中考数学一轮复习常考题型突破练习专题24 特殊的平行四边形-矩形（2份打包，原卷版+解析版）

专题24 特殊的平行四边形-矩形

【考查题型】

【知识要点】

矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

矩形的性质：1）矩形具有平行四边形的所有性质；

2）矩形的四个角都是直角；

3）对角线互相平分且相等；

4）矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形。矩形的对称中心是矩形对角线的交点；矩形有两条对称轴，矩形的对称轴是过矩形对边中点的直线；矩形的对称轴过矩形的对称中心。

【推论】1）在直角三角形中斜边的中线，等于斜边的一半。

2）直角三角形中，30度角所对应的直角边等于斜边的一半。

3）有三个角是直角的四边形是矩形。

矩形的面积公式：  面积=长×宽

考查题型一 利用矩形的性质求解

典例1．（2022·贵州黔东南·统考中考真题）一块直角三角板按如图所示方式放置在一张长方形纸条上，若，则的度数为（    ）

A．28° B．56° C．36° D．62°

变式1-1．（2022·山东日照·统考中考真题）如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（    ）

A．27° B．53° C．57° D．63°

变式1-2．（2022·安徽·统考中考真题）两个矩形的位置如图所示，若，则（    ）

A． B． C． D．

变式1-3．（2022·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，在矩形中，为上的点，，，则______．

变式1-4．（2022·湖北十堰·统考中考真题）“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡，分别架在墙体的点，处，且，侧面四边形为矩形，若测得，则_________．

变式1-5．（2021·广西贺州·统考中考真题）如图，在矩形中，，分别为，的中点，以为斜边作，，连接，．若，则________．

考查题型二 利用矩形的性质求线段长

典例2．（2022·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在矩形中，，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线分别交于点E，F，则的长为（    ）

A． B． C． D．

变式2-1（2022·山东济南·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，分别以A，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AD，BC于点E，F，连接AF，若BF＝3，AE＝5，以下结论错误的是（    ）

A．AF＝CF B．∠FAC＝∠EAC C．AB＝4 D．AC＝2AB

变式2-2．（2022·贵州铜仁·统考中考真题）如图，在矩形中，，则D的坐标为（    ）

A． B． C． D．

变式2-3．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，连接BD，分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于P、Q两点，作直线PQ，分别与AD、BC交于点M、N，连接BM、DN．若，．则四边形MBND的周长为（    ）

A． B．5 C．10 D．20

变式2-4．（2022·四川攀枝花·统考中考真题）如图，在矩形中，，，点E、F分别为、的中点，、相交于点G，过点E作，交于点H，则线段的长度是（    ）

A． B．1 C． D．

变式2-5．（2022·山东枣庄·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点B和D为圆心，以大于BD的长为半径作弧，两弧相交于点E和F；②作直线EF分别与DC，DB，AB交于点M，O，N．若DM＝5，CM＝3，则MN＝_____．

变式2-6．（2022·四川内江·统考中考真题）如图，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点E、F分别是AB、DC上的动点，EF∥BC，则AF+CE的最小值是 _____．

变式2-7．（2022·吉林·统考中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则__________．

变式2-8．（2021·青海西宁·统考中考真题）如图，在矩形中，E为的中点，连接，过点E作的垂线交于点F，交CD的延长线于点G，连接CF．已知，，则_________．

变式2-9．（2021·辽宁锦州·统考中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，以点B为圆心、BC的长为半径画弧交AD于点E，再分别以点C，E为圆心、大于CE的长为半径画弧，两弧交于点F，作射线BF交CD于点G，则CG的长为__________________．

变式2-10．（2021·贵州安顺·统考中考真题）如图，在矩形中，点在上，，且，垂足为．

（1）求证：；

（2）若，求四边形的面积．

考查题型三 利用矩形的性质求面积

典例3．（2022·浙江台州·统考中考真题）一个垃圾填埋场，它在地面上的形状为长，宽的矩形，有污水从该矩形的四周边界向外渗透了，则该垃圾填埋场外围受污染土地的面积为（    ）

A． B． C． D．

变式3-1．（2022·湖南邵阳·统考中考真题）已知矩形的一边长为，一条对角线的长为，则矩形的面积为_________．

变式3-2．（2021·江苏徐州·统考中考真题）如图，四边形与均为矩形，点分别在线段上．若，矩形的周长为，则图中阴影部分的面积为___________．

变式3-3．（2022·重庆·统考中考真题）如图，在矩形中，，，以B为圆心，的长为半径画弧，交于点E．则图中阴影部分的面积为_________．（结果保留）

变式3-4．（2022·辽宁阜新·统考中考真题）如图，在矩形中，是边上一点，且，与相交于点，若的面积是，则的面积是______．

变式3-5．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：

(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长；

(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？

考查题型四 利用矩形的性质证明

典例4（2022·重庆·统考中考真题）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个底为a，高为h的三角形的面积公式为．想法是：以为边作矩形，点A在边上，再过点A作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规过点A作的垂线交于点D．（只保留作图痕迹）

在和中，

∵，

∴．

∵，

∴______①____．

∵，

∴______②_____．

又∵____③______．

∴（）．

同理可得：_____④______．

．

变式4-1．（2022·山西·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．

(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），

(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．

变式4-2（2022·山东威海·统考中考真题）如图:

(1)将两张长为8，宽为4的矩形纸片如图1叠放．

①判断四边形AGCH的形状，并说明理由；

②求四边形AGCH的面积．

(2)如图2，在矩形ABCD和矩形AFCE中，AB＝2，BC＝7，CF＝，求四边形AGCH的面积．

考查题型五 矩形折叠问题

典例5．（2022·山东菏泽·统考中考真题）如图所示，将一矩形纸片沿AB折叠，已知，则（    ）

A．48° B．66° C．72° D．78°

变式5-1．（2022·贵州毕节·统考中考真题）矩形纸片中，E为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，则的长是（    ）

A．3 B． C． D．

变式5-2．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（    ）

A． B． C． D．

变式5-3．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，在矩形中，点M在边上，把沿直线折叠，使点B落在边上的点E处，连接，过点B作，垂足为F，若，则线段的长为（    ）

A． B． C． D．

变式5-4．（2021·贵州遵义·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD的两个直角进行折叠，使CB，AD恰好落在对角线AC上，B′，D′分别是B，D的对应点，折痕分别为CF，AE．若AB＝4，BC＝3，则线段的长是（　　）

A． B．2 C． D．1

变式5-5．（2021·四川巴中·统考中考真题）如图，矩形AOBC的顶点A、B在坐标轴上，点C的坐标是(﹣10，8)，点D在AC上，将BCD沿BD翻折，点C恰好落在OA边上点E处，则tan∠DBE等于（　　）

A． B． C． D．

变式5-6（2022·山东潍坊·中考真题）小莹按照如图所示的步骤折叠A4纸，折完后，发现折痕AB′与A4纸的长边AB恰好重合，那么A4纸的长AB与宽AD的比值为___________．

变式5-7．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将沿DE翻折得到，点F落在AE上．若，，则______cm．

变式5-8．（2022·四川雅安·统考中考真题）如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC＝9，CD＝3，那么阴影部分的面积为 _____．

变式5-9．（2022·江苏徐州·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在边AD上的点F处．若点E在边AB上，AB＝3，BC＝5，则AE＝________．

变式5-10．（2021·浙江杭州·统考中考真题）如图是一张矩形纸片，点是对角线的中点，点在边上，把沿直线折叠，使点落在对角线上的点处，连接，．若，则_____度．

变式5-11．（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为．

(1)求证：；

(2)若，求的长．

变式5-12．（2022·湖北荆门·统考中考真题）如图，已知矩形ABCD中，AB＝8，BC＝x（0＜x＜8），将△ACB沿AC对折到△ACE的位置，AE和CD交于点F．

(1)求证：△CEF≌△ADF；

(2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）．

考查题型六 添加一个条件判定矩形

典例6．（2022·陕西·统考中考真题）在下列条件中，能够判定为矩形的是（    ）

A． B． C． D．

变式6-1．（2021·广西河池·统考中考真题）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）

A．∠A=∠B B．∠A=∠C C．AC=BD D．AB⊥BC

变式6-2．（2022·甘肃武威·统考中考真题）如图，在四边形中，，，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形成为一个矩形，只需添加的一个条件是_______________．

变式6-3．（2021·湖南益阳·统考中考真题）如图，已知四边形是平行四边形，从①，②，③中选择一个作为条件，补充后使四边形成为菱形，则其选择是___（限填序号）．

变式6-4．（2021·黑龙江·统考中考真题）如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件______________，使平行四边形是矩形．．

考查题型七 矩形的证明

典例7．（2022·湖北恩施·统考中考真题）如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD=10cm，BC=8cm，点P从点D出发，以1cm/s的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论正确的是（    ）

A．当时，四边形ABMP为矩形

B．当时，四边形CDPM为平行四边形

C．当时，

D．当时，或6s

变式7-1．（2021·江苏无锡·统考中考真题）如图，D、E、F分别是各边中点，则以下说法错误的是（    ）

A．和的面积相等

B．四边形是平行四边形

C．若，则四边形是菱形

D．若，则四边形是矩形

变式7-2．（2022·四川遂宁·统考中考真题）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF．

(1)求证：≌；

(2)判定四边形AODF的形状并说明理由．

变式7-3．（2022·湖北十堰·统考中考真题）如图，中，，相交于点，，分别是，的中点．

(1)求证：；

(2)设，当为何值时，四边形是矩形？请说明理由．

变式7-4．（2021·上海·统考中考真题）已知：在圆O内，弦与弦交于点分别是和的中点，联结．

（1）求证：；

（2）联结，当时，求证：四边形为矩形．

考查题型八 矩形性质与判定综合

典例8．（2022·海南·统考中考真题）如图，菱形中，点E是边的中点，垂直交的延长线于点F，若，则菱形的边长是（    ）

A．3 B．4 C．5 D．

变式8-1．（2022·湖南湘西·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，M为BC的中点，H为AB上一点，过点C作CG∥AB，交HM的延长线于点G，若AC＝8，AB＝6，则四边形ACGH周长的最小值是（　　）

A．24 B．22 C．20 D．18

变式8-2．（2022·四川乐山·统考中考真题）如图，等腰△ABC的面积为2，AB=AC，BC=2．作AE∥BC且AE=BC．点P是线段AB上一动点，连接PE，过点E作PE的垂线交BC的延长线于点F，M是线段EF的中点．那么，当点P从A点运动到B点时，点M的运动路径长为（    ）

A． B．3 C． D．4

变式8-3．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为____________．

变式8-4．（2022·湖南娄底·统考中考真题）九年级融融陪同父母选购家装木地板，她感觉某品牌木地板拼接图（如实物图）比较美观，通过手绘（如图）、测量、计算发现点是的黄金分割点，即．延长与相交于点，则________.（精确到0.001）