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高考数学第一轮复习第五章 培优课 §5.4 平面向量中的综合问题
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题型一 平面向量在几何中的应用
例1 (1)在△ABC中,AC=9,∠A=60°,D点满足eq \(CD,\s\up6(→))=2eq \(DB,\s\up6(→)),AD=eq \r(37),则BC的长为( )
A.3eq \r(7) B.3eq \r(6)
C.3eq \r(3) D.6
答案 A
解析 因为eq \(CD,\s\up6(→))=2eq \(DB,\s\up6(→)),
所以eq \(AD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BD,\s\up6(→))=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up6(→))
=eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)(eq \(AC,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→)))
=eq \f(2,3)eq \(AB,\s\up6(→))+eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up6(→)),
设AB=x,则eq \(AD2,\s\up6(→))=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)\(AB,\s\up6(→))+\f(1,3)\(AC,\s\up6(→))))2,
得37=eq \f(4,9)x2+eq \f(4,9)×x×9cs 60°+eq \f(1,9)×92,
即2x2+9x-126=0,
因为x>0,
故解得x=6,即AB=6,
所以BC=eq \r(AB2+AC2-2AB·ACcs 60°)
=eq \r(62+92-2×6×9×\f(1,2))=3eq \r(7).
(2)已知平行四边形ABCD,证明:AC2+BD2=2(AB2+AD2).
证明 取eq \(AB,\s\up6(→)),eq \(AD,\s\up6(→))为基底,设eq \(AB,\s\up6(→))=a,eq \(AD,\s\up6(→))=b,
则eq \(AC,\s\up6(→))=a+b,eq \(DB,\s\up6(→))=a-b,
∴eq \(AC,\s\up6(→))2=(a+b)2=a2+2a·b+b2,
eq \(DB,\s\up6(→))2=(a-b)2=a2-2a·b+b2,
上面两式相加,得eq \(AC,\s\up6(→))2+eq \(DB,\s\up6(→))2=2(a2+b2),
∴AC2+BD2=2(AB2+AD2).
思维升华 用向量方法解决平面几何问题的步骤
平面几何问题eq \(――→,\s\up7(设向量))向量问题eq \(――→,\s\up7(计算))解决向量问题eq \(――→,\s\up7(还原))解决几何问题.
跟踪训练1 (1)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2eq \r(3),AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延长线上,且AE=BE,则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))=________.
答案 -1
解析 方法一 在等腰△ABE中,
易得∠BAE=∠ABE=30°,故BE=2,
则eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))=(eq \(AD,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→)))·(eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(BE,\s\up6(→)))
=eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→))+eq \(AD,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))-eq \(AB,\s\up6(→))2-eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BE,\s\up6(→))
=5×2eq \r(3)×cs 30°+5×2×cs 180°-12-2eq \r(3)×2×cs 150°
=15-10-12+6=-1.
方法二 在△ABD中,由余弦定理可得BD=eq \r(AD2+AB2-2×AD×AB×cs ∠BAD)=eq \r(7),
所以cs∠ABD=eq \f(AB2+BD2-AD2,2×AB×BD)=-eq \f(\r(21),14),
则sin ∠ABD=eq \f(5\r(7),14).
设eq \(BD,\s\up6(→))与eq \(AE,\s\up6(→))的夹角为θ,
则cs θ=cs(180°-∠ABD+30°)
=-cs(∠ABD-30°)
=-cs∠ABD·cs 30°-sin∠ABD·sin 30°
=-eq \f(\r(7),14),
在△ABE中,易得AE=BE=2,
故eq \(BD,\s\up6(→))·eq \(AE,\s\up6(→))=eq \r(7)×2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(7),14)))=-1.
(2)在四边形ABCD中,eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))=(6,8),且eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)+eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)=eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|),则下列结论不成立的是( )
A.四边形ABCD为菱形
B.∠BAD=120°
C.|eq \(AC,\s\up6(→))|=10eq \r(3)
D.|eq \(BD,\s\up6(→))|=10eq \r(3)
答案 C
解析 eq \(AB,\s\up6(→))=eq \(DC,\s\up6(→))=(6,8),则四边形ABCD为平行四边形,
设m,n,p都是单位向量,m+n=p,
则(m+n)2=p2,m2+2m·n+n2=p2,
1+2m·n+1=1,
则m·n=-eq \f(1,2)=cs〈m,n〉,所以〈m,n〉=120°,
因此由eq \f(\(AB,\s\up6(→)),|\(AB,\s\up6(→))|)+eq \f(\(AD,\s\up6(→)),|\(AD,\s\up6(→))|)=eq \f(\(AC,\s\up6(→)),|\(AC,\s\up6(→))|)知∠BAD=120°,且AC是∠BAD的角平分线,因此四边形ABCD是菱形,而|eq \(AB,\s\up6(→))|=10,所以|eq \(BD,\s\up6(→))|=eq \r(3)|eq \(AB,\s\up6(→))|=10eq \r(3),|eq \(AC,\s\up6(→))|=10.
题型二 和向量有关的最值(范围)问题
命题点1 与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题
例2 (2022·兰州模拟)如图,在平行四边形ABCD中,点E是CD的中点,点F为线段BD上的一动点,若eq \(AF,\s\up6(→))=xeq \(AE,\s\up6(→))+yeq \(DC,\s\up6(→))(x>0,y>0),则eq \f(2-3x,4y2+1)的最大值为( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(3,4)
C.1 D.2
答案 A
解析 设BD,AE交于O,因为DE∥AB,
所以△AOB∽△EOD,
所以eq \f(AO,OE)=eq \f(AB,DE)=2,
所以AO=2OE,则eq \(AE,\s\up6(→))=eq \f(3,2)eq \(AO,\s\up6(→)),
所以eq \(AF,\s\up6(→))=xeq \(AE,\s\up6(→))+yeq \(DC,\s\up6(→))=eq \f(3,2)xeq \(AO,\s\up6(→))+yeq \(AB,\s\up6(→)),
因为O,F,B三点共线,
所以eq \f(3,2)x+y=1,即2-3x=2y,
所以eq \f(2-3x,4y2+1)=eq \f(2y,4y2+1)=eq \f(2,4y+\f(1,y)),
因为x>0,y>0,
所以4y+eq \f(1,y)≥2eq \r(4y·\f(1,y))=4,
当且仅当4y=eq \f(1,y),即y=eq \f(1,2)时等号成立,
此时x=eq \f(1,3),
所以eq \f(2-3x,4y2+1)=eq \f(2,4y+\f(1,y))≤eq \f(2,4)=eq \f(1,2).
命题点2 与数量积有关的最值(范围)问题
例3 (2020·新高考全国Ⅰ)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点,则eq \(AP,\s\up6(→))·eq \(AB,\s\up6(→)) 的取值范围是( )
A.(-2,6) B.(-6,2)
C.(-2,4) D.(-4,6)
答案 A
解析 如图,取A为坐标原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,
则A(0,0),B(2,0),C(3,eq \r(3)),
F(-1,eq \r(3)).
设P(x,y),则eq \(AP,\s\up6(→))=(x,y),eq \(AB,\s\up6(→))=(2,0),
且-1
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