2024年高考数学第一轮复习4.3 三角函数的图象与性质（解析版）

这是一份2024年高考数学第一轮复习4.3 三角函数的图象与性质（解析版），共26页。试卷主要包含了辅助角公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式等内容，欢迎下载使用。
4.3 三角函数的图象与性质
思维导图


知识点总结
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cos(α－β)＝cos__αcos__β＋sin__αsin__β；
(2)公式C(α＋β)：
cos(α＋β)＝cos__αcos__β－sin__αsin__β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin__αcos__β－cos__αsin__β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin__αcos__β＋cos__αsin__β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝.
2.辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
[常用结论]
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；
(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，
tan αtan β＝1－＝－1.
3.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α：sin 2α＝2sin__αcos__α.
(2)公式C2α：cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α.
(3)公式T2α：tan 2α＝.
[常用结论]
1.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.
2.升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.
4.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0).
(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，(π，－1)，，(2π，1).
5.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
{x x≠kπ＋}
值域
[－1，1]
[－1，1]
R
最小正周期
2π
2π
π
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数

递增区间

[2kπ－π，2kπ]

递减区间

[2kπ，2kπ＋π]
无
对称中心
(kπ，0)


对称轴方程
x＝kπ＋
x＝kπ
无
[常用结论]
1.对称性与周期性
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).
3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.

典型例题分析
考向一 公式的基本应用
例1 (1)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)
A. B.－
C.－ D.
答案　B
解析　∵α是第三象限角，∴sin α＜0，
且sin α＝－＝－＝－，
因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.
(2)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)
A.－ B.
C. D.－
答案　A
解析　∵α∈，
∴cos α＝－，tan α＝－，
又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，
∴tan(α－β)＝＝＝－.
感悟提升　1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.
2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.


考向二 给值求值
例2 (1)(2023·淄博模拟)已知α∈，且cos 2α＝sin，则sin 2α＝(　　)
A.－ B.
C.－1 D.1
答案　C
解析　∵cos 2α＝sin＝(sin α＋cos α)，
∴cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，
∴(cos α＋sin α)＝0，
∴cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，
由cos α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0，
即sin 2α＝－1，
由cos α－sin α＝平方可得1－sin 2α＝，
即sin 2α＝，
因为α∈，
所以2α∈(－π，0)，sin 2α＜0，
综上，sin 2α＝－1.
(2)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　因为tan 2α＝＝，
且tan 2α＝，
所以＝，解得sin α＝.
因为α∈，
所以cos α＝，tan α＝＝.
感悟提升　给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：
(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；
(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.


考向三
考向四

考向五
基础题型训练

一、单选题
1．已知x∈[0，2π]，如果y = cosx是增函数，且y = sinx是减函数，那么（    ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据正弦函数和余弦函数的单调性即可得到结论．
【详解】当，，如果是增函数，
则，
若是减函数，
则，
若同时满足条件，
则，
故选：．
2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （    ）
A． B．y=tan x
C．y=lnx D．y=x|x|
【答案】D
【分析】由奇偶性排除AC，由增减性排除B，D选项符合要求.
【详解】，不是奇函数，排除AC；定义域为，而在
上为增函数，故在定义域上为增函数的说法是不对的，C错误；满足，且在R上为增函数，故D正确.
故选：D
3．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（   ）

A．y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x
【答案】A
【分析】由图象判断函数的奇偶性，以及函数值的符号，运用排除法可得结论.
【详解】由f（x）的图象关于原点对称，可得f（x）为奇函数，
对于选项B，f（x）＝sinx－x2，f（－x）＝－sinx－x2≠－f（x），f（x）不为奇函数，故排除B；
对于选项C，f（x）＝，f（－x）＝＝2x（1－cosx）≠－f（x），f（x）不为奇函数，故排除C；
对于选项D，f（x）＝x＋sinx，f（－x）＝－sinx－x＝－f（x），可得f（x）为奇函数，
由f（x）＝0，可得sinx＝－x，f（0）＝0，由y＝sinx和y＝－x的图象可知它们只有一个交点，故排除D；
对于选项A，f（x）＝xcosx，f（－x）＝－xcos（－x）＝－xcosx＝－f（x），可得f（x）为奇函数，
且f（x）＝0时，x＝0或x＝kπ＋（k∈Z），f（）＜0，f（π）＜0，
故选项A最可能正确.
故选：A.
4．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为（ ）
A．3 B．6 C．12 D．24
【答案】B
【分析】根据两个零点的距离可以求出三角函数的半个周期，再利用周期公式可以得到答案
【详解】函数的相邻两个零点之间的距离为函数的半个周期，，
故选：B.
5．在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间上的增函数又是以为周期的偶函数(   )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据函数的周期性和三角函数的单调性对选项进行逐一分析即可.
【详解】对于A,函数不是周期函数,所以排除A.
对于B,函数的最小正周期为,且根据正弦函数的图像可知在区间上为增函数,所以B正确.
对于C,函数周期为,在区间上为减函数,所以排除C.
对于D,函数的周期为,在区间上是先增后减,所以排除D.
故选:B.
6．已知函数，下列结论错误的是（    ）
A．函数是偶函数
B．函数的最小正周期为
C．函数在区间上单调递增
D．函数的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】函数，利用余弦函数的周期、奇偶性、对称轴，单调性求解．
【详解】对于函数，
由于，故函数是偶函数，故A正确；
由知，它的周期等于，故B正确；
当时，，所以单调递增，故C正确；
令，则，则不是的对称轴，故D错误．
故选：D

二、多选题
7．若函数的最小正周期为，则的值可能是（    ）
A．2 B． C． D．-2
【答案】BC
【解析】根据周期公式求解即可.
【详解】因为函数的最小正周期为
所以，
故选：BC.
【点睛】本题主要考查了根据正弦型函数的最小正周期求参数，属于基础题.
8．关于函数，下列结论正确的是（    ）
A．该函数的其中一个周期为
B．该函数的图象关于直线对称
C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象
D．该函数在区间上单调递减
【答案】ABD
【分析】根据周期函数定义判断，根据函数对称条件判断，求平移后函数表达式判断，求出递减区间判断．
【详解】解：令；
对于，因为，所以对；
对于，因为，所以对；
对于，的图象向左平移个单位长度得到函数，
函数与函数不同，所以错；
对于，的单调递减区间为，，，因为，所以对；
故选：．

三、填空题
9．函数的最小正周期为，则______.
【答案】
【分析】根据三角函数的最小正周期的定义及求法，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，函数的最小正周期为，可得，
解得，所以.
故答案为：
10．函数的最小正周期是，则______.
【答案】2
【分析】根据周期的计算公式，代入周期即可得到的值.
【详解】因为，所以.
故答案为.
【点睛】本题考查三角函数的周期公式的运用，难度较易.知道其中一个量即可求解另一个量.
11．若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______.
【答案】（答案不唯一，满足即可）
【解析】令，将代入可求出.
【详解】令，，解得，
关于对称，
是的对称轴，
，解得，
令得.
故答案为：（答案不唯一，满足即可）.
12．函数的局部图象如图所示，则该函数的解析式为________.

【答案】
【分析】由函数的最小值可求得的值，由函数图象可得出函数的最小正周期，可求得的值，再将点代入函数解析式，结合的取值范围可求得的值，即可得出函数解析式.
【详解】由图可得，则，
由图象可知，函数的最小正周期满足，故，
，则函数解析式为，
将点的坐标代入函数解析式可得，可得，
所以，，可得，
因为，故，
因此，函数解析式为.
故答案为：.

四、解答题
13．求下列函数的最小正周期．
（1）f(x)＝cos；
（2）y＝4sin (a≠0)．
【答案】（1）T＝π；（2）T＝.
【分析】利用正弦型函数和余弦型函数最小正周期的计算公式，即可容易求得结果.
【详解】（1）∵y＝cos，∴ω＝2.
又T＝＝＝π，
∴函数f(x)＝cos的最小正周期T＝π.
（2）当a>0时，T＝，
当a