2024年高考数学第一轮复习专题1.1 集合的概念与运算（解析版）

这是一份2024年高考数学第一轮复习专题1.1 集合的概念与运算（解析版），共28页。试卷主要包含了元素与集合，集合间的基本关系，集合的基本运算，集合的运算性质等内容，欢迎下载使用。
专题1.1 集合的概念与运算
思维导图


知识点总结

1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，表示符号分别为∈和∉.
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
(4)常用数集及记法
名称
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
记法
N
N*或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集.记作A⊆B(或B⊇A).
(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集.
(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.
(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
3.集合的基本运算

集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示



集合表示
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A，且x∈B}
{x|x∈U，且x∉A}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A.
常用结论
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.注意空集：空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集.
3.A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB.
4.∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB).

典型例题分析
考向一 集合的基本概念
典例一
1.已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，则A∩B中元素的个数为(　　)
A.2 B.3 C.4 D.6
答案　C
解析　A∩B＝{(x，y)|x＋y＝8，x，y∈N*，且y≥x}＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}.
2.设集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x|x∈A且2x∈A}，则集合B为________.
答案　{0，1，2}
解析　由题意知，∵0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，故B＝{0，1，2}.
3.设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023＋b2 024＝________.
答案　0
解析　由题意知a≠0，
因为{1，a＋b，a}＝.
所以a＋b＝0，则＝－1，
所以a＝－1，b＝1.
故a2 023＋b2 024＝－1＋1＝0.
感悟提升　1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
考点二 集合间的基本关系
典例二
1.已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝，则集合A，B，C的关系为(　　)
A.B⊆A B.A＝B
C.C⊆B D.A⊆C
答案　D
解析　因为x2－2x－3≤0，即(x－3)·(x＋1)≤0，所以－1≤x≤3，则A＝[－1，3]；
又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，
所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4]；
因为≤0，所以－5＜x≤4，则C＝(－5，4]，所以A⊆B，A⊆C，B⊆C.故选D.
2. 已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________.
答案　(－∞，3]
解析　∵B⊆A，
∴若B＝∅，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；
若B≠∅，则解得2≤m≤3.
故实数m的取值范围为(－∞，3].
感悟提升　1.若B⊆A，应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
考向三 集合间的基本运算
典例3
1.已知集合S＝{s|s＝2n＋1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n＋1，n∈Z}，则S∩T＝(　　)A.∅ B.S C.T D.Z
答案　C
解析　法一　在集合T中，令n＝k(k∈Z)，则t＝4n＋1＝2(2k)＋1(k∈Z)，而集合S中，s＝2n＋1(n∈Z)，所以必有T⊆S，所以S∩T＝T，故选C.
法二　S＝{…，－3，－1，1，3，5，…}，T＝{…，－3，1，5，…}，观察可知，T⊆S，所以S∩T＝T，故选C.
2.设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩(∁RB)＝(　　)
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C.∅ D.{x|0＜x＜2}
答案　B
解析　由题意知A＝{y|0＜y＜2}，B＝{x|x≤－1或x≥1}，所以∁RB＝{x|－1＜x＜1}，所以A∩(∁RB)＝{x|0＜x＜1}，故选B.
3.集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩(∁UN)＝∅，则a的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
答案　B
解析　易得M＝{x|2x2－x－1＜0}＝.
∵N＝{x|2x＋a＞0}＝，
∴∁UN＝.
由M∩(∁UN)＝∅，则－≤－，得a≥1.
感悟提升　1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.数形结合思想的应用：
(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图求解；

(2)连续型数集的运算，常借助数轴求解，运用数轴时要特别注意端点是实心还是空心.

考向四 Venn图的应用
在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.
典例四
1.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A.62% B.56% C.46% D.42%
答案　C
解析　用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.

2.某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人.
答案　8
解析　设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图.

由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋

基础题型训练

一、单选题
1．已知集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据交集的定义计算可得．
【详解】解：，，
．
故选：A．
2．已知集合，，若，则a的取值范围为（    ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据定义域求出，由得到a的取值范围.
【详解】由题意得，解得，故，
因为，所以.
故选：A
3．设集合，，则（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用并集和交集的定义对选项求解判断即可
【详解】∵，集合表示小于等于1的所有整数，∴，.
故选D
【点睛】本题考查了并集和交集的定义与计算问题，属于基础题．
4．已知集合,,则
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】解不等式求出集合B，然后再求出即可．
【详解】由题意得，
所以=．
故选D．
【点睛】本题考查集合的交集运算，解题的关键是正确求出集合，属于简单题．
5．设关于x的不等式的解集为A，且，，则实数m的取值范围是（    ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意结合元素与集合的关系可得、，解不等式即可得解.
【详解】由，得，即，
解得或；
由，得，即，解得；
所以实数m的取值范围是.
故选：B.
【点睛】本题考查了通过元素与集合的关系求参数的取值范围，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于基础题.
6．对于集合A，B，“”不成立的含义是　　
A．B是A的子集 B．A中的元素都不是B的元素
C．A中至少有一个元素不属于B D．B中至少有一个元素不属于A
【答案】C
【分析】根据子集的定义可知，“”不成立即A中至少有一个元素不在集合B中.
【详解】“”成立的含义是集合A中的任何一个元素都是B的元素，
不成立的含义是A中至少有一个元素不属于B，
故选C．
【点睛】本题考查集合的包含关系，考查命题的否定，属于基础题．

二、多选题
7．下列关系式正确的为（    ）
A． B．
C． D．
【答案】CD
【分析】根据元素与集合、集合与集合间的关系判断.
【详解】对于A.元素与集合间是属于与不属于的关系，故A错误；
对于B.含有一个元素0，不是空集，故B错误；
对于C.集合的元素具有无序性，以及任何集合都是它本身的子集，故C正确；
对于D.空集是任何集合的子集，故D正确.
故选：CD．
8．（多选）若集合，，则集合或（    ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据选项分别求解，再判断.
【详解】因为集合，，所以，，
或， 所以或，.
故选 ：BC

三、填空题
9．已知实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，则__________．
【答案】-3
【分析】根据题意求元素的关系．
【详解】解：因为实数集合的最大元素等于该集合的所有元素之和，
所以（无解）或者，
解得：．
故答案为：-3．
【点睛】本题考查集合元素的关系，属于基础题．
10．设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为___________.

【答案】
【分析】化简集合N，并求出N的补集，写出韦恩图的阴影部分表示的集合并求解即得.
【详解】依题意，，则，而，又韦恩图表示的集合为，于是得，
所以图中阴影部分表示的集合为.
故答案为：
11．满足，且的集合的个数是_____________.
【答案】12
【分析】根据题设条件，利用交集的性质，由列举法写出满足条件的集合所有，从而可得结果.
【详解】集合，且，
满足条件的集合为
共有12个，故答案为12.
【点睛】本题主要考查已知集合间的关系求集合的个数问题，考查学生对子集，交集概念的理解，是一道中档题.
12．若集合有且仅有2个子集，则满足条件的实数的最小值是____.
【答案】-2
【分析】根据题意可知，集合只有一个元素，从而时，满足条件，而时，可得到，求出，找到最小的即可.
【详解】只有2个子集；
只有一个元素；
时，，满足条件；
②时，；
解得或2；
综上，满足条件的实数的最小值为﹣2.
故答案为﹣2.
【点睛】考查子集的概念，描述法和列举法表示集合的定义，以及一元二次方程实根个数和判别式的关系.

四、解答题
13．已知集合，，若，求实数的值.
【答案】
【分析】由可知，从而可得关于的方程组，进而可求出的值.
【详解】解：由，，所以.解方程组，得.
【点睛】本题考查了集合的运算，考查了复数的概念.
14．已知全集，,
(1)；
(2)求.
【答案】(1)
(2)

【分析】（1）（2）由集合的交并补运算直接求解.
(1)
（1），故；
(2)
（2），则.
15．若，且A∪B=A，求由实数a的值组成的集合．
【答案】
【详解】试题分析：由，得到，所以讨论和两种情况求的取值．第一步，先求解集合，所以集合:，，．
试题解析：，，即
，
故B是单元素集合或
当，由得
当，由得
当，由得
所以由实数a形成的集合为
考点：1．集合与集合的关系；2．空集．
16．集合是由形如的数构成的，试分别判断，，与集合的关系.
【答案】，，
【分析】考虑是否可以写成的形式，若可以则是属于关系，反之则是不属于关系.
【详解】∵，而0， ， ，∵∴；∵，而13，，∴.
【点睛】本题考查元素与集合关系的判定，难度一般.当集合是一个特殊的数集时，判断元素是否属于集合，则需要考虑是否能通过一定的化简手段将元素能写成特殊数集的形式.







提升题型训练
一、单选题
1．满足条件的集合的个数为
A．6个 B．7个 C．8个 D．9个
【答案】C
【详解】试题分析：由题意得，当集合中含有两个元素时，；当集合中含有三个元素时，；当集合中含有四个元素时，；当集合中含有五个元素时，，综上所述集合的个数为个，故选C.
考点：子集的概念及应用.
2．已知全集U={1,3,5,7,9},集合A={1,|a-5|,9},∁UA={5,7},则a的值是(　　)
A．2 B．8 C．-2或8 D．2或8
【答案】D
【详解】由由已知得；故选D.
3．已知集合，，全集，则等于（    ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先利用对数函数的定义域的求法化简集合A，利用根式函数的定义域的求法化简集合B，然后再利用补集和交集运算求解.
【详解】因为，
即或，
所以，
所以，
故选：D.
【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及函数定义域的求法，属于基础题.
4．设集合,,若,则（    ）
A．-1 B．1 C．-1或1 D．0
【答案】A
【分析】由集合的包含关系得的方程组，求解即可
【详解】，由集合元素互异性得 则 或
解得或
故选 A
【点睛】本题考查集合的包含关系，考查元素的互异性，是基础题
5．已知集合，，则
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求得，，再利用集合交集的运算，即可求解.
【详解】由题意，集合，，
所以.
故选D.
【点睛】本题主要考查了集合交集的运算，其中解答中正确求解集合，再根据集合的交集的概念及运算求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
6．设集合，，则（    ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】解不等式确定集合中的元素，然后由交集定义求解．
【详解】由已知可得，
，
所以.
故选：D．
【点睛】本题考查集合的交集运算，一元二次不等式的解法，指数函数的性质，属于基础题．
7．集合A，B，C满足，则成立的等式是（    ）．
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据转化为子集关系，可知集合B，C关系，根据补集概念可得集合A的补集与集合B,C无公共元素，即可求解.
【详解】因为，
所以且，而集合不一定相等，
所以选项A,C,D错误；
又由可知，故B做正确.
故选：B
【点睛】本题主要考查了集合的交、并、补集的定义，子集的概念，考查了推理能力，属于中档题.
8．对于集合，，定义，，设，，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由根据定义先求出集合和集合，再求这两个集合的并集可得，得解.
【详解】因为，， ,,
所以
故选C．
【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时注意理解和的含义，属于基础题.
9．已知集合，若且集合中恰有2个元素，则满足条件的集合的个数为（    ）．
A．1 B．3 C．6 D．10
【答案】B
【分析】将方程平方整理得，再根据判别式得，故，再依次检验得，最后根据集合关系即可得答案.
【详解】解:根据题意将两边平方得，
继续平方整理得：，故该方程有解.
所以，即，解得，
因为，故，
当时，,易得方程无解，当时，，有解，满足条件；
当时，，方程有解，满足条件；
当时，，方程有解，满足条件；
故，因为且集合中恰有2个元素，
所以集合可以是，，.
故选：B.
【点睛】本题考查集合的元素，集合关系，解题的关键在于将方程平方转化为，再结合判别式得，进而求出集合.考查运算求解能力，化归转化能力，是中档题.
10．若是一个非空集合，是一个以的某些子集为元素的集合，且满足:（1）；（2）对于的任意子集，当且时，有；（3）对于的任意子集当且时，有，则称是集合
的一个“——集合类”例如:是集合的一个“——集合类”.已知，则所有含的“——集合类”的个数为（    ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【答案】D
【分析】根据题意知一定包含，对剩余分类讨论得到答案.
【详解】的子集有：.
根据题意：一定包含，剩余.
当5个都不取时，，1个；
当只取1个时，，，
满足，3个；
当只取2个时，，，
满足，3个；
当只取3个时，，
，，
满足，4个；
当只取4个时，不满足；
当取5个时，满足，1个；共12个.
故选：.
【点睛】本题考查了集合的新定义问题，分类讨论是解题的关键.

二、多选题
11．已知集合，．若，则实数m的值为（       ）
A．0 B．1 C．-3 D．3
【答案】AD
【分析】根据并集结果得到，从而讨论得到或或，根据集合中元素的互异性排除不合要求的结果.
【详解】因为，所以．
因为，，所以或，
解得或或；
当时，，，符合题意；
当时，集合不满足集合元素的互异性，不符合题意；
当时，，，符合题意；
综上，或.
故选：AD
12．已知是同时满足下列条件的集合：①；②若，则；③且，则．下列结论中正确的有（   ）
A． B．
C．若，则 D．若，则
【答案】ACD
【分析】根据集合满足的条件对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】（1）由①，则由②，，，由③得，故A正确；
（2）由（1）可知，故B错误；
（3）由①知，，，，，
即，故C正确；
（4），则，由③可得，，，
即，，即，；
由（3）可知当，，，
当，可得，，
故D正确．
故答案为：ACD
13．给定集合，若对于任意，，有，且，则称集合A为闭集合，以下结论正确的是（    ）
A．集合为闭集合；
B．集合为闭集合；
C．集合为闭集合；
D．若集合为闭集合，则为闭集合．
【答案】AC
【分析】根据闭集合的定义和集合知识综合的问题,分别判断,且是否满足即可得到结论.
【详解】对于A：按照闭集合的定义，故A正确;
对于B：当时,.故不是闭集合.故B错误;
对于C：由于任意两个3的倍数,它们的和、差仍是3的倍数,故是闭集合.故C正确;
对于D：假设,.不妨取,但是, ,则不是闭集合.故D错误.
故选：AC
14．设非空集合满足：当时，有，给出如下四个命题，其中真命题是（    ）
A．若，则； B．若，则；
C．若，则； D．若，则
【答案】ABC
【分析】根据各选项对应m、l参数值，讨论另一个参数可能取值情况，根据非空集合
的定义求出它们的范围.
【详解】当时，此时，
若，显然，满足；
若，则，而，不满足；
综上，有，A正确；
当时，此时，
若，则，此时，满足；
若，则，而，不满足；
综上，时有，B正确；
当时，此时，
此时，需保证，则，
综上，，C正确；
当时，此时或，
若，需保证，则；
若有，满足；
综上，，D错误.
故选：ABC

三、填空题
15．关于的方程的解集为______．
【答案】
【分析】直接解方程，再将结果表示成集合形式即可
【详解】由，解得，故解集为：
故答案为：
16．已知集合，，若，则由实数的所有可能的取值组成的集合为______.
【答案】
【分析】由于集合B是集合A的子集，分别讨论集合B为空集和不是空集的情况，当集合B不是空集时，集合B的元素必为或者，即可求解.
【详解】因为集合，，，
若为空集，则方程无解，解得；
若不为空集，则；由解得，所以或，解得或，
综上，由实数的所有可能的取值组成的集合为.
【点睛】本题主要考查了集合间的基本关系以及含参一元一次方程的解法，要注意集合B是集合A的子集时，集合B有可能是空集.
17．定义有限数集中的最大元素与最小元素之差为的“长度”，如：集合的“长度”为3，集合的“长度”为0.已知集合，则的所有非空子集的“长度”之和为_________.
【答案】201
【分析】根据集合“长度”的定义，可将集合的非空子集分六类，分别计算可求出答案.
【详解】集合有6个元素,非空子集有个，
①集合“长度”为0的子集有：；
②集合“长度”为1的子集有：；
③集合“长度”为2的子集有：；
④集合“长度”为3的子集有：；
⑤集合“长度”为4的子集有：；
⑥集合“长度”为5的子集有：,,,,,,,,,,.
的所有非空子集的“长度”之和为.
故答案为：201.
【点睛】本题考查新定义，要求读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行计算、推理、迁移，新定义问题要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情境的变化，通过思考，合理进行思想方法的迁移.
18．设集合是小于5的质数，则的真子集的个数为______，的非空真子集的个数为______.
【答案】     3     2
【分析】质数又称素数，指在一个大于1的自然数中，除了1和此整数自身外，没法被其他自然数整除的数，可求出集合，再根据真子集的定义可求出所求．
【详解】小于5的质数有2，3，即，故的真子集的个数为，非空真子集的个数为.