河南省信阳市2023-2024学年高三第一次教学质量检测数学试题

2023-2024学年普通高中高三第一次教学质量检测

数  学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

注意事项：

1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置．

2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．

3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．

4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．

第Ⅰ卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若集合，，则等于（    ）

A． B． C． D．

2．已知和均为等差数列，，，，则数列的前50项的和为（    ）

A．5000 B．5050 C．5100 D．5150

3．已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（    ）

A． B． C． D．

4．已知函数在上满足不等式，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

5．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理．已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（    ）

A．49% B．51% C．65.7% D．72.9%

6．已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（    ）

A．－4 B．4 C．5 D．8

7．已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B． C． D．

8．已知a，b，，e是自然对数的底数，若，，，则有（    ）

A． B． C． D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．函数的大致图象不可能为（    ）

A． B． C． D．

10．四个实数－1，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有（    ）

A． B．－2 C．－16 D．－32

11．已知，，且，则不正确的是（    ）

A． B． C． D．

12．函数及其导函数的定义域均为，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（    ）

A．函数的图象关于直线对称

B．若的导函数为，定义域为，则

C．函数的图象存在对称中心

D．设数列为等差数列，若，则

第Ⅱ卷

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．若命题“，”为假命题，则实数a的取值范围是______．

14．已知，，则______．

15．若函数与的图象在一个公共点处的切线相同，则实数______．

16．已知定义在上的连续函数满足：

①在上是单调函数

②

③对恒成立

④对恒成立

若，，，，记与形成的封闭图形的面积为，，则满足的最小的n的值为______．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）在等比数列中，，．

（1）求数列的通项公式；

（2）记为的前n项和．若，求m．

18．（本题满分12分）已知函数，且满足．

（1）求函数的定义域及a的值；

（2）若关于x的方程有两个不同的实数解，求t的取值范围．

19．（本题满分12分）已知函数．

（1）若，求不等式的解集；

（2）若，，求的最小值．

20．（本题满分12分）为响应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业自主创业．经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本万元，在年产量不足4万件时，；在年产量不小于4万件时，，每件产品售价6元．假定小王生产的这种商品当年能全部售完．

（1）写出年利润（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式．（年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本）

（2）这种商品年产量为多少万件时，小王在生产中所获利润最大？最大利润是多少？

21．（本题满分12分）在数列中，，．

（1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，若恒成立，试求实数的取值范围．

22．（本题满分12分）已知函数，其中a为非零实数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个极值点，，且，证明：．

2023-2024学年普通高中高三第一次教学质量检测

数学参考答案

一、选择题

1．B   2．B   3．A   4．C   5．C   6．C   7．A   8．A

二、选择题

9．BCD   10．ABD    11．ACD    12．BCD

三、填空题

13．    14．    15．－1或0    16．9

四、解答题

17．解：（1）设的公比为q，由题设得．

由已知得，解得（舍去）或或．故或．

（2）若，则．

由得，此方程没有正整数解．

若，则．由得，解得．综上，．

18．解：（1）由解得．所以函数的定义域为．

因为，所以．

所以．

又，故化简得所求．

（2）由（1）可知，其中，

所以由题设得关于x的方程在内有两个不同的实数解．（*）

设函数，因为该函数图像的对称轴方程为，

所以结合（*）知只需解得．

故所求实数t的取值范围是．

19．解：（1）若，则．

所以，即，即．所以．

所以或，解得或，

即不等式的解集为．

（2）若，即，解得．

所以．

令，，所以．

当，即时，在上单调递增，

所以，即．

当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以，即．

综上，

20．解：（1）由题意，当时，；

当时，，

所以年利润关于x的函数关系式为

（2）由（1）知

当时，，可得，令，解得，

当时，；当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．所以．

当时，，

当且仅当，即时取等号．

所以当年产量为10万件时，所获利润最大，最大利润为5万元．

21．解：（1）∵，两边同时除以，∴．

∴数列是首项为，公差为2的等差数列，

则，∴．

（2）由，可得，

则．

，即，即恒成立．

．∴．故实数的取值范围为．

22．解：（1）函数的定义域为．则．

①当，即时，，函数在上单调递增；

②当即时，令，得，，

则当或时，；

当时，，

故在，上单调递增，在上单调递减．

③当时，（舍去），．

则当时，；当时，，

所以在上单调递减，在上单调递增；

综上所述，当时，在上单调递增；

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在上单调递减，在上单调递增．

（2）证明：因为有两个极值点，，由（1）知，，，

所以，，且，．

因为，所以，所以，．

要证．

，

，令，

则，所以在上单调递增，

又，故，即．