上海市位育中学2023-2024学年高三上学期开学考试数学试题

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位育中学2023学年第一学期高三年级数学开学考                   2023.9一、填空题1．双曲线的焦距为________．2．若“”是“”的充分条件，则实数的取值范围为________．3．已知，则________．4．已知随机变量，且，则________．5．一个口袋中装有大小相同的2个白球和4个红球，从中摸出两个球，若表示摸出白球的个数，则________．6．已知是等差数列，，公差为其前项和，若成等比数列，则________．7．若直线与曲线交于两点，则的值为________．8．法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析几何函数论》中给出一个定理，如果函数满足条件：①在闭区间上是连续不断的；②在区间上都有导数；则在区间上至少存在一个实数，使得，其中称为“拉格朗日”中值，函数在区间上的“拉格朗日中值”________．9．袋中装有9个形状大小均相同的小球，其中4个红球，3个黑球，2个白球，从中一次取出2个球，记事件“两球是同一颜色”，事件“两球均为红球”，则________．10．已知函数的导函数的图像如图所示，给出以下结论：①在区间上严格增；②的图像在处的切线斜率等于0；③在处取得极大值；④在处取得极小值．正确的序号是________．11．设椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，则________．12．已知，令，若函数的图像在各个象限均有分布，则实数的取值范围为________．二、选择题13．设角的始边为轴正半轴，则“的终边在第一、二象限”是“”的（    ）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件  C．充分必要条件  D．既非充分又非必要条件14．若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题一定正确的是（    ）A．与都不相交           B．与都相交C．至多与中的一条相交    D．至少与中的一条相交15．已知，下列判断错误的是（    ）A．函数的图像在点处的切线方程为B．是函数的一个极值点C．当时，D．当时，不等式的解集为16．对于函数，设：对任意的，均有；：对任意的，均有；：函数为偶函数．则以下说法正确的是（    ）A．中仅是的充分条件           B．中仅是的充分条件C．均是的充分条件               D．均不是的充分条件三、解答题17．某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束：若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分，已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．      18．已知函数，设．（1）当时，解关于的不等式；（2）对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的范围．   19．已知离心率为的椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，为左、右焦点，为椭圆上的点，且．直线过圆外一点，与椭圆交于两点，满足．（1）求粗圆的标准方程；（2）若，求三角形面积的取值范围；（3）对于任意点，是否总存在唯一的直线，使得成立，若存在，求出直线的斜率；否则说明理由．         参考答案一、填空题1.;    2.;   3.;  4.;   5.;  6.;   7.;  8.; 9.;   10.②④；   11.   12.11．设椭圆的左、右焦点分别为，过焦点的直线交椭圆于两点，若的内切圆的面积为，则________．【答案】4【解析】椭圆的左右焦点分别为,,
过焦点的直线交椭圆于,)两点,的内切圆的面积为,
故答案为:412．已知，令，若函数的图像在各个象限均有分布，则实数的取值范围为________．【答案】【解析】函数,定义域为,
函数定义域为,在上;在上,函数开口向上,对称轴为此时在上,,图象过第三象限,
在上,,图象过第一象限,图象不过第二,四象限,不合题意,故舍去;
当,即或时,函数
有两个零点,,,
①若,函数的对称轴为,,则,
当时,在上,图象过第二象限,
在上,图象过第四象限,
在上,图象过第一象限,
所以不过第三象限,故舍去,
当时,即,则,限,
在上,图象过第二象限,
在上,图象过第四象限,
在上,图象过第一象限,
所以函数的图像在各个象限均有分布,符合题意,
②若,函数的对称轴为,,则,
在上,图象过第三象限,限,限,限,
所以不过第二象限,故舍去,    故答案为:.二、选择题13.A         14.D         15.B         16.C15．已知，下列判断错误的是（    ）A．函数的图像在点处的切线方程为B．是函数的一个极值点C．当时，D．当时，不等式的解集为【答案】B【解析】因为,所以,
所以,因此函数的图像在点处的切线方程为,即,故正确;
当时,在上恒成立,即函数在定义域内单调递减,无极值点;故错;
当时,,由得,由得
所以函数在上单调递减,在上单调递增,
因此,即,故正确;
当时,在上恒成立,所以函数在上单调递减,
由可得,解得:,故正确;
故选:.16．对于函数，设：对任意的，均有；：对任意的，均有；：函数为偶函数．则以下说法正确的是（    ）A．中仅是的充分条件           B．中仅是的充分条件C．均是的充分条件               D．均不是的充分条件【答案】C【解析】对于：对任意的,均有,,因此为偶函数,
对于：对任意的,均有,则,
因此是偶函数,
所以均是的充分条件,错误,正确.
故选:.三．解答题17.（1）分布列为           （2）先回答B类问题18．已知函数，设．（1）当时，解关于的不等式；（2）对任意的，函数的图像总在函数的图像的下方，求正数的范围．【答案】（1）       （2）     【解析】(1)由,得,则,得,即不等式的解集为;
(2)因为,
对任意的,函数的图像总在函数函数图象的下方,
则在上恒成立，即在上恒成立,,
整理得:在上恒成立,
则只需要即可,
又因为,所以,所以正数的范围为;19．已知离心率为的椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，为左、右焦点，为椭圆上的点，且．直线过圆外一点，与椭圆交于两点，满足．（1）求粗圆的标准方程；（2）若，求三角形面积的取值范围；（3）对于任意点，是否总存在唯一的直线，使得成立，若存在，求出直线的斜率；否则说明理由．【答案】（1）  （2） （3）见解析【解析】（1）由题可设椭圆方程为,则,
由椭圆定理可得则,
所以椭圆的方程为:.
(2)由题可知直线的斜率存在且不为0,则设直线方程为,
联立直线与椭圆方程可得,
令,则当且仅当,即时等号成立,所以三角形面积的取值范围为.
(3)设直线方程为(斜率必存在),
化简得(1),
联立与椭圆方程可得,代入①得,②
代入②得:,故,
而点在轴上方,所以对于任意一个,存在唯一的使得成立,故满足题意的直线有且只有一条.