2024年高考数学第一轮复习4.3 三角函数的图象与性质（原卷版）

这是一份2024年高考数学第一轮复习4.3 三角函数的图象与性质（原卷版），共11页。试卷主要包含了辅助角公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式等内容，欢迎下载使用。
4.3  三角函数的图象与性质思维导图 知识点总结1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式(1)公式C(α－β)：cos(α－β)＝        ；(2)公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝        ；(3)公式S(α－β)：sin(α－β)＝         ；(4)公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝         ；(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝         ；(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝         .2.辅助角公式asin α＋bcos α＝               ，其中sin φ＝，cos φ＝.[常用结论]两角和与差的公式的常用变形：(1)sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；(2)cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，tan αtan β＝1－＝－1.3.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)公式S2α：sin 2α＝            .(2)公式C2α：cos 2α＝            ＝               ＝            .(3)公式T2α：tan 2α＝         .[常用结论]1.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，tan2α＝.2.升幂公式：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，1±sin 2α＝(sin α±cos α)2.4.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，，(π，0)，       ，(2π，0).(2)余弦函数y＝cos x，x∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，，       ，，(2π，1).5.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)函数y＝sin xy＝cos xy＝tan x图象定义域RR 值域[－1，1]  最小正周期  π奇偶性奇函数 奇函数递增区间   递减区间 无
对称中心  对称轴方程  无[常用结论]1.对称性与周期性(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z).(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z).3.对于y＝tan x不能认为其在定义域上为增函数，而是在每个区间(k∈Z)内为增函数. 典型例题分析考向一  公式的基本应用例1 (1)若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝(　　)A.  B.－  C.－  D.答案　B解析　∵α是第三象限角，∴sin α＜0，且sin α＝－＝－＝－，因此，sin＝sin αcos ＋cos αsin ＝×＋×＝－.(2)已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)A.－  B.  C.  D.－答案　A解析　∵α∈，∴cos α＝－，tan α＝－，又tan(π－β)＝，∴tan β＝－，∴tan(α－β)＝＝＝－.感悟提升　1.使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.2.使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.  考向二 给值求值例2 (1)(2023·淄博模拟)已知α∈，且cos 2α＝sin，则sin 2α＝(　　)A.－  B.  C.－1  D.1答案　C解析　∵cos 2α＝sin＝(sin α＋cos α)，∴cos2α－sin2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝(cos α＋sin α)，∴(cos α＋sin α)＝0，∴cos α＋sin α＝0或cos α－sin α＝，由cos α＋sin α＝0平方可得1＋sin 2α＝0，即sin 2α＝－1，由cos α－sin α＝平方可得1－sin 2α＝，即sin 2α＝，因为α∈，所以2α∈(－π，0)，sin 2α＜0，综上，sin 2α＝－1.(2)(2021·全国甲卷)若α∈，tan 2α＝，则tan α＝(　　)A.  B.  C.  D.答案　A解析　因为tan 2α＝＝，且tan 2α＝，所以＝，解得sin α＝.因为α∈，所以cos α＝，tan α＝＝.感悟提升　给值求值问题，要注意寻找已知式与未知式之间的联系，有两个观察方向：(1)有方向地将已知式或未知式化简，使关系明朗化；(2)寻找角之间的关系，看是否适合相关公式的使用，注意常见角的变换和角之间的二倍关系.  基础题型训练 一、单选题1．已知x∈[0，2π]，如果y = cosx是增函数，且y = sinx是减函数，那么（    ）A． B．C． D．2．下列四个函数中，在其定义域上既是奇函数又是增函数的是 （    ）A． B．y=tan xC．y=lnx D．y=x|x|3．已知函数y＝f（x）的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式最可能是（   ）A．y＝xcosx B．y＝sinx－x2 C． D．y＝sinx＋x4．如果函数的相邻两个零点之间的距离为，则的值为（   ）A．3 B．6 C．12 D．245．在下面给出的函数中,哪一个函数既是区间上的增函数又是以为周期的偶函数(   )A． B．C． D．6．已知函数，下列结论错误的是（    ）A．函数是偶函数B．函数的最小正周期为C．函数在区间上单调递增D．函数的图象关于直线对称 二、多选题7．若函数的最小正周期为，则的值可能是（    ）A．2 B． C． D．-28．关于函数，下列结论正确的是（    ）A．该函数的其中一个周期为B．该函数的图象关于直线对称C．将该函数的图象向左平移个单位长度得到的图象D．该函数在区间上单调递减 三、填空题9．函数的最小正周期为，则______.10．函数的最小正周期是，则______.11．若函数的图象关于直线对称，则常数的一个取值为______.12．函数的局部图象如图所示，则该函数的解析式为________. 四、解答题13．求下列函数的最小正周期．（1）f(x)＝cos；（2）y＝4sin (a≠0)．14．利用“五点法”作出函数，的简图．15．函数的一个零点为，其图象距离该零点最近的一条对称轴为．（1）求函数的解析式及函数的对称中心；（2）若关于x的方程在区间上总有两个不同的实数解，求实数k的取值范围．16．已知函数.（1）求的最小正周期；（2）当时，求的最值.   提升题型训练 一、单选题1．下列函数不是偶函数的是（    ）A． B．C． D．2．函数的图象大致是（    ）A． B．C． D．3．如图是函数的部分图像，则（    ）．
A． B．C． D．4．设函数在区间上恰好有条对称轴，则的取值范围是（    ）A． B． C． D．5．已知函数f(x)＝sin(2x＋α)在x＝时有极大值，且f(x－β)为奇函数，则α，β的一组可能值依次为(　　)A． B．C． D．6．函数的部分图象大致是（    ）A． B．C． D． 二、多选题
7．已知函数的最小正周期为π，则（    ）A．B．函数为奇函数C．函数在上单调递减D．直线是图象的一条对称轴8．设，函数在区间上有零点，则的值可以是（    ）A． B． C． D． 三、填空题9．为偶函数，则___________.（写出一个值即可）10．设点是的图像的一个对称中心，若到图像的对称轴的距离的最小值是，则的最小正周期是_________.11．给出下列四个结论：①；②；③；④.其中正确结论的序号是________.12．已知函数，设方程的根从小到大依次为，且，则___________. 四、解答题13．已知是以为周期的偶函数，且时，，当时，求的解析式．14．已知函数（其中，，,）的部分图象如图所示．
(1)求，，的值；(2)求的单调增区间.15．已知向量，，函数.（1）求图象的对称中心；（2）若动直线与函数和函数的图象分别交于、两点，求线段的长度的取值范围.16．已知函数的最小值为.最大值为4，求a和b的值．