高考数学大一轮复习第五章 平面向量与复数

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第2节　平面向量基本定理及坐标表示
考纲要求　1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．

知识梳理
1．平面向量的基本定理
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2．平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．
3．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
4．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.

1．平面内不共线向量都可以作为基底，反之亦然．
2．若a与b不共线，λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0.
3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．
诊断自测

1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底．(　　)
(2)设a，b是平面内的一组基底，若实数λ1，μ1，λ2，μ2满足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.(　　)
(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件可以表示成＝.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换之后其坐标不变．(　　)
答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√
解析　(1)共线向量不可以作为基底．
(3)若b＝(0,0)，则＝无意义．

2. 若P1(1,3)，P2(4,0)，且P是线段P1P2的一个三等分点(靠近点P1)，则点P的坐标为(　　)
A．(2,2) B．(3，－1)
C．(2,2)或(3，－1) D．(2,2)或(3,1)
答案　A
解析　由题意得＝且＝(3，－3)，
设P(x，y)，则(x－1，y－3)＝(1，－1)，
所以x＝2，y＝2，则点P(2,2)．
3．已知向量a＝(－1,3)，b＝(2,1)，则3a－2b＝(　　)
A．(－7,7) B．(－3，－2)
C．(6,2) D．(4，－3)
答案　A
解析　3a－2b＝(－3,9)－(4,2)＝(－7,7)．

4．(2021·南阳调研)已知向量a＝(m,1)，b＝(3，m－2)，则m＝3是a∥b的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．既不充分也不必要条件
D．充要条件
答案　A
解析　∵a＝(m,1)，b＝(3，m－2)，
若a∥b，则m(m－2)－3＝0，
得m＝3或m＝－1，
所以“m＝3”是“a∥b”的充分不必要条件．
5．(2020·合肥质检)设向量a＝(－3,4)，向量b与向量a方向相反，且|b|＝10，则向量b的坐标为(　　)
A. B．(－6,8) C． D．(6，－8)
答案　D
解析　因为向量b与a方向相反，则可设b＝λa＝(－3λ，4λ)，λ0，b>0，则＋＝(2a＋b)＝2＋2＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，
即a＝，b＝时，等号成立．
∴＋的最小值为8.
感悟升华　1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件是x1y2－x2y1＝0；
(2)若a∥b(b≠0)，则a＝λb.
2．向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数．当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解．
【训练2】　(1)(2021·太原联考)已知向量e1＝(1,1)，e2＝(0,1)，若a＝e1＋λe2与b＝－(2e1－3e2)共线，则实数λ＝________.
(2)(2021·安徽江南十校调研)在直角坐标系xOy中，已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上，且||＝3，则向量的坐标为________．
答案　(1)－　(2)(－3,9)
解析　(1)由题意知a＝e1＋λe2＝(1,1＋λ)，
b＝－(2e1－3e2)＝(－2,1)．
由于a∥b，所以1×1＋2(1＋λ)＝0，解得λ＝－.
(2)因为点C在∠AOB的平分线上，
所以存在λ∈(0，＋∞)，使得＝λ.
∴＝λ(0,1)＋λ＝，
又||＝3，
所以2＋2＝(3)2，解得λ＝5.
故向量＝(－3,9).

A级　基础巩固
一、选择题
1．设A(0,1)，B(1,3)，C(－1,5)，D(0，－1)，则＋等于(　　)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
答案　C
解析　由题意得＝(1,2)，＝(－1,4)，＝(0，－2)，所以＋＝(0,6)＝－3(0，
－2)＝－3.
2．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(1，m)，若实数λ满足a＋b＝λc，则λ＋m等于(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
答案　B
解析　由平面向量的坐标运算法则可得a＋b＝(5,5)，
λc＝(λ，λm)，据此有解得λ＝5，m＝1，∴λ＋m＝6.
3．(2021·郑州质检)已知向量＝(1,4)，＝(m，－1)，若∥，则实数m的值为(　　)
A. B．－4 C．4 D．－
答案　D
解析　∵向量＝(1,4)，＝(m，－1)，
∴＝＋＝(1＋m,3)，
又∥，所以1×3－4(1＋m)＝0，解得m＝－.
4．在平面直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C为第一象限内一点，且∠AOC＝，且|OC|＝2，若＝λ ＋μ ，则λ＋μ＝(　　)
A．2 B． C．2 D．4
答案　A
解析　因为|OC|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，
又＝λ ＋μ ，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2.
5．(2020·济南调研)在△ABC中，＝，若P是直线BN上的一点，且满足＝m＋，则实数m的值为(　　)
A．－4 B．－1 C．1 D．4
答案　B
解析　根据题意设＝n(n∈R)，则＝＋＝＋n＝＋n(－)＝＋n＝(1－n)＋.
又＝m＋，∴解得
6．(2021·东北师大附中等五校联考)已知向量a＝，b＝(cos α，1)，α∈，且a∥b，则sin＝(　　)
A．－ B． C． D．－
答案　C
解析　向量a＝，b＝(cos α，1)，且a∥b，
则＝tan α·cos α＝sin α，
又α∈，知cos α＝－，
所以sin＝－cos α＝.
7.

给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°，如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若＝x＋y，其中x，y∈R，则x＋y的最大值是(　　)
A．1 B． C． D．2
答案　B
解析　因为点C在以O为圆心的圆弧上，所以||2＝|x＋y|2＝x2＋y2＋2xy·＝x2＋y2，
∴x2＋y2＝1，则2xy≤x2＋y2＝1.
又(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy≤2，当x＝y时取等号，
故x＋y的最大值为.
8．(2021·合肥检测)△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，m＝(a，b)，n＝(cos B，cos A)，则“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案　D
解析　由m∥n得bcos B－acos A＝0，即sin Bcos B＝sin Acos A，
可得sin 2B＝sin 2A，因为角A，B，C分别是△ABC的内角，所以2A＝2B或2A＝π－2B，即A＝B或A＋B＝，可得△ABC是等腰三角形或直角三角形．
因此，由“m∥n”不能推出“△ABC是等腰三角形”．
因为由“△ABC是等腰三角形”不能推出“A＝B”，所以由“△ABC是等腰三角形”也不能推出“m∥n”．
故“m∥n”是“△ABC是等腰三角形”的既不充分也不必要条件．
二、填空题
9．已知A(2,3)，B(4，－3)，点P在线段AB的延长线上，且|AP|＝|BP|，则点P的坐标为________．
答案　(8，－15)
解析　设P(x，y)，由点P在线段AB的延长线上，
则＝，得(x－2，y－3)＝(x－4，y＋3)，
即解得
所以点P的坐标为(8，－15)．
10．(2021·百校联盟联考)已知非零向量a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，则＝________.
答案　－
解析　因为a＝(2x，y)，b＝(1，－2)，且a∥b，所以2x·(－2)－y·1＝0，所以＝－.
11．已知矩形ABCD的两条对角线交于点O，点E为线段AO的中点，若＝m＋n，则m＋n的值为________．
答案　－
解析　如图所示，因为点E为线段AO的中点，

所以＝(＋)＝＋
＝－＋－＝－.
又＝m＋n，
所以m＝，n＝－，故m＋n＝－.
12．已知向量＝(1，－3)，＝(2，－1)，＝(k＋1，k－2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是________．
答案　k≠1
解析　若点A，B，C能构成三角形，
则向量，不共线．
∵＝－＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，
＝－＝(k＋1，k－2)－(1，－3)＝(k，k＋1)，
∴1×(k＋1)－2k≠0，解得k≠1.
B级　能力提升
13．(2021·西安质检)已知在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝1，AC＝2，D是△ABC内一点，且∠DAB＝60°，设＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则＝(　　)
A. B． C．3 D．2
答案　A
解析　如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B点的坐标为(1,0)，C点的坐标为(0,2)，

因为∠DAB＝60°，所以设D点的坐标为(m，m)(m>0)．
＝(m，m)＝λ＋μ＝λ(1,0)＋μ(0,2)＝(λ，2μ)，则λ＝m，且μ＝m，所以＝.
14．已知点P为四边形ABCD所在平面内一点，且满足＋2＝0，＋＋4＝0，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λμ＝(　　)
A. B．－ C．－ D．
答案　D
解析　如图，取AB的中点O，连接DO.

由＋2＝0，知AB∥CD，AB＝2CD，
所以CD綉OB，所以四边形OBCD为平行四边形．
又由＋＋4＝0，得－2＋4＝0，
即＝2，所以D，P，O三点共线，且P为OD上靠近D的三等分点，
所以＝＋＝＋＝＋，
所以λ＝，μ＝，所以λμ＝.
15．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ＝________.

答案　
解析　以AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图所示，

设正方形的边长为1，则＝，＝，＝(1,1)．
∵＝λ＋μ
＝，
∴解得∴λ＋μ＝.
16．(2021·兰州调研)在△ABC中，点D，E是线段BC上的两个动点，且＋＝x＋y，则xy的最大值为________．
答案　1
解析　设DE的中点为M，连接AM(如图)．

则＋＝2＝x＋y，
所以＝＋，
又B，C，M三点共线，
所以x＋y＝2，且x>0，y>0，
又x＋y≥2，当且仅当x＝y＝1时，取等号，
∴xy≤1，即xy的最大值为1.