2024年高考数学第一轮复习专题5.1 平面向量的概念及其线性运算(解析版)

这是一份2024年高考数学第一轮复习专题5.1 平面向量的概念及其线性运算(解析版)，共30页。试卷主要包含了向量的有关概念，向量的线性运算，共线向量定理，故选A等内容，欢迎下载使用。
5.1 平面向量的概念及其线性运算
思维导图




知识点总结
1.向量的有关概念
(1)向量：既有大小又有方向的量叫作向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||.
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行.
(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量运算
定　义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

三角形法则

平行四边形法则
(1)交换律：
a＋b＝b＋a
(2)结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求两个向量差的运算

a－b＝a＋(－b)
数乘
规定实数λ与向量a相乘的运算，叫作向量的数乘，记作λa
(1)|λa|＝|λ||a|；
(2)若a≠0，则当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当λ＝0时，0a＝0；当a＝0时，λ0＝0
λ(μa)＝λμa；
(λ＋μ)a＝λa＋μa；
λ(a＋b)＝λa＋λb
3.共线向量定理
设a为非零向量，如果有一个实数λ，使b＝λa，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使b＝λa.
[常用结论]
1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋).
2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.
3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件.



典型例题分析
考向一 　平面向量的有关概念
例1. 设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)
A.a＝－b B.a∥b
C.a＝2b D.a∥b且|a|＝|b|
答案　C
解析　因为向量的方向与向量a方向相同，向量的方向与向量b方向相同，且＝，
所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.
当a＝2b时，＝＝，
故a＝2b是＝成立的充分条件.
感悟提升　平行向量有关概念的四个关注点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量，解题时，不要把它与函数图象的平移混淆.

考向二 向量的线性运算
角度1　平面向量加、减运算的几何意义
例2 (2023·芜湖调研)如图，等腰梯形ABCD中，AB＝BC＝CD＝3AD，点E为线段CD上靠近C的三等分点，点F为线段BC的中点，则＝(　　)

A.－＋ B.－＋
C.－＋ D.－＋
答案　A
解析　由题图，得＝＋＝＋＝(－)＋
＝－＋－－＝－＋.故选A.
角度2　向量的线性运算
例3 在△ABC中，＝，若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b
C.a－b D.a－b
答案　A
解析　如图，过点D分别作AC，AB的平行线交AB，AC于点E，F，则四边形AEDF为平行四边形，

所以＝＋.
因为＝，
所以＝，＝，
所以＝＋＝a＋b.
角度3　利用向量的线性运算求参数
例4 在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝30°，AD为BC边上的高.若＝λ＋μ，则λ－μ＝________.
答案　
解析　如图.

∵AD为BC边上的高，
∴AD⊥BC.
∵AB＝2，∠ABC＝30°，
∴BD＝＝BC，
∴＝＋＝＋＝＋(－)＝＋.
又∵＝λ＋μ，
∴λ＝，μ＝，故λ－μ＝.
感悟提升　平面向量线性运算的常见类型及解题策略
(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义.
(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值.


考向三 共线向量定理的应用
例5 (1)(2022·绵阳二诊)已知平面向量a，b不共线，＝4a＋6b，＝－a＋3b，＝a＋3b，则(　　)
A.A，B，D三点共线 B.A，B，C三点共线
C.B，C，D三点共线 D.A，C，D三点共线
答案　D
解析　对于A，＝＋＝－a＋3b＋(a＋3b)＝6b，与不共线，A不正确；
对于B，＝4a＋6b，＝－a＋3b，则与不共线，B不正确；
对于C，＝－a＋3b，＝a＋3b，则与不共线，C不正确；
对于D，＝＋＝4a＋6b＋(－a＋3b)＝3a＋9b＝3，即∥，又线段AC与CD有公共点C，所以A，C，D三点共线，D正确.故选D.
(2)(2023·山西大学附中诊断)如图所示，已知点G是△ABC的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点，设x＝，y＝，则＋的值为(　　)

A.3 B.4
C.5 D.6
答案　A
解析　延长AG交BC于点H(图略)，则H为BC的中点，
∵G为△ABC的重心，
∴＝＝×(＋)＝(＋)＝＝＋.
∵M，G，N三点共线，
∴＋＝1，
即＋＝3.故选A.
感悟提升　利用共线向量定理解题的策略
(1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.
(2)当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线，即A，B，C三点共线⇔，共线.
(3)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0.
(4)＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若A，B，C三点共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1.


考向四 等和(高)线定理
(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理：如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA′B′相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，又＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝k(λ＋μ)＝k；反之也成立.

(2)平面内一组基底，及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.
例 给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°，如图，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是________.

答案　2
解析　法一　由已知可设OA为x轴的正半轴，O为坐标原点，建立直角坐标系(图略).
其中A(1，0)，B，C(cos θ，sin θ)，.
则有＝(cos θ，sin θ)＝x(1，0)＋y，
即
得x＝sin θ＋cos θ，y＝sin θ，
x＋y＝sin θ＋cos θ＋sin θ＝sin θ＋cos θ＝2sin，
其中0≤θ≤，所以(x＋y)max＝2，
当且仅当θ＝时取得.
法二　如图，

连接AB交OC于点D，
设＝t，
由于＝x＋y，
所以＝t(x＋y).
因为D，A，B三点在同一直线上，
所以tx＋ty＝1，x＋y＝，
由于||＝t||＝t，
当OD⊥AB时t取到最小值，
当点D与点A或点B重合时t取到最大值1，
故1≤x＋y≤2.故x＋y的最大值为2.
法三　(等和线法)连接AB，

过C作直线l∥AB，则直线l为以，为基底的平面向量基本定理系数的等和线，显然当l与圆弧相切于C1时，定值最大，
因为∠AOB＝120°，
所以＝＋，
所以x＋y的最大值为2.

基础题型训练

一、单选题
1．下面给出的关系式中正确的个数是（     ）
①；②；③；④；⑤
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】向量数乘仍是向量，故①错误；由向量数量积的运算律，有②③正确；应用数量积的运算可证明、不成立，故④⑤错误
【详解】①错误，正确的是，向量数乘结果还是向量.
②③正确，根据向量数量积运算可判断得出.
④错误，，故
⑤错误，
综上，正确的个数为2
故选：B
【点睛】本题考查了向量的运算性质、数量积的运算律，判断正误
2．下列结论中，正确的是（    ）
A．2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量
B．若O是直线l上的一点，单位长度已选定，则l上有且仅有两个点A，B，使得是单位向量
C．方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量
D．一人从A点向东走500米到达B点，则向量不能表示这个人从A点到B点的位移
【答案】B
【分析】根据单位向量的定义，向量的概念及共线向量的概念，逐项判定，即可求解.
【详解】由一个单位长度取作2020 cm时，2020 cm长的有向线段就表示单位向量，故A错误；
根据单位向量的定义，在直线上有且仅有两个点使得为单位长度，所以B正确；
方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行的，所以两向量为共线向量，故C错误；
根据位移的定义，向量表示点到点的位移，所以D不正确.
故选：B.
3．若＝(1，1)，＝2，且，则与的夹角是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由，求得，再利用平面向量的夹角公式求解.
【详解】解：因为，
所以，即，
解得，
所以，
因为，
所以，
故选：B
4．若是边长为1的等边三角形，G是边BC的中点，M为线段AG上任意一点，则的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据几何关系结合平面向量的线性运算可得，，设，利用平面向量数量积的运算律即可求解.
【详解】解：因为为等边三角形，是边的中点，故,,
又是线段上任意一点，故设，
因为，所以.
故,
又,故.
故选：C.

5．已知向量，在正方形网格中的位置如图所示，那么向量与的夹角为（      ）

A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的减法法则画出，得到一个等腰直角三角形，求其结果即可.
【详解】如图，，，则，
设最小的小正方形网格长度为1，则，，
所以，
所以三角形是等腰直角三角形，，
向量与的夹角为的补角.

故选：D.
6．已知空间任一点和不共线的三点、、，下列能得到、、、四点共面的是（    ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】B
【分析】先证明出若且，则、、、四点共面，进而可得出合适的选项.
【详解】设且，
则，，
则，所以，、、为共面向量，则、、、四点共面.
对于A选项，，，、、、四点不共面；
对于B选项，，，、、、四点共面；
对于C选项，，，、、、四点不共面.
故选：B.
【点睛】本题考查利用空间向量判断四点共面，考查推理能力，属于中等题.

二、多选题
7．若是直线l上的一个单位向量，这条直线上的向量，，则下列说法正确的是（    ）
A． B． C．与的夹角为 D．
【答案】BC
【分析】根据条件可得，进而可判断ABC，然后利用向量数量积的概念可判断D.
【详解】因为，，
所以，故A错误，B正确，C正确；
所以，故D错误.
故选：BC.
8．对于两个向量和，下列命题中错误的是（    ）
A．若，满足，且与同向，则 B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据向量的运算法则，以及向量的数量积的运算公式，逐项运算，即可求解.
【详解】对于A中，向量是既有大小，又有方向的量，所以向量不能比较大小，所以A不正确；
对于B中，由，
又由，因为，
所以成立，所以B正确；
对于C中，，所以C不正确；
对于D中，，
所以，所以D不正确.
故选：ACD.

三、填空题
9．若向量，满足，，，则与的夹角为_________.
【答案】
【分析】由向量夹角公式直接求解即可.
【详解】，
夹角为，
故答案为：.
10．在中，、、分别是角A、、的对边，，，，，则___________.
【答案】
【分析】将已知向量等式两边平方，利用向量的数量积的运算法则运算化简，进而再开方求得答案.
【详解】
，
，
故答案为：.
11．在中，，且，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】计算出，利用二次函数的最值问题即可解出答案.
【详解】，
当时，，
所以.
故答案为：.
12．已知向量，，，满足，，，，若，则的最小值为______.
【答案】/
【分析】令，进而根据向量模的不等式关系得，且
，再求向量的模，并结合二次函数性质即可得答案.
【详解】设，则，
所以，
，
由二次函数性质可得，，即：
所以，
所以的最小值为
故答案为： .

四、解答题
13．运用数量积知识证明下列几何命题：
(1)在中，，则；
(2)在矩形ABCD中，AC＝BD.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.

【解析】(1)
证明：由题得,
因为，所以,
所以，
所以.
(2)
证明；因为矩形ABCD，
所以，
同理,
因为,
所以,所以AC＝BD.
14．如图所示，中，，边上的中线交于点，设，用向量表示.

【答案】，；，.
【解析】利用平行线以及三角形相似，先找出线段间的关系，再结合图象得到向量间的关系．
【详解】解析因为，所以.
由，得.
又是的底边的中点，，所以，.
【点睛】本题考查向量的几何表示，三角形相似的性质，向量的加减法，体现了数形结合的数学思想．属于基础题.
15．已知，且与的夹角为，又，，
(1)求在方向上的投影；
(2)求．
【答案】(1)1
(2)

【分析】（1）根据在方向上的投影为计算即可得解；
（2）根据向量的线性运算求出，再根据向量的模的计算公式结合数量积的运算律即可得出答案.
(1)
解：因为，且与的夹角为，
所以在方向上的投影为；
(2)
解：因为，，
所以，
则，
即.
16．平面内给定三个向量，且．

(1)求实数k关于n的表达式；
(2)如图，在中，G为中线OM上一点，且，过点G的直线与边OA，OB分别交于点P，Q（不与重合）.设向量，求的最小值．
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）由向量平行的坐标运算求解即可；
（2）由向量的运算得出，再由三点共线，得出，再由基本不等式求最值.
【详解】（1）因为，
所以，即.
（2）由（1）可知，，，由题意可知
因为，所以
又，，所以.
因为三点共线，所以.

当且仅当时，取等号，即时，取最小值.



提升题型训练

一、单选题
1．已知是互相垂直的单位向量，若，则（    ）
A． B． C．0 D．2
【答案】A
【分析】利用向量数量积运算求得正确答案.
【详解】
故选：A
2．如图，四边形中，，则相等的向量是（    ）

A．与 B．与 C．与 D．与
【答案】D
【分析】判断出四边形为平行四边形，结合平行四边形的性质以及相等向量的定义可得出合适的选项．
【详解】因为在四边形中，，
则四边形为平行四边形，
故，，，
故选：D．
3．下列命题正确的是
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【详解】试题分析：由题；A.，错误；向量的模长相等，但方向不同；B．，错误；向量是有方向的，不能比大小；D．，错误；向量相等，则模长相等，方向相同．而共线则方可相反．C．，正确；符合零向量的定义．
考点：向量的概念．
4．对于非零向量，，定义．若，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据定理可得，然后利用向量模的计算求出，代入即可求解.
【详解】∵，∴．
由可得，
两式相减得，∴．
故选：B.
5．设向量，满足，，，则的取值范围是（    ）
A． [，＋∞) B． [，＋∞)
C．[，6] D．[，6]
【答案】B
【分析】由复数的数量积与模的关系将转化为数量积，再利用数量积的定义化简求最值.
【详解】＝＝＝＝≥，当t＝－1时取等号．
故选：B.
6．已知，，则的最大值等于（    ）
A．4 B． C． D．5
【答案】C
【分析】利用基本不等式得到，然后利用平面向量数量积运算求解.
【详解】因为，，
所以，
当且仅当，即时取等号，
故选：C
【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算以及基本不等式的应用，属于中档题.

二、多选题
7．有如下命题，其中真命题为（    ）
A．若幂函数的图象过点，则
B．函数（且）的图象恒过定点
C．函数在上单调递减
D．已知向量与的夹角为，且，，则在方向上的投影向量是．
【答案】BD
【分析】A 选项，根据幂函数经过的点，求出解析式，即可判断；B选项，根据指数函数恒过定点
即可得到；C选项，根据二次函数的单调性可以判断；D选项，由投影向量知识可算得.
【详解】对A选项，设幂函数的解析式为，因为幂函数的图像经过点，即，解得，则，，故A选项错误；
对B选项，函数的图象恒过定点，故B选项正确；
对C选项，函数在上单调递增，故C选项错误；
对D选项，在方向上的投影向量,故D选项正确.
故选：BD.
8．下列命题中假命题的是（    ）
A．向量与向量共线，则存在实数使
B．，为单位向量，其夹角为θ，若，则
C．若，则
D．已知与是互相垂直的单位向量，若向量与的夹角为锐角，则实数k的取值范围是.
【答案】ACD
【分析】A.根据共线向量定理进行分析判断即可；B.将左右同时平方，由此求解出的取值范围，则范围可求；C.考虑零向量存在的情况；D.根据，同时注意排除两向量同向时的情况.
【详解】A.根据共线向量定理可知，此时，故错误；
B.因为，所以，所以，所以，
又因为，所以，故正确；
C.当中有零向量时，此时，因为零向量方向是任意的，所以不一定满足，故错误；
D.因为向量与的夹角为锐角，所以，
所以，即，且与不同向，
当向量与共线时，设，所以，所以，
显然时，与同向，
综上可知，的取值范围是，故错误；
故选：ACD.

三、填空题
9．下列向量中，与一定共线的有_______．（填序号）
①，；
②；；
③，；
④，．
【答案】①②③
【解析】根据平面向量共线定理判断即可.
【详解】①中，；
②中，；
③中，；
④中，当不共线时，.
故答案为：①②③．
【点睛】本题考查平面向量共线定理，属于基础题.
10．已知向量，满足，，且，则与的夹角为______.
【答案】
【分析】根据向量垂直，数量积为零，再由数量积的定义可求.
【详解】,，
即，，
，，，
又，.
故答案为：.
【点睛】本题考查向量的数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题.
11．已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是_____.
【答案】
【解析】首先根据，求得，由此利用夹角公式计算出向量与的夹角的余弦值，由此求得向量与的夹角.
【详解】由两边平方并化简得，即，即.所以，由于，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查向量模、数量积的运算，考查向量夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题.
12．已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，已知，则__．
【答案】
【分析】利用向量的三角形法则和共线向量定理即可得出．
【详解】由向量的三角形法则可得：
∴
故答案为
【点睛】熟练掌握向量的三角形法则和共线向量定理是解题的关键．

四、解答题
13．如图，网格小正方形的边长均为1，求.

【答案】.
【分析】根据向量加法的三角形法则即可得出结果.
【详解】解：如图，作，，，则根据向量加法的三角形法则可得，即.

14．如图，按下列要求作答．

(1)以A为始点，作出；
(2)以B为始点，作出；
(3)若为单位向量，求、和．
【答案】(1)作图见解析
(2)作图见解析
(3)，，

【分析】（1）根据向量加法的平行四边形法则即可作出；（2）先将共线向量计算出结果再作出；（3）根据利用勾股定理即可计算出各向量的模长.
【详解】（1）将的起点同时平移到A点，利用平行四边形法则作出，如下图所示：

（2）先将共线向量的起点同时平移到B点,计算出,再将向量与之首尾相接，利用三角形法则即可作出，如下图所示：

（3）由是单位向量可知，根据作出的向量利用勾股定理可知，
；
由共线向量的加法运算可知；
利用图示的向量和勾股定理可知，.
15．已知，，．
（1）求向量与的夹角；
（2）求
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据向量的运算性质化简求出，利用向量夹角公式求解即可；
（2）根据向量的运算法则先计算，即可求解.
【详解】，
，
即．
，
，；
，
又，
；


，
．
16．如图，设Ox，Oy是平面内相交成角的两条数轴，、分别是x轴，y轴正方向同向的单位向量，若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标，假设.

(1)计算的大小；
(2)是否存在实数n，使得与向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，

【分析】（1）根据题意结合平面向量的数量积及模长运算求解；
（2）根据题意可得，结合垂直关系运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，
故.
（2）存在，
由（1）可得：
若向量，即，
∵与向量垂直，
则，
解得.