【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 拓展模块下册 单元复习 第7章 数列（知识点）讲义

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  知识点一：数列的概念1．数列及其有关概念(1) 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项．(2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}．2．数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列3．函数与数列的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)．4．数列的单调性递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列5．通项公式(1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．(2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数．6．数列的递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 7．数列的前n项和Sn与an的关系(1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an.(2) an＝知识点二：等差数列1．等差数列的概念及通项(1)定义一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）.(2)等差中项   如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即．(3)等差数列通项公式  (4)等差数列的判定① (定义法);          ②(中项法);③(通项法, 一次函数);  ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点).2．等差数列前n项和(1) ； (2)等差数列前n项和公式与二次函数的关系等差数列的前项和,令,则 .3．等差数列的性质设为等差数列,公差为,则(1)若,则.特别地,若,则;(2)下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为．(3)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列．(4)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为．知识点三：等比数列1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．2．等比中项如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中．3．等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为：4．等比数列的前项和公式5．等比数列的性质设等比数列的公比为 (1) 若，且，则，特别地，当时，．(2) 下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． (3) 若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； (4) 连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 考点一 数列的概念1．下列有关数列的说法正确的是（    ）A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关【答案】D【解析】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确；对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同，不是同一个数列，所以B不正确；对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确；对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确.故选：D.2．在数列中，第9个数是（    ）A． B．3 C． D．10【答案】B【解析】观察题目中的数列可知，根号里面的数是公差为1的等差数列，即，第9个数为，即3，故选：B.3．数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】数列9，99，999，9999，…的一个通项公式是，则数列0.9，0.99，0.999，0.9999，…的一个通项公式是，则数列0.3，0.33，0.333，0.3333，…的一个通项公式是，故选：C．4． 下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是(　 　)A．－1，－2，－3，－4，… B．－1，－，－，－，…C．－1，－2，－4，－8，… D．1，，，，…，【答案】B【解析】A，B，C中的数列都是无穷数列，但是A，C中的数列是递减数列，故选B.5．已知数列的通项公式为，则33是这个数列的（     ）A．第3项 B．第4项 C．第5项 D．第6项【答案】C【解析】令，解得，故选：C．6．已知数列的前项和为，求数列的通项公式．（1）；（2）．【答案】（1）；（2）.【解析】解：（1），∴当时，；当时，．经检验，当时，符合上式，．（2），∴当时，；当时，，经检验，当时，不符合上式，．考点二 等差数列7．下列数列中，不成等差数列的是（    ）．A．2，5，8，11 B．1.1，1.01，1.001，1.0001C．a，a，a，a D．，，，【答案】B【解析】对于A，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数3，所以此数列是等差数列，所以A不合题意，对于B，因为，，即，所以此数列不是等差数，所以B符合题意，对于C，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数0，所以此数列是等差数列，所以C不合题意，对于D，数列，，，可表示为，，，，因为第2项起，后一项与前一项的差是同一个常数1，所以此数列是等差数列，所以D不合题意，故选：B8．“a，b，c成等差数列”是“”的（    ）．A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若“a，b，c成等差数列”，则“”，即“a，b，c成等差数列”是“”的充分条件；若“”，则“a，b，c成等差数列”，即“a，b，c成等差数列”是“”的必要条件，综上可得：“a，b，c成等差数列”是“”的充要条件，故选：C．9．数列满足，且，则它的通项公式            ．【答案】【解析】因数列满足，即，因此数列是首项为1，公差为的等差数列，所以数列的通项公式为，故答案为：.10．在等差数列中，，，则数列的公差             _.【答案】2【解析】由题意得，解得，故答案为：2. 11．在等差数列中，若，则的值为（    ）A．90 B．100 C．180 D．200【答案】C【解析】因为为等差数列，故，故，而，故选：C.12．记等差数列的前n项和为,若,则（    ）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【解析】解:由题知,即,,，故选:C13．已知等差数列的前项和为，若，，则（　　）A．120 B．60 C．160 D．80【答案】A【解析】为等差数列，，，，解得..故选：A.14．已知数列与均为等差数列，且，，则（    ）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】因为，，所以，即 ，根据等差数列的性质可知，所以，故选:B.15．已知等差数列是递增数列，且其前三项之和为21，前三项之积为231，求数列的通项公式．【答案】【解析】设等差数列的公差为，则其前三项分别为，，，则，解得或．因为数列为递增数列，所以，所以等差数列的通项公式为．考点三 等比数列16．下列各组数成等比数列的是（    ）①，，，    ②，，，    ③，，，    ④，，，A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【解析】①首项为1，公比为，是等比数列； ②首项为，公比为，是等比数列；③当时，不是等比数列；④首项为，公比为，是等比数列，所以①②④成等比数列，故选：C.17．在数列中，且，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】数列中，且，因此数列是首项为1，公比为-2的等比数列，所以.故选：D.18．在等比数列中，如果，那么（    ）A．40 B．36 C．54 D．128【答案】D【解析】设公比为，由，，所以，所以，故选：D.19．正项等比数列中，是与的等差中项，若，则（    ）A．4 B．8 C．32 D．64【答案】D【解析】由题意可知，是与的等差中项，所以，即，所以，或（舍），所以，，故选：D.20．在数列中，，，且，则数列的通项公式是             ．【答案】【解析】，故是等比数列，，故，故答案为：.21．在正项等比数列中，，则______．【答案】2【解析】在正项等比数列中，，所以，所以，，．故答案为：2.22．设等比数列的前项和为，若公比，，则______．【答案】【解析】设等比数列的首项为，则，则，故答案为：.23．已知数列的前n项和为，在各项均为正数的等比数列中，，，求数列与的通项公式.【答案】，【解析】解：时，；时，，两式相减得，适合，所以；设等比数列的公比为，由题得，所以.  所以.24．为等比数列，且，，求.【答案】或【解析】因为数列为等比数列，则，解得或.由等比中项的性质可得，则.若，则；若，则，综上所述，或.25．已知正项等比数列首项为1，且成等差数列，则前6项和为（       ）A．31 B． C． D．63【答案】C【解析】∵成等差数列，∴，∴，即，解得 或 ，又∵，∴，∴，故选：C.