2024年高考数学第一轮复习专题5.3 平面向量的数量积及其应用 （解析版）

这是一份2024年高考数学第一轮复习专题5.3 平面向量的数量积及其应用 （解析版），共26页。试卷主要包含了平面向量数量积的有关概念，平面向量数量积的运算律，平面几何中的向量方法等内容，欢迎下载使用。
5.3 平面向量的数量积及其应用
思维导图



知识点总结
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：对于两个非零向量a和b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫作向量a与b的夹角.

当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a和b，它们的夹角是θ，我们把数量|a||b|cos__θ叫作向量a和b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.
(3)投影向量
设a，b是两个非零向量，如图(1)(2)，表示向量a，表示向量b，过点A作所在直线的垂线，垂足为点A1.我们将上述由向量a得到向量的变换称为向量a向向量b投影，向量
称为向量a在向量b上的投影向量.

向量a在向量b上的投影向量为(|a|cos__θ).
2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.
(1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2.
(2)模：|a|＝＝.
(3)夹角：cos θ＝＝.
(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·.
3.平面向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律).
(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).
4.平面几何中的向量方法
三步曲：(1)用向量表示问题中的几何元素，将几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
[常用结论]
1.两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b>0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b