2023-2024学年山西省太原三十六中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省太原三十六中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（含解析），共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年山西省太原三十六中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程中，属于一元二次方程的是(    )A.  B.  C.  D. 2.一元二次方程配方后可变形为(    )A.  B.  C.  D. 3.方程的解是(    )A.  B.
C. ； D. ；4.用求根公式解一元二次方程时，，的值是(    )A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，5.如图，在中，，是的中点，，则的长为(    )A.
B.
C.
D. 6.如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成四边形测得，的距离为，，的距离为，则，的距离是(    )A.
B.
C.
D.
 7.电影满江红于年月日在中国大陆上映，某地第一天票房约亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，二天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作，则方程可以列为(    )A.  B.
C.  D. 8.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是(    )A.  B.  C. 且 D. 且9.如图，中，，，点是边上的动点，过点作边，的垂线，垂足分别为，连接，则的最小值为(    )A.
B.
C.
D. 10.如图，正方形的边长为，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：
若为的中点，则四边形是正方形；
若为上任意一点，则；
点在运动过程中，的值为定值；
点在运动过程中，线段的最小值为．
正确的有(    )
 A.  B.  C.  D. 二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）11.已知是方程的一个根，则的值为______ ．12.如图所示，四边形是边长为的菱形，，则四边形的面积为______ ．
 13.的两根分别为、，则 ______ ．14.如图，一张长、宽的矩形铁皮，将其剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分阴影部分可制成底面积是的有盖的长方体铁盒，则该铁盒的体积为______ ．
 15.秋天到了，人容易着凉，某班有一同学患了流感，经过两轮传染后共有名学生患了流感，假设每轮传染中平均一个人传染的人数为人，则列方程为______ ．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）16.某水果批发商场经销一种高档水果，若每千克盈利元，每天可售出千克．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价元，日销售量将减少千克．为了获得元的利润，同时考虑顾客的利益，那么应该涨价多少元？四、解答题（本大题共7小题，共67.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分
解下列方程
；
 18.本小题分
如图，将矩形沿对角线折叠，点的对应点为点，与交于点．

求证：≌；
若，求的度数．19.本小题分

如图，在菱形中，对角线，相交于点，点是的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接．
求证：四边形为矩形；
若，，求菱形的面积．
20.本小题分
【阅读材料】
若，求，的值．
解：，，
，，
，．
【解决问题】
已知，求的值；
【拓展应用】
已知，，是的三边长，且，满足，是中最长的边，求的取值范围．21.本小题分

课本情境
课本第页第题：如图，已知矩形，，，动点从点出发，以的速度向点运动，直到点为止；动点同时从点出发，以的速度向点运动，与点同时结束运动出发______ 时，点和点之间的距离是；
逆向发散
当运动时间为时，、两点的距离为______ ；当运动时间为时，、两点的距离为______ ．22.本小题分

小明在学习矩形这一节时知道“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，由此引发他的思考，这个定理的逆命题成立吗？猜想：“如果一个三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形为直角三角形”．
通过探究，小明发现这个猜想也成立，以下是小明的证明过程：
已知：如图，在中，是边的中点，连接，且．
求证：为直角三角形．
证明：由条件可知，，则，．
又，
，即为直角三角形．
爱动脑筋的小明发现用本学期所学知识也能证明这个结论，并想出了图，图两种不同的证明思路，请你选择其中一种，把证明过程补充完整： 证法一：如图，延长至点，使，连接，．证法二：如图，分别取，边的中点，，连接，，，则，，为的中位线． 
23.本小题分
探究问题：
方法感悟：
如图，在正方形中，点、分别为、边上的点，且满足，连接，求证：．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将绕点顺时针旋转得到，此时与重合，由旋转可得：
，，，，
，
因此，点、、在同一条直线上．
，
．
，．
即______．
又，，≌______．
______，故DE；
方法迁移：
如图，将沿斜边翻折得到，点、分别为、边上的点，且试猜想、、之间有何数量关系，并证明你的猜想；
问题拓展：
如图，在四边形中，，、分别为、上的点，满足，试猜想当与满足什么关系时，可使得请直接写出你的猜想不必说明理由．

 

答案和解析 1.【答案】 【解析】解：选项A，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；
选项B，未知数在分母中，不是一元二次方程．该选项不符合题意．
选项C，方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意；
选项D，是一元二次方程，故该选项符合题意．
故选：．
直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程是一元二次方程．2.【答案】 【解析】解：，
，
，即，
故选：．
先移项，再两边配上一次项系数一半的平方可得．
本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．3.【答案】 【解析】解：，
，
或，
所以，，
故选：．
先把方程化为一般式，然后利用因式分解法解方程．
本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．4.【答案】 【解析】解：，
，
，，，
故选：．
先将方程化为一般形式，然后即可写出、、，本题得以解决．
本题考查解一元二次方程的一般形式、解一元二次方程公式法，解答本题的关键是明确一元二次方程的一般形式．5.【答案】 【解析】解：在中，，是边的中点，，
则，即．
故选：．
根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．
本题主要考查的是直角三角形斜边中线的性质，掌握其性质是解题的关键．6.【答案】 【解析】解：过点作于，于，连接，交于点，
两条纸条宽度相同，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
四边形是菱形，
，，，
，
，
，
故选：．
先证四边形是菱形，由勾股定理可求，可求解．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判断和性质以及勾股定理应用，证得四边形为菱形是解题的关键．7.【答案】 【解析】解：若把增长率记作，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，
依题意得：．
故选：．
若把增长率记作，则第二天票房约为亿元，第三天票房约为亿元，根据三天后票房收入累计达亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8.【答案】 【解析】解：一元二次方程有实数根，
，且，
解得且，
故选：．
根据一元二次方程的定义及根的判别式即可判断．
此题考查了一元二次方程的定义及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的定义及根的判别式是解题的关键．9.【答案】 【解析】解：如图，连接，

，，，
，
，，，
，
四边形是矩形，
，
由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小，
此时，即，
，
的最小值为，
故选：．
连接，由勾股定理求出，再证明四边形是矩形，得到，由垂线段最短可知，当时，线段最小，则线段的值最小，进而由三角形的面积求出的长即可．
本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．10.【答案】 【解析】解：四边形是正方形，
，，，
于点，于点，
，
四边形是矩形，，，
，，
为的中点，
，
，
四边形是正方形，故正确；
连接，

四边形是矩形，
，
在与中，
，
≌，
，
，故正确；
，
，
四边形是矩形，
，
，
即的值为定值，故正确；
，
当最小时，最小，
当时，最小，
在 中，，
，
，
，
线段的最小值为，故正确；
正确的有．
故选：．
先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明≌，得，则，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小，利用求得，即得线段的最小值为，即可判定正确．
此题考查正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短．解题关键是熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质．11.【答案】 【解析】解：是方程的一个根，
，
即，
．
故答案为：．
根据是方程的一个根，得出，代入即可求解．
本题主要考查了一元二次方程的解，求代数式的值，解题的关键是根据题意得出．12.【答案】 【解析】解：如图，设与相交于点，

四边形是边长为的菱形，，
，，
在中，，
，
，
菱形的面积为．
故答案为：．
设与相交于点，由四边形是边长为的菱形，，得到，，在中，由勾股定理得到，则，根据菱形面积公式即可得到答案．
此题考查了菱形的性质和面积、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．13.【答案】 【解析】解：由题意，根据根与系数的关系可得，
，．
又，
．
依据题意，由根与系数的关系得，，，再由进而代入可以得解．
本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键．14.【答案】 【解析】解：设剪去的正方形的边长为，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为，宽为，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
该纸盒的体积为；
故答案为：．
设剪去的正方形的边长为，则制成有盖的长方体铁盒的底面长为，宽为，根据长方体铁盒的底面积是，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用以及全等图形，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．15.【答案】 【解析】解：设每轮传染中平均每个人传染了人．
依题意得，
，
，不合题意，舍去．
所以，每轮传染中平均一个人传染给个人．
故答案为：．
设每轮传染中平均每个人传染了人，第一轮后有人患了流感，第二轮后会传染给人，则两轮以后共有人得病，然后根据共有人患了流感就可以列出方程求解．
此题主要考查了增长率问题，本题要注意的是，患流感的人把病毒传染给别人，自己仍然是患者，人数应该累加，这个问题和细胞分裂是不同的．16.【答案】解：设每千克水果应涨价元，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，，
要使顾客得到实惠，应取，
则每千克水果应涨价元． 【解析】设每千克水果应涨价元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．
此题考查了一元二次方程的应用，弄清题中的等量关系是解本题的关键．17.【答案】解：，
，
或，
，；
，
，
或，
，． 【解析】右边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解；
右边分解因式后，利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．
此题考查了解一元二次方程因式分解法，利用此方法解方程时首先将方程右边化为，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为，两因式中至少有一个为转化为两个一元一次方程来求解．18.【答案】解：证明：已知矩形沿对角线折叠，
则，，
在和中，
，
≌；
≌，
，
四边形是矩形，
，
，
，
． 【解析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，翻折变换等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
根据证明三角形全等即可；
利用全等三角形的性质求解即可．19.【答案】证明：，
，是的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形为矩形；
解：四边形是菱形，
，，，
，点是的中点，
，
，
，
，
，
解得：负值已舍去，
，，
． 【解析】证≌，得，则四边形是平行四边形，然后由菱形的性质得，则，即可得出结论；
由菱形的性质得，，，再求出，，则，，即可解决问题．
本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的性质是解题的关键．20.【答案】解：，
将拆分为和，可得：
，
根据完全平方公式得，
，，
，，
．
，
将拆分为和，可得：
，
根据完全平方公式得，
，
，，
，．
是中最长的边，
，即的取值范围为． 【解析】将拆分为和，再根据完全平方公式配方解答；
先根据阅读材料求出、的值，再根据三角形三边关系解答．
本题考查了配方法的应用，根据完全平方公式进行配方是解题的关键．21.【答案】或     【解析】解：设出发秒时，点和点之间的距离是，过点作，如图，

由运动知，，，，，
点和点之间的距离是，
由勾股定理得：，
解得：或，
故答案为：或．
时，，，，
．
时，，，
．
故答案为：；．
设运动时间为秒时，过点作于，利用勾股定理构建方程即可解决问题；
根据勾股定理计算即可．
本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，构造出直角三角形是解本题的关键．22.【答案】解：证法一：如图延长至点，使，连接、；
是的中点，
，
四边形是平行四边形；
又，，
，
四边形是矩形．
，
为直角三角形．
证法二：如题图，
，，为的中位线，
，，，
四边形 是平行四边形，
，
，
四边形是矩形，
，
，
为直角三角形． 【解析】证法一中，先根据对角线互相平分证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形是矩形，得到；
证法二中，先根据两组对边分别平行证明四边形是平行四边形，再根据对角线相等证明四边形 是矩形，得到．
本题考查了矩形的判定、直角三角形的性质、中位线定理等知识，掌握基本概念的运用是解题的关键．23.【答案】     【解析】解：将绕点顺时针旋转得到，此时与重合，由旋转可得：
，，，，
，
因此，点、、在同一条直线上．
，
．
，
．
即，
又，，
≌，
，
故DE；
故答案为：，，；

，理由如下：
如图，延长，作，

将沿斜边翻折得到，点，分别为，边上的点，且，
，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
在和中，
，
≌，
，
；

当与满足时，可使得．
如图，延长，作，

，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，
在和中，
，
≌，
，
．
利用角之间的等量代换得出，再利用得出≌，得出答案；
作出，利用已知得出，再证明≌，即可得出答案；
根据角之间的关系，只要满足时，就可以得出三角形全等，即可得出答案．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，折叠的性质和旋转变换的性质等知识，根据题意作出与已知相等的角，利用三角形全等是解决问题的关键．