定出二次函数解析式，令y=0， 得到关于x的方程，求出方程的解得到x的值，确定出二次函数图象与x轴的交点坐标，即可对选项③进行判断.
【详解】一元二次方程化为一般形式得： ，
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴，
∴，故②正确；
∵一元二次方程有两个不相等的实数根，，
∴， ，
而选项①中，只有在m=0时才能成立，故①错误；
二次函数y=
=
=
=
=，
当y=0时，=0，
∴x=2或x=3，
∴抛物线与x轴的交点为（2,0）与（3,0），即a=2，b=3，
∴a+b=2+3=5，故③正确，
故选：C.
【点睛】此题考查已知一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程根与系数的关系式，二次函数图象与坐标轴交点，根与系数的关系公式及根的判别式公式是解此题中的关键计算.
17．x＝3
【分析】先根据这个规则化简方程，然后再运用直接开平方法解方程即可．
【详解】解：（x+2）*5＝0
（x+2）2-52＝0
x+2=±5
x1=3或x2=-7
∴方程的最大的解为3．
故答案为3．
【点睛】本题主要考查了新运算规则、解一元二次方程，根据运算法则化简方程成为解答本题的关键．
18．，/，
【分析】利用直接开平方解答，即可求解．
【详解】解：4x2-9＝0，
∴x2＝，
解得：，．
故答案为：，
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法，并灵活运用适当的方法解答是解题的关键．
19．且
【分析】由根的判别式和一元二次方程的定义求出的取值范围即可得出答案．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
△，且，
，
解得，
故答案为：且．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：解题的关键是掌握（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根；也考查了一元二次方程的解法．
20．2
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵α、β是方程x2+x﹣3＝0的两个实数根，
∴根据根与系数的关系得α+β＝﹣1，αβ＝﹣3，
所以α+β﹣αβ＝﹣1﹣（﹣3）＝2．
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根于系数的关系．
21．2
【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把x=0代入方程求解可得m的值．
【详解】把x=0代入方程m²x²﹣6x+m²﹣2m=0
得到m²﹣2m=0，
解得：m=2或0．
∵m²≠0，
∴m=2．
故答案为2．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，属于基础题型．
22．x（x-12）=864．
【分析】如果设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步，根据面积为864，即可得出方程．
【详解】解：设矩形田地的长为x步，那么宽就应该是（x-12）步．
根据矩形面积=长×宽，得：x（x-12）=864．
故答案为：x（x-12）=864．
【点睛】本题为面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长×矩形的宽．
23．，
【分析】先移项再利用因式分解法解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程－因式分解法，解题的关键是找准公因式．
24．，
【分析】利用十字相乘法对等式的左边进行因式分解，然后解方程．
【详解】解：由原方程，得：（x+1）（x﹣2）=0，
解得：x1=2，x2=﹣1．
【点睛】本题考查了解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
25．x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
【分析】方程变形后，利用配方法求出解即可．
【详解】方程变形得：x2+4x=1，
配方得：x2+4x+4=5，即（x+2）2=5，
开方得：x+2=±，
解得：x1=﹣2+，x2=﹣2﹣．
26．（1）2元；（2）当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元
【分析】（1）根据题意，通过列一元二次方程并求解，即可得到答案；
（2）设利润为M元，结合题意，根据二次函数的性质，计算得利润最大值对应的的值，从而得到答案．
【详解】（1）由题意列方程得：（x＋40-30） （300-10x）＝3360
解得：x1＝2，x2＝18
∵要尽可能减少库存，
∴x2＝18不合题意，故舍去
∴T恤的销售单价应提高2元；
（2）设利润为M元，由题意可得：
M＝（x＋40-30）（300-10x）＝-10x2＋200x＋3000＝
∴当x＝10时，M最大值＝4000元
∴销售单价：40＋10＝50元
∴当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元．
【点睛】本题考查了一元二次方程、二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程、二次函数的性质，从而完成求解．
27．（1）A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元；（2）20
【分析】（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元，根据题意列出方程解出即可；
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意根据题意列出方程解出即可；
【详解】解：（1）设B产品的销售单价为x元，则A产品的销售单价为（x+100）元．
根据题意，得
．
解这个方程，得．
则．
答：A产品的销售单价为300元，B产品的销售单价为200元．
（2）设去年每个车间生产产品的数量为t件，根据题意，得

设a%=m，则原方程可化简为．
解这个方程，得（舍去）．
∴a=20．
答：a的值是20．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元二次方程．
28．（1）漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨；（2）20；（3）节省水费大于两项投入之和
【分析】（1）根据题意，设漫灌方式每亩用水吨，列出方程求解即可；
（2）由（1）结果，结合题意列出方程，求解方程；
（3）分别求出节省的水费，维修费，添加设备费，比较大小即可．
【详解】（1）解：设漫灌方式每亩用水吨，则
，
，
漫灌用水：，
喷灌用水：，
滴灌用水：，
答：漫灌方式每亩用水100吨，漫灌、喷灌、滴灌试验田分别用水10000、3000、2000吨．
（2）由题意得，
，
解得（舍去），，所以．
（3）节省水费：元，
维修投入：元，
新增设备：元，
，
答：节省水费大于两项投入之和．
【点睛】本题考查一元一次方程，一元二次方程实际应用，解一元二次方程，掌握题中等量关系正确列式计算是解题关键．
29．（1）10%；（2）13.31万
【分析】（1）设这两个月参观人数的月平均增长率为，根据题意列出等式解出即可；
（2）直接利用（1）中求出的月平均增长率计算即可．
【详解】（1）解：设这两个月参观人数的月平均增长率为，
由题意得：，
解得：，（不合题意，舍去），
答：这两个月参观人数的月平均增长率为．
（2）（万人），
答：六月份的参观人数为13.31万人．
【点睛】本题考查了二次函数和增长率问题，解题的关键是：根据题目条件列出等式，求出增长率，再利用增长率来预测．
30．(1)，
(2)，

【分析】（1）求根公式求解即可；
（2）因式分解求解即可．
【详解】（1）解：由方程可得：
∴或
∴方程的解为或．
（2）解：原方程去括号得：


解得，
∴方程的解为或．
【点睛】本题考查了求根公式、因式分解解一元二次方程．解题的关键在于用适当的方法求解．
31．(1)
(2)

【分析】（1）利用直接开平方法解方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】（1）解：

，

（2）解：




【点睛】本题考查解一元二次方程．正确运用直接开平方法和因式分解法是本题解题的关键．
32．（1）①，；②10台；（2）分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元
【分析】（1）①由题意可知，生产并销售B型车床x台时，生产A型车床（14-x）台，当时，每台就要比17万元少（）万元，所以每台获利，也就是（）万元；
②根据题意可得根据题意：然后解方程即可；
（2）当0≤≤4时，W＝＋＝，当4＜≤14时，
W＝，分别求出两个范围内的最大值即可得到答案.
【详解】解：（1）当时，每台就要比17万元少（）万元
所以每台获利，也就是（）万元
①补全表格如下面：

A型
B型
车床数量/台


每台车床获利/万元
10

②此时，由A型获得的利润是10（）万元，
由B型可获得利润为万元，
根据题意：， ，
，∵0≤≤14， ∴，
即应产销B型车床10台；
（2）当0≤≤4时，
当0≤≤4
A型
B型
车床数量/台


每台车床获利/万元
10
17
利润


此时，W＝＋＝，
该函数值随着的增大而增大，当取最大值4时，W最大1＝168（万元）；
当4＜≤14时，
当4＜≤14
A型
B型
车床数量/台


每台车床获利/万元
10

利润


则W＝＋＝＝，
当或时（均满足条件4＜≤14），W达最大值W最大2＝170（万元），
∵W最大2＞ W最大1，
∴应分配产销A型车床9台、B型车床5台；或产销A型车床8台、B型车床6台，此时可获得总利润最大值170万元．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一次函数和二次函数的实际应用，解题的关键在于能够根据题意列出合适的方程或函数关系式求解.
33．（1），；（2）存在，
【分析】（1）根据题意可得△＞0，再代入相应数值解不等式即可，再利用根与系数的关系求解即可；
（2）根据根与系数的关系可得关于m的方程，整理后可即可解出m的值．
【详解】解：（1）由题意：Δ=(−6)2−4×1×(2m−1)>0，
∴m<5，
将x1=1代入原方程得：m=3，
又∵x1•x2=2m−1=5，
∴x2=5，m=3；
（2）设存在实数m，满足，那么
有，
即，
整理得：，
解得或．
由（1）可知，
∴舍去，从而，
综上所述：存在符合题意．
【点睛】本题主要考查了根的判别式，以及根与系数的关系，关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．以及根与系数的关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，．
34．（1）；（2）-1．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到．
（1）把，代入，即可求出的值；
（2）把，代入，得到．利用整体代入即可求解．
【详解】解：∵已知一元二次方程的两根分别为m，n，
∴．
（1）当时，
，
解得，
经检验，是方程的根，
∴；
（2）当时，
．
∴．
【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据题意得到是解题关键．
35．29元．
【分析】设这种水果每千克降价元，根据超市每天要获得销售利润3640元列一元二次方程，解一元二次方程，再由题意要尽可能让顾客得到实惠，筛选符合条件的的值，即可解题售价．
【详解】解：设这种水果每千克降价元，
则每千克的利润为：元，销售量为：千克，

整理得，


或，
要尽可能让顾客得到实惠，

即售价为（元）
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
36．（1）；（2）当时，关于的函数（是常数）不是“函数”，理由见解析；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；（3）直线总经过一定点，该定点的坐标为．
【分析】（1）先根据关于轴对称的点坐标变换规律可得的值，从而可得点的坐标，再将点的坐标代入“函数”即可得；
（2）分和两种情况，当时，设点与点是一对“点”，将它们代入函数解析式可求出，与矛盾；当时，是一条平行于轴的直线，是“函数”，且有无数对“点”；
（3）先将点代入可得，再根据“函数”的定义可得，从而可得，与直线联立可得是方程的两实数根，然后利用根与系数的关系可得，最后根据化简可得，从而可得，由此即可得出答案．
【详解】解：（1）由题意得：点与点关于轴对称，
，
，
，
将点代入得：，
故答案为：；
（2）由题意，分以下两种情况：
①当时，
假设关于的函数（，是常数）是“函数”，点与点是其图象上的一对“点”，
则，
解得，与相矛盾，假设不成立，
所以当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；
②当时，
函数是一条平行于轴的直线，是“函数”，它有无数对“点”；
综上，当时，关于的函数（是常数）不是“函数”；当时，关于的函数（是常数）是“函数”，它有无数对“点”；
（3）由题意，将代入得：，
，
设点与点是“函数”图象上的一对“点”，
则，解得，
，
联立得：，
“函数”与直线交于点，，
是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，
，
，
，即，
解得，
则直线的解析式为，
当时，，
因此，直线总经过一定点，该定点的坐标为．
【点睛】本题考查了关于轴对称的点坐标变换规律、二次函数与一次函数的综合、一元二次方程根与系数的关系等知识点，掌握理解“函数”和“点”的定义是解题关键．
37．（1）-10x2+3x+1=0；（2），互为倒数，证明见解析；（3）x5=0，x6=2022．
【分析】（1）根据“友好方程”的定义写出对应的友好方程即可；
（2）因式分解法求出每个方程的两个实数根，原方程与“友好方程”的根得出规律，再用求根公式去验证即可；
（3）先根据“友好方程”的根的特点得出-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2020，将待求方程变形为（x-1）2-b（x-1）-2021=0，把x-1看做整体即可求解．
【详解】解：（1）一元二次方程x2+3x-10=0的“友好方程”为：-10x2+3x+1=0，
故答案为：-10x2+3x+1=0；
（2）-10x2+3x+1=0，
，
解得，，，
根据以上结论，猜想ax2+bx+c=0的两根x1、x2与其“友好方程”cx2+bx+a=0的两根x3、x4之间存在的一种特殊关系为互为倒数，
证明如下：
∵一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为，
“友好方程”cx2+bx+a=0的两根为．
∴，
，
即原方程的两根与“友好方程”的两根互为倒数；
故答案为：，互为倒数；
（3）∵方程2021x2+bx-c=0的两根是，
∴该方程的“友好方程”-cx2+bx+2021=0，即cx2-bx-2021=0的两根为x3=-1，x4=2021，
则c（x-1）2-bx+b=2021，即c（x-1）2-b（x-1）-2021=0中x-1=-1或x-1=2021，
∴该方程的解为x5=0，x6=2022．
利用（2）中的结论，写出关于x的方程（x-1）2-bx+b=2021的两根为x5=0，x6=2022，
故答案为x5=0，x6=2022．
【点睛】本题主要考查新定义下一元二次方程根与系数的关系及求根公式的运用，掌握并灵活运用新定义是解题的关键．