高考数学第一轮复习第九章 §9.1　直线的方程

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考试要求 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.2.根据确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)．
知识梳理
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准，x轴正向与直线l向上的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．
(2)范围：直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α0，
因为直线l过点M(2,1)，
所以eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，
则1＝eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)≥2eq \r(\f(2,ab))，故ab≥8，
故S△AOB的最小值为eq \f(1,2)×ab＝eq \f(1,2)×8＝4，
当且仅当eq \f(2,a)＝eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)时取等号，
此时a＝4，b＝2，故直线l的方程为eq \f(x,4)＋eq \f(y,2)＝1，
即x＋2y－4＝0.
延伸探究 1.在本例条件下，当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
解 由本例方法二知，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1，a>0，b>0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))
＝3＋eq \f(a,b)＋eq \f(2b,a)≥3＋2eq \r(2)，
当且仅当a＝2＋eq \r(2)，b＝1＋eq \r(2)时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x＋eq \r(2)y＝2＋eq \r(2).
2．本例中，当|MA|·|MB|取得最小值时，求直线l的方程．
解 方法一 由本例方法一知Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2k－1,k)，0))，B(0,1－2k)(k0，b>0，eq \f(2,a)＋eq \f(1,b)＝1.
所以|MA|·|MB|＝|eq \(MA,\s\up6(→))|·|eq \(MB,\s\up6(→))|
＝－eq \(MA,\s\up6(→))·eq \(MB,\s\up6(→))
＝－(a－2，－1)·(－2，b－1)
＝2(a－2)＋b－1＝2a＋b－5
＝(2a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,a)＋\f(1,b)))－5
＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)＋\f(a,b)))≥4，
当且仅当a＝b＝3时取等号，此时直线l的方程为x＋y－3＝0.
教师备选
如图所示，为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪，但△EFA内部为文物保护区，不能占用，经测量AB＝100 m，BC＝80 m，AE＝30 m，AF＝20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？
解 如图所示，以A为坐标原点建立平面直角坐标系，
则E(30,0)，F(0,20)，
∴直线EF的方程为eq \f(x,30)＋eq \f(y,20)＝1.
易知当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，且一个顶点在线段EF上时，可使草坪面积最大，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，
设矩形PQCR的面积为S，
则S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)，
又eq \f(m,30)＋eq \f(n,20)＝1(0≤m≤30)，
∴n＝20－eq \f(2,3)m，
∴S＝(100－m)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(80－20＋\f(2,3)m))
＝－eq \f(2,3)(m－5)2＋eq \f(18 050,3)(0≤m≤30)，
∴当m＝5时，S有最大值，此时eq \f(|EP|,|PF|)＝5，
∴当矩形草坪的两邻边在BC，CD上，一个顶点P在线段EF上，且|EP|＝5|PF|时，草坪面积最大．
思维升华 直线方程综合问题的两大类型及解法
(1)与函数相结合的问题：解决这类问题，一般是利用直线方程中x，y的关系，将问题转化为关于x(或y)的函数，借助函数的性质解决．
(2)与方程、不等式相结合的问题：一般是利用方程、不等式的有关知识来解决．
跟踪训练3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
(1)证明：直线l过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．
(1)证明 直线l的方程可化为
k(x＋2)＋(1－y)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋2＝0，,1－y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－2，,y＝1.))
∴无论k取何值，直线l总经过定点(－2,1)．
(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－eq \f(1＋2k,k)，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)1，))
解得k>0；
当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k的取值范围是[0，＋∞)．
(3)解 由题意可知k≠0，再由l的方程，
得Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0,1＋2k)．
依题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1＋2k,k)0，))
解得k>0.
∵S＝eq \f(1,2)·|OA|·|OB|＝eq \f(1,2)·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|
＝eq \f(1,2)·eq \f(1＋2k2,k)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4k＋\f(1,k)＋4))
≥eq \f(1,2)×(2×2＋4)＝4，
“＝”成立的条件是k>0且4k＝eq \f(1,k)，即k＝eq \f(1,2)，
∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.
课时精练
1．已知直线l过点(－2,1)，且倾斜角是eq \f(π,2)，则直线l的方程是( )
A．x＋y＋1＝0 B．y＝－eq \f(1,2)x
C．x＋2＝0 D．y－1＝0
答案 C
解析 由于直线l过点(－2,1)，且倾斜角是eq \f(π,2)，则直线l的方程为x＝－2，即x＋2＝0.
2．(2022·清远模拟)倾斜角为120°且在y轴上的截距为－2的直线方程为( )
A．y＝－eq \r(3)x＋2 B．y＝－eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋2 D．y＝eq \r(3)x－2
答案 B
解析 斜率为tan 120°＝－eq \r(3)，利用斜截式直接写出方程，即y＝－eq \r(3)x－2.
3．直线l经过点(1，－2)，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为( )
A．x－y－1＝0或x－2y＝0
B．x＋y＋1＝0或x＋2y＝0
C．x－y＋1＝0或2x－y＝0
D．x＋y＋1＝0或2x＋y＝0
答案 D
解析 若直线l过原点，
设直线l的方程为y＝kx，
则k＝－2，
此时直线l的方程为y＝－2x，
即2x＋y＝0；
若直线l不过原点，
设直线l的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,a)＝1，
则eq \f(1,a)－eq \f(2,a)＝1，解得a＝－1，
此时直线l的方程为x＋y＋1＝0.
综上所述，直线l的方程为
x＋y＋1＝0或2x＋y＝0.
4．若直线y＝ax＋c经过第一、二、三象限，则有( )
A．a>0，c>0 B．a>0，c0，b>0)过点(1,1)，
所以a＋b＝ab，即eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝1，
所以a＋b＝(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq \f(b,a)＋eq \f(a,b)
≥2＋2eq \r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，
当且仅当a＝b＝2时等号成立．
所以直线在x轴与y轴上的截距之和的最小值为4.
9．过点M(－3,5)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为________________．
答案 5x＋3y＝0或x－y＋8＝0
解析 ①当直线过原点时，直线方程为y＝－eq \f(5,3)x，即5x＋3y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,－a)＝1，即x－y＝a，代入点(－3,5)，得a＝－8，即直线方程为x－y＋8＝0.综上，直线方程为5x＋3y＝0或x－y＋8＝0.
10．直线l过(－1，－1)，(2,5)两点，点(1 011，b)在l上，则b的值为________．
答案 2 023
解析 直线l的方程为eq \f(y－－1,5－－1)＝eq \f(x－－1,2－－1)，
即eq \f(y＋1,6)＝eq \f(x＋1,3)，即y＝2x＋1.
令x＝1 011，得y＝2 023，
∴b＝2 023.
11．设直线l的方程为2x＋(k－3)y－2k＋6＝0(k≠3)，若直线l的斜率为－1，则k＝________；若直线l在x轴、y轴上的截距之和等于0，则k＝______.
答案 5 1
解析 因为直线l的斜率存在，所以直线l的方程可化为y＝－eq \f(2,k－3)x＋2，由题意得－eq \f(2,k－3)＝－1，解得k＝5.直线l的方程可化为eq \f(x,k－3)＋eq \f(y,2)＝1，由题意得k－3＋2＝0，解得k＝1.
12．已知点M是直线l：y＝eq \r(3)x＋3与x轴的交点，将直线l绕点M旋转30°，则所得到的直线l′的方程为________________________．
答案 x＝－eq \r(3)或y＝eq \f(\r(3),3)(x＋eq \r(3))
解析 在y＝eq \r(3)x＋3中，令y＝0，得x＝－eq \r(3)，即M(－eq \r(3)，0)．因为直线l的斜率为eq \r(3)，所以其倾斜角为60°.若直线l绕点M逆时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为90°，此时直线l′的斜率不存在，故其方程为x＝－eq \r(3)；若直线l绕点M顺时针旋转30°，则得到的直线l′的倾斜角为30°，此时直线l′的斜率为tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，故其方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x＋eq \r(3))．
13．直线(1－a2)x＋y＋1＝0的倾斜角的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))
B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
答案 C
解析 直线的斜率k＝－(1－a2)＝a2－1，
∵a2≥0，∴k＝a2－1≥－1.
倾斜角和斜率的关系如图所示，
∴该直线倾斜角的取值范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).
14．已知直线2x－my＋1－3m＝0，当m变动时，直线恒过定点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，3))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－3)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－3))
答案 D
解析 直线方程可化为2x＋1－m(y＋3)＝0，
令eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋1＝0，,y＋3＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\f(1,2)，,y＝－3，))
∴直线恒过定点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－3)).
15．已知直线xsin α＋ycs α＋1＝0(α∈R)，则下列命题正确的是( )
A．直线的倾斜角是π－α
B．无论α如何变化，直线始终过原点
C．直线的斜率一定存在
D．当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积不小于1
答案 D
解析 根据直线倾斜角的范围为[0，π)，而π－α∈R，所以A不正确；当x＝y＝0时，xsin α＋ycs α＋1＝1≠0，所以直线必不过原点，B不正确；当α＝eq \f(π,2)时，直线斜率不存在，C不正确；当直线和两坐标轴都相交时，它和坐标轴围成的三角形的面积为S＝eq \f(1,2)eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－sin α)))·eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(1,－cs α)))＝eq \f(1,|sin 2α|)≥1，所以D正确．
16．若ab>0，且A(a,0)，B(0，b)，C(－2，－2)三点共线，则ab的最小值为________．
答案 16
解析 根据A(a,0)，B(0，b)确定直线的方程为eq \f(x,a)＋eq \f(y,b)＝1，
又因为C(－2，－2)在该直线上，
故eq \f(－2,a)＋eq \f(－2,b)＝1，
所以－2(a＋b)＝ab.
又因为ab>0，故a