2023-2024学年福建省福州市鼓楼区杨桥中学九年级（上）开门考数学试卷（含解析）

2023-2024学年福建省福州市鼓楼区杨桥中学九年级（上）开门考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列说法中，正确的是(    )

A. 了解我州中学生的睡眠情况实行全面调查
B. “打开电视机，正在播放动物世界”是必然事件
C. 明天下雨的概率为，意味着明天有的时间下雨
D. 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更加稳定

3.在▱中，，则的度数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.在传统游戏“石头、剪子、布”中，随机出一个手势，出“石头”的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

5.一元二次方程配方后可变形为(    )

A.  B.  C.  D.

6.已知一次函数，那么下列结论正确的是(    )

A. 的值随的值增大而增大 B. 图象经过第一、二、三象限
C. 图象必经过点 D. 当时，

7.抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是(    )

A.  B.
C.  D.

8.在下列给出的条件中，不能判定四边形为平行四边形的是(    )

A. ， B. ，
C. ， D. ，

9.某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每星期可卖出件，现需降价处理，且经市场调查发现：每降价元，每星期可多卖出件，店里每周利润要达到元若设店主把该商品每件售价降低元，则可列方程为(    )

A.  B.
C.  D.

10.如图，在矩形中，点在边上，点在边上，点，在对角线上若四边形是菱形，，则的长是(    )

A.
B.
C.
D.

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

11.抛物线的顶点坐标是______ ．

12.点与关于原点对称，则______．

13.若是关于的正比例函数，则的值是______ ．

14.小晴参加“强国有我”主题演讲比赛，其演讲形象、内容、效果三项的得分分别是分、分、分，若将三项的得分依次按、、的权重确定最终成绩，则小晴的最终成绩是______ 分

15.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的周长为______ ．

16.已知点，，均在抛物线上，其中若，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共9小题，共86.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解方程：
；
．

18.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
若方程有两个实数根，，且，求的值．

19.本小题分
已知一次函数的图象过点与．
求这个一次函数的解析式；
若将这个一次函数的图象向上平移个单位，求平移后的图象与轴的交点坐标．

20.本小题分
用一面足够长的墙为一边，其余各边用总长米的围栏建成如图所示的生态园，中间用围栏隔开，由于场地限制，垂直于墙的一边长不超过米围栏宽忽略不计，若生态园的面积为平方米，求生态园垂直于墙的边长．

21.本小题分

如图，在中，，，．
尺规作图：将绕点顺时针旋转得到，并使点落在边上要求：不写作法，保留作图痕迹．
连接，求的长．

22.本小题分
在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据：

请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近______精确到；
试估算口袋中白球有多少个？
若从中先任摸一球，不放回，再摸一球，请用列表或树状图的方法只选其中一种，求摸到的两球颜色相同的概率．

23.本小题分
如图，在中，，于点，延长到点，使过点作交的延长线于点，连接，．
求证：四边形是平行四边形；
过点作于点，若，，求的长．

24.本小题分
在边长为的正方形中，点，分别在，上，，连接，过点作，垂足为．

如图，延长，交的延长线于，请完成画图并证明：；
如图，点，分别在，的延长线上，连接求的长；
如图，连接，则的最小值为______ 直接写出结果．

25.本小题分
已知函数为常数．
试判断该函数的图象与轴的公共点的个数；
求证：不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上；
若直线与二次函数图象交于、两点，当时，求线段的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形但是中心对称图形，故不符合题意；
B、是轴对称图形但不是中心对称图形，故不符合题意；
C、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意；
D、既是轴对称图形也是中心对称图形，故符合题意；
故选：．
根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合；由此问题可求解．
本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，熟练掌握中心对称图形及轴对称图形的定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：了解我州中学生的睡眠情况适合抽样调查，故不符合题意；
 “打开电视机，正在播放动物世界”是随机事件，故不符合题意；
 明天下雨的概率为，意味着明天下雨的可能性比较大，故不符合题意；
 若平均数相同的甲、乙两组数据，，，则乙组数据更加稳定，符合题意；
故选：．
根据调查的方式，事件的分类，可能性的大小，方差的意义逐项分析即可．
本题考查了统计与概率的知识，熟练掌握调查的方式，事件的分类，可能性的大小，方差的意义是解答本题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：四边形是平行四边形，
，
，
，
故选：．
根据平行边形性质中对角相等可知，．
本题主要考查了平行四边形的基本性质，解决本题的关键利用性质解题．

4.【答案】 

【解析】解：随机出一个手势，可以出“石头、剪子、布”中任意一个，
出“石头”的概率是．
故选：．
直接利用概率公式求解即可．
本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键．用到的知识点为：概率．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
则．
故选D．
先移项，再根据完全平方公式配方，即可得出选项．
本题考查配方法解一元二次方程．

6.【答案】 

【解析】解：对于一次函数，
，
随的增大而减小，
故选项A不正确；
对于一次函数，
，，
一次函数经过第一、二、四象限，
故选项B不正确；
对于一次函数，
当时，，
一次函数的图象必过点，
故选C正确；
对于一次函数，
当时，，解得：，
故选项D不正确．
故选：．
根据一次函数的性质可对选项A进行判断；根据，可对选项B进行判断，将点代入一次函数的解析式可对选项C进行判断，由时，，从而求出即可对选项D进行判断；
此题主要考查了一次函数的图象和性质，一次函数图象上点的坐标，解答此题的关键是理解：对于一次函数，当时，的值随的值增大而增大，当时，最的增大而减小，当且时，函数的图象经过第一、二、三象限；当且时，函数的图象经过第一、三、四象限；当且时，函数的图象经过第二、三、四象限；当且时，函数的图象经过第一、二、四象限；反之亦成立．

7.【答案】 

【解析】解：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是，
故选：．
根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．
本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．

8.【答案】 

【解析】解：、根据，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故A不符合题意；
B、根据，不能推出四边形是平行四边形，故B符合题意；
C、根据，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以推出四边形是平行四边形，故C不符合题意；
D、，，
又，
，，
，，
四边形是平行四边形，故D不符合题意．
故选：．

根据平行四边形的判定进行判断即可得出结论．
本题主要考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法，两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形．

9.【答案】 

【解析】解：当店主把该商品每件售价降低元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，
根据题意得：．
故选：．
当店主把该商品每件售价降低元时，每件的销售利润为元，每星期可卖出件，利用每星期的销售总利润每件的销售利润每星期的销售量，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：连接，，
四边形是菱形，
垂直平分，，
，，
垂直平分，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
故选：．
连接，，根据菱形的性质得到垂直平分，，推出垂直平分，得到，根据矩形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论．
此题考查了菱形的性质、矩形的性质、全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．

11.【答案】 

【解析】解：二次函数，
该函数的顶点坐标为．
故答案为：．
根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标．
本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是会根据顶点式直接写出顶点坐标．

12.【答案】 

【解析】解：点与关于原点对称，
，
解得：．
故答案为：．
直接利用关于原点对称点的性质得出的值．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确掌握横纵坐标的关系是解题关键．

13.【答案】 

【解析】解：是关于的正比例函数，
，
．
故答案为：．
形如是常数，的函数叫做正比例函数，由此即可求解．
本题考查正比例函数的定义，关键是掌握正比例函数的定义．

14.【答案】 

【解析】解：根据题意得：
分，
即小晴的最终比赛成绩为分．
故答案为：．
利用加权平均数的计算方法可求出结果．
本题主要考查加权平均数，熟练掌握加权平均数的计算公式和“权重”的理解是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
菱形的周长．
故答案为：．
由菱形的性质得，，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后根据勾股定理求出的长，由菱形的周长公式求解即可．
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的斜边上的中线性质，菱形的面积公式等知识；熟练掌握菱形的性质，求出的长是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：，
，
抛物线的对称轴为直线，
为抛物线的顶点，
，
抛物线开口向下，
当时，点、都在左侧或与重合，此时一定有，符合题意；
当时，
，
在点右侧，即，
且点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即，
解得：，
，
综上所述，的取值范围是．
故答案为：．
先证得点是该抛物线的顶点，根据点，均在抛物线上，，可知该抛物线开口向下，对称轴是直线，然后分和两种情况讨论，从而可以求得的取值范围，本题得以解决．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

17.【答案】解：，
，
则，即，
，
，；
，
，
则或，
解得，． 

【解析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
利用提公因式法将方程的左边因式分解后求解可得．
本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程的常用方法有直接开平方法、公式法、因式分解法，解题的关键是根据方程的特点选择合适、简便的方法求解．

18.【答案】证明：

，
无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根；
解：根据题意得，，
，
，解得，
即的值为． 

【解析】先计算判别式的值，再利用非负数的性质判断，然后根据判别式的意义得到结论；
根据根与系数的关系得到，，则由得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则，也考查了根的判别式．

19.【答案】解：设一次函数的解析式是，将点与的坐标代入得：
，
解，
一次函数解析式为；
将沿轴向上平移个单位，所得直线的解析式为，
令得；，
所以．
平移后的图象与轴的交点坐标为． 

【解析】设出一次函数的解析式是，然后把经过的点的坐标代入，求解得到、的值即可得解；
根据平移的方向和距离得到平移后的解析式，然后令，即可求得的值，从而得到图象与轴的交点坐标．
本题主要考查的是利用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式，求得点的坐标是解题的关键．

20.【答案】解：设生态园垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，
依题意，得．
解得，．
由于，所以不合题意，舍去．
所以符合题意．
答：生态园垂直于墙的边长为米． 

【解析】设生态园垂直于墙的边长为米，则平行于墙的边长为米，根据矩形的面积公式列出方程并解答．
本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，找到等量关系，列出方程并解答．

21.【答案】解：如图所示，即为所求；

中，，，
，
绕点顺时针旋转得到，
，，，
，，
在中，由勾股定理得，
． 

【解析】以点为圆心，长为半径画弧交于点，再以点为圆心，长为半径画弧与以点为圆心，长为半径画弧交于点，连接，，则，即为所求；
根据勾股定理求出的长，再根据旋转的性质得出，，，求出的长即可求解．
本题考查了旋转的性质，勾股定理，明确旋转前后对应边、对应角相等是解题的关键．

22.【答案】 

【解析】解：由题可得，当很大时，摸到白球的频率接近；
故答案为：；
由摸到白球的概率为，
所以可估计口袋中白种颜色的球的个数个；
列表得：

由列表可得，共有种等可能结果，其中两个球颜色相同的有种可能．
颜色相同．
根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近；
根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为，然后利用概率公式计算白球的个数；
先利用列表法展示所有种等可能的结果数，再找出两次摸到的球颜色相同的结果数，然后根据概率公式求解．
本题考查了列表法与树状图法以及利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

23.【答案】证明：，
，
又，，
≌，
，
四边形是平行四边形；
解：如图，

由可知，四边形是平行四边形，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即的长为． 

【解析】证≌，得，再由平行四边形的判定即可得出结论；
由平行四边形的性质得，再由等腰三角形的性质得，则，进而由勾股定理得，然后由面积法求出的长即可．
本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

24.【答案】 

【解析】证明：如图：

在正方形中：，
，
，
，
在四边形中：，
，
，
，
．
．
又，，
≌，
．
解：延长，交的延长线于，如图：

在正方形中：，，
，，
，
，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
是的中点，
，
在中，，
的长为．
解：连接、，如图：

由可知：，，
是的中点，
在中，，
在正方形中：，．
．
，
当、、三点共线时，取得最小值，最小值为：．
故答案为：．
由正方形，，可得出，结合在四边形中：，，可得出，即可得出，由即可得而出≌，即可证得．
延长交的延长线于，由即可得而出≌，故H是的中点，根据直角三角形的性质可得出的长为．
连接、，由可知：，，根据直角三角形的性质可得出的长为，根据勾股定理可得，根据即可得出答案．
此题考查了正方形的性质和勾股定理，直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，线段最小的求法，其中直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，线段最小的求法是解题的关键．

25.【答案】解：，
该函数图象与轴的公共点的个数个；
证明：
，
把代入得：

，
不论为何值，该函数的图象的顶点都在函数的图象上．
解：过作轴，过作轴，如图，则是等腰直角三角形，

设直线与的交点为，
联立方程得：，
化简得：，
，，


，
，
，
当时，有最小值为，
当时，有最大值为，
． 

【解析】计算根的判别式，判断其正负即可得到结果；
将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；
构建等腰直角，先设、两点的坐标，利用根与系数的关系表示的长，根据的范围确定线段的取值范围即可．
此题考查了抛物线与一次函数的交点，根的判别式、根与系的关系以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．