高考数学大一轮复习第一章　集合与常用逻辑用语

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第2节　命题及其关系、充分条件与必要条件
考纲要求　1.理解命题的概念，了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；2.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义.

知识梳理
1.命题
用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.
2.四种命题及其相互关系
(1)四种命题间的相互关系

(2)四种命题的真假关系
①两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性.
②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性没有关系.
3.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件
p⇒q且q⇒ p
p是q的必要不充分条件
p⇒q且q⇒p
p是q的充要条件
p⇔q
p是q的既不充分也不必要条件
p⇒q且q⇒p

1.否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论.
2.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.
3.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，
(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.
(2)若AB，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.
(3)若A＝B，则p是q的充要条件.
4.p是q的充分不必要条件，等价于綈q是綈p的充分不必要条件.
诊断自测

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)“x2＋2x－31是a>的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　D
解析　若“ab>1”，当a＝－2，b＝－1时，不能得到“a>”，
若“a>”，例如当a＝1，b＝－1时，不能得到“ab>1”，
故“ab>1”是“a>”的既不充分也不必要条件.
3.命题“若α＝，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)
A.若α≠，则tan α≠1 B.若α＝，则tan α≠1
C.若tan α≠1，则α≠ D.若tan α≠1，则α＝
答案　C
解析　命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”.

4.(2020·长春模拟)已知命题α：如果xb，则a＋c>b＋c”的否命题是“若a≤b，则a＋c≤b＋c”.
2.(2021·成都七中检测)给出下列命题：
①“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题；
②“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题；
③“若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；
④“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题.
其中真命题的个数是(　　)
A.1 B.2
C.3 D.4
答案　D
解析　对于①，“若xy＝1，则lg x＋lg y＝0”的逆命题为“若lg x＋lg y＝0，则xy＝1”，该命题为真命题；
对于②，“若a·b＝a·c，则a⊥(b－c)”的否命题为“a·b≠a·c，则a不垂直于(b－c)”，由a·b≠a·c可得a·(b－c)≠0，据此可得a不垂直于(b－c)，该命题为真命题；
对于③，若b≤0，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0的根的判别式Δ＝(－2b)2－4(b2＋b)＝－4b≥0，方程有实根，原命题为真命题，则其逆否命题为真命题；
对于④，“等边三角形的三个内角均为60°”的逆命题为“三个内角均为60°的三角形为等边三角形”，该命题为真命题.
3.(2018·北京卷)能说明“若f(x)>f(0)对任意的x∈(0，2]都成立，则f(x)在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是________.
答案　f(x)＝sin x，x∈[0，2](答案不唯一 ，再如f(x)＝)
解析　根据函数单调性的概念，只要找到一个定义域为[0，2]的不单调函数，满足在定义域内有唯一的最小值点，且f(x)min＝f(0).
感悟升华　1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：
(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；
(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提.
2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例.
3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易时，可间接判断.
考点二　充分条件与必要条件的判定
【例1】 (1)(2020·浙江卷)已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n.“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
(2)已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　(1)B　(2)A
解析　(1)由m，n，l在同一平面内，可能有m，n，l两两平行，所以m，n，l可能没有公共点，所以不能推出m，n，l两两相交.由m，n，l两两相交且m，n，l不经过同一点，可设l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A∉n，所以点A和直线n确定平面α，而B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m⊂α，所以m，n，l在同一平面内.故选B.
(2)因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1或y≠－1，
所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1且y＝－1，
因为綈q⇒綈p，但綈p⇒綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件.
感悟升华　充要条件的三种判断方法
(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断.
(2)集合法：根据使p，q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断.
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断.这个方法特别适合以否定形式给出的问题.
【训练1】 (1)(2021·昆明诊断)设集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≥0}，B＝.则“x∈A”是“x∈B”的(　　)
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
(2)(2020·北京卷)已知α，β∈R，则“存在k∈Z使得α＝kπ＋(－1)kβ”是“sin α＝sin β”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
答案　(1)B　(2)C
解析　(1)集合A＝{x|(x＋1)(x－2)≥0}＝{x|x≥2，或x≤－1}，B＝＝{x|x≥2，或x