广西南宁市第一中学2023-2024学年高一数学上学期第一次质量检测试题（Word版附解析）

南宁市第一中学2023级高一第一次质量检测

数学试卷

（考试时间：120分钟  试卷满分：150分）

考试时长：120分钟  总分：150分

注意事项：

1．答题前，考生务必将姓名、座位号、考号填写在答题卡上．

2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试题上作答无效．

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题8分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 给出下列关系：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】由元素与集合、集合与集合的关系对选项一一判断即可；

【详解】对于①，，正确；

对于②，，正确；

对于③，，错误；

对于④，，正确；

对于⑤，，错误，则正确的有3个.

故选：B.

2. 命题“”的否定为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．

【详解】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“”的否定为：．

故选：A．

3. 已知集合则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到结果.

【详解】由解得，

所以，

又因为，所以，

故选：D.

【点睛】本题考查是有关集合的问题，涉及到的知识点有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交运算，属于基础题目.

4. 已知全集，集合，，那么阴影部分表示的集合为

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由韦恩图可知阴影部分表示的集合为，求出，计算得到答案

【详解】阴影部分表示集合为，

故选

【点睛】本题主要考查的是韦恩图表达集合的关系和运算，属于基础题

5. 下列四个图形中，不是以为自变量的函数的图象是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】运用函数的定义判断即可.

【详解】由函数定义知，定义域内的每一个x，都有唯一函数值与之对应，B项、C项、D项中的图象都符合，A项中对于大于零的x而言，有两个不同的值与之对应，故A项不符合.

故选：A.

6. “”是“”的什么条件（    ）．

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】运用解一元二次方程及必要不充分条件的性质即可求解.

【详解】因为或，所以或是的必要不充分条件.

故选：B.

7. 下列四组函数中，表示同一函数的一组是（    ）．

A. 与 B. 与

C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】运用同一函数的定义依次判断各个选项即可.

【详解】对于A项，定义域为，定义域为，定义域不同，所以两者不是同一函数，故A项不符合；

对于B项，定义域为，定义域为，定义域相同且解析式相同，所以两者是同一函数，故B项符合；

对于C项，定义域为，定义域为，定义域不同，所以两者不是同一函数，故C项不符合；

对于D项，由解得，故的定义域为，

由解得或，故的定义域为或，

定义域不同，所以两者不是同一函数，故D项不符合.

故选：B.

8. 若方程有2个相等的实数根，则不等式的解集为（    ）、

A. 或. B. 或.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，结合且，求得，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解.

【详解】由方程有2个相等的实数根，

可得且，解得，

所以不等式，即为，

解得或，即不等式的解集为或.

故选：B.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 若集合中含有3个元素，则实数的取值可以是（    ）

A.  B.  C. 6 D. 2

【答案】AC

【解析】

【分析】由集合中元素的互异性列式即可求得结果.

【详解】由题意知，，解得且且，

故选：AC.

10. 对于实数，正确的命题是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则， D. 若，，则

【答案】AB

【解析】

【分析】根据已知条件，结合作差法，以及特殊值法，即可求解.

【详解】对于A，，，

即，故A正确；

对于B，，则，故B正确；

对于C，令，满足，但，故C错误；

对于D，，，

即，故D错误.

故选:AB.

11. 有下列式子：①；②；③；④.其中，可以是一个充分条件的序号为（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】BCD

【解析】

【分析】解不等式，利用集合的包含关系判断可得出结论.

【详解】，，

，，.

②③④是的充分条件.

故选：BCD.

12. 下列命题中，真命题的是（    ）

A. ，都有 B. ，使得

C. 任意非零实数，，都有 D. 函数最小值为2

【答案】AB

【解析】

【分析】由基本不等式，全称量词，存在量词命题逐项判断命题的真假即可.

【详解】对于选项A，，都有，所以恒成立.故为真命题.

对于选项B，当时，，故为真命题.

对于选项C，当时，，故为假命题.

对于选项D，，当且仅当，此时无解，故等号不成立，所以为假命题.

故选：AB.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．

13. 函数的值域为__________．

【答案】

【解析】

【分析】根据二次函数的性质，求得函数的最大值和最小值，即可求解.

【详解】由函数，

根据二次函数的性质，当时，得到；当时，得到，

所以函数在的值域为.

故答案为：.

14. 若，，则的取值范围是_________．

【答案】

【解析】

【分析】根据不等式的基本性质，即可求解.

【详解】由，可得，则，

因为，根据不等式的基本性质，可得，

即不等式的取值范围是.

故答案为：.

15. 若不等式的解集为，则_________．

【答案】1

【解析】

【分析】由一元二次不等式与一元二次方程的根的关系可求得结果.

【详解】由题意知，，是方程的两根，

所以，解得，

所以

故答案为：1.

16. 若，，且，则的最小值为________．

【答案】4

【解析】

【分析】应用基本不等式“1”的代换求最小值即可，注意等号成立的条件.

【详解】由题设，知：当且仅当时等号成立.

故答案：4.

四、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．

17. 已知,,求,

【答案】见解析

【解析】

【分析】求出集合A的补集，化简集合B，结合韦恩图，即可求解.

【详解】因为，所以或

因为

所以

【点睛】本题主要考查了集合间的交并补混合运算，属于基础题.

18. 求下列函数的定义域：

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）且且

【解析】

【分析】由分式中分母不为0，偶次根式中被开方数不小于0列式求解即可.

【小问1详解】

由题意知， ，解得，故函数定义域为.

【小问2详解】

由题意知，，解得且且，

故函数定义域为且且.

19. （1）求不等式的解集；

（2）比较和的大小；

【答案】（1）或； （2）.

【解析】

【分析】（1）根据一元二次不等式的解法，即可求解；

（2）利用作差比较法，即可求解.

【详解】解：（1）不等式，整理得，

即，解得或，即不等式的解集为或.

（2）由，所以.

20. 已知，，，求证：

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】根据不等式性质即可证明.

【详解】∵，

∴，

又∵，

∴，即，

∴，

又∵，

∴.

21. 已知函数，集合.

（1）求函数的定义域；

（2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．

【答案】（1）；（2）

【解析】

【分析】（1）可看出，要使得函数有意义，则需满足，从而得出结论；（2）根据“”是“”的必要条件即可得出，从而分别讨论是空集和不是空集两种情况，得到不等式组，求得结果.

【详解】（1）要使有意义，则：

解得或

的定义域或

（2）“”是“”的必要条件    

①当时，   

②当时，或

解得：

实数的取值范围为

【点睛】考查函数定义域的概念及求法，必要条件和子集的概念，空集的定义，易错点是求解时，忽略了为空集的情况.

22. 为持续推进“改善农村人居环境，建设宜居美丽乡村”，某村委计划在该村广场旁一矩形空地进行绿化.如图所示，两块完全相同的长方形种植绿草坪，草坪周围（斜线部分）均摆满宽度相同的花，已知两块绿草坪的面积均为400平方米.

（1）若矩形草坪的长比宽至少多9米，求草坪宽的最大值；

（2）若草坪四周及中间的花坛宽度均为2米，求整个绿化面积的最小值.

【答案】（1）最大值为16米；（2）最小值为平方米.

【解析】

【分析】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，依题意列出不等关系，求解即可；

（2）表示，利用均值不等式，即得最小值.

【详解】（1）设草坪的宽为x米，长为y米，由面积均为400平方米，得.

因为矩形草坪的长比宽至少大9米，所以，所以，解得.

又，所以.

所以宽的最大值为16米.

（2）记整个的绿化面积为S平方米，由题意可得

（平方米）

当且仅当米时，等号成立.

所以整个绿化面积的最小值为平方米.