【期中复习】（高教版2021）中职高中数学 拓展模块下册 单元复习 第9章-随机变量及其分布（知识点）讲义-

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知识点一：离散型随机变量及其分布
1．离散型随机变量
（1）随机变量的基本概念
①随机变量的概念：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母、等表示．
②离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．
③连续型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．
2．离散型随机变量的分布列及其数字特征
(1)离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为 x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列．
注：分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：
①，； ②，．
(2)离散型随机变量的期望和方差：
一般地，若离散型随机变量X的分布列，如下表所示
则称为随机变量X的均值或数学期望，简称期望。
称为随机变量的方差，称为随机变量的标准差．
3．二项分布
(1) 重伯努利试验(次独立重复试验)
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②将一个伯努利试验独立地重复进行次所组成的随机试验称为重伯努利试验.
(2) 二项分布
一般地，在重伯努利试验中，设每次试验中事件发生的概率为()，用表示事件发生的次数，则的分布列为，.如果随机变量的分布列具有上式的形式，则称随机变量服从二项分布，记作．
(3) 二项分布的均值与方差
若随机变量服从参数为,的二项分布，即,则, .
知识点二：正态分布
1．正态曲线
正态曲线沿着横轴方向水平移动只能改变对称轴的位置，曲线的形状没有改变，所得的曲线依然是正态曲线显然对于任意，，它的图象在轴的上方．可以证明轴和曲线之间的区域的面积为1，我们称为正态密度函数，称它的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①；当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”；σ越大，曲线越“矮胖”，如图②.
若随机变量的概率密度函数为，则称随机变量服从正态分布，记为，特别地，当，时，称随机变量服从标准正态分布．
2．由的密度函数及图象可以发现，正态曲线还有以下特点
(1) 曲线是单峰的，它关于直线对称；
(2)曲线在处达到峰值；
(3)当|x|无限增大时，曲线无限接近轴．
3．正态分布的期望与方差 若，则，．
4．正态变量在三个特殊区间内取值的概率
(1)；(2)；(3)．
在实际应用中，通常认为服从于正态分布的随机变量只取中的值，这在统计学中称为原则．
5．利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法：由于正态曲线是关于直线对称的，且概率的和为1，故关于直线对称的区间概率相等．如：
①； ②．
(2)“”法：利用落在区间内的概率分别是0．6827，0．9545，0．9973求解．
考点一 离散型随机变量及其分布
1．下面给出的四个随机变量中是离散型随机变量的为（ ）
①高速公路上某收费站在半小时内经过的车辆数；
②一个沿直线进行随机运动的质点离坐标原点的距离；
③某同学射击3次，命中的次数；
④某电子元件的寿命；
A．①②B．③④C．①③D．②④
2．甲、乙两班进行足球对抗赛，每场比赛赢了的队伍得3分，输了的队伍得0分，平局的话，两队各得1分，共进行三场．用表示甲的得分，则表示（ ）．
A．甲赢三场B．甲赢一场、输两场
C．甲、乙平局三次D．甲赢一场、输两场或甲、乙平局三次
3．袋中装有除颜色外，质地大小完全相同的4个小球，其中有1个红球、3个白球，从中任意取出1个观察颜色，取后不放回，如果取出的球的颜色是红色，则停止取球，如果是白色，则继续取球，直到取到红球时停止，记停止时的取球次数为，则所有可能取值的集合为______，的意义为______．
4． 已知随机变量的分布列是：
则（ ） A．B． C．1 D．
5．已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）：
则等于（ ）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
6．一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果数为（ ）
A．18B．21C．24D．10
7．若随机变量X的概率分布表如下：
则（ ） A．0.5B．0.42C．0.24 D．0.16
8．一袋中装5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取出3只，以ξ表示取出的三只球中的最小号码，则随机变量ξ的分布列为( )
A．B．
C．D．
9．若随机变量ξ只能取两个值0，1，又知ξ取0的概率是取1的概率的3倍，写出ξ的分布列.
10．袋中有4只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，试求得分X的均值．
11．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率.
（1）求当天商店不进货的概率；
（2）记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列.
12．若离散型随机变量，，且，则为（ ）
A．B．C．D．
13．现有甲，乙两名篮球运动员，甲､乙两人各投篮一次，投中的概率分别和，假设每次投篮是否投中，相互之间没有影响.（结果需用分数作答）
（1）求甲投篮3次，至少有2次未投中的概率；
（2）求两人各投篮2次，甲恰好投中2次且乙恰好投中1次的概率；
（3）设乙单独投篮3次，用表示投中的次数，求的分布列和数学期望.
考点二 正态分布
14．设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数的图像，且，则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）．
A．10与8B．10与2C．8与10D．2与10
15．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．B．C．D．
16．已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ）
A．0.3B．0.3C．0.2D．0.1
17．已知随机变量X，Y分别满足，，且均值，方差，则________.
18．已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
19．已知在体能测试中，某校学生的成绩服从正态分布，其中60分为及格线，则下列结论中正确的是（ ）
附：随机变量服从正态分布，则
A．该校学生成绩的均值为25B．该校学生成绩的标准差为
C．该校学生成绩的标准差为70D．该校学生成绩及格率超过95%
20．某班一次数学考试（满分150分）的成绩服从正态分布，若，则估计该班这次数学考试的平均分为（ ）
A．85B．90C．95D．105
ξ
x1
x2
…
xi
…
P
P1
P2
…
Pi
…
X
…
P
…
1
2
3
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
X
0
1
P
0.4
日销售量(件)
0
1
2
3
频数
1
5
9
5