高考数学第一轮复习第七章 §7.2　一元二次不等式及其解法

这是一份高考数学第一轮复习第七章 §7.2　一元二次不等式及其解法，共14页。试卷主要包含了分式不等式与整式不等式等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
2.分式不等式与整式不等式
(1)eq \f(fx,gx)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)；
(2)eq \f(fx,gx)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
3．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若方程ax2＋bx＋c＝0无实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.( × )
(2)若不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(x1，x2)，则a<0.( √ )
(3)若ax2＋bx＋c>0恒成立，则a>0且Δ<0.( × )
(4)不等式eq \f(x－a,x－b)≥0等价于(x－a)(x－b)≥0.( × )
教材改编题
1．若集合A＝{x|x2－9x>0}，B＝{x|x2－2x－3<0}，则A∪B等于( )
A．R
B．{x|x>－1}
C．{x|x<3或x>9}
D．{x|x<－1或x>3}
答案 C
解析 A＝{x|x>9或x<0}，
B＝{x|－1∴A∪B＝{x|x<3或x>9}．
2．若关于x的不等式ax2＋bx＋2>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)答案 －14
解析 依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－\f(1,2)＋\f(1,3)，,\f(2,a)＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))×\f(1,3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝－12，,b＝－2，))
∴a＋b＝－14.
3．一元二次不等式ax2＋ax－1<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
答案 (－4,0)
解析 依题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,Δ<0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,a2＋4a<0，))
∴－4题型一 一元二次不等式的解法
命题点1 不含参的不等式
例1 (1)不等式－2x2＋x＋3<0的解集为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－1或x>\f(3,2)))))
D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(3,2)或x>1))))
答案 C
解析 －2x2＋x＋3<0可化为2x2－x－3>0，
即(x＋1)(2x－3)>0，∴x<－1或x>eq \f(3,2).
(2)已知集合M＝{x||x－1|≤2，x∈R}，集合N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(5,x＋1)≥1，x∈R))))，则下列结论正确的是________．(填序号)
①M＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤3))；
②N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤4))；
③M∪N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤4))；
④M∩N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1答案 ①③④
解析 由题设可得M＝[－1,3]，N＝(－1,4]，
故①正确，②错误；
M∪N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1≤x≤4))，故③正确；
而M∩N＝eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|－1命题点2 含参的不等式
例2 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0(a>0)．
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)<0，
因为a>0，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)<0.
所以当a>1时，解得eq \f(1,a)当a＝1时，解集为∅；
当0综上，当0当a＝1时，不等式的解集为∅；
当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)延伸探究 在本例中，把a>0改成a∈R，解不等式．
解 当a>0时，同例2，当a＝0时，
原不等式等价于－x＋1<0，即x>1，
当a<0时，eq \f(1,a)<1，
原不等式可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,a)))(x－1)>0，
解得x>1或x综上，当0当a＝1时，不等式的解集为∅，
当a>1时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,a)当a＝0时，不等式的解集为{x|x>1}，
当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<\f(1,a)或x>1)))).
教师备选
解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
解 由题意知，Δ＝a2－4，
①当a2－4>0，即a>2或a<－2时，方程x2－ax＋1＝0的两根为x＝eq \f(a±\r(a2－4),2)，
∴原不等式的解为eq \f(a－\r(a2－4),2)≤x≤eq \f(a＋\r(a2－4),2).
②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，
即(x－1)2≤0，∴x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，
即(x＋1)2≤0，∴x＝－1.
③当Δ＝a2－4<0，即－2原不等式的解集为∅.
综上，当a>2或a<－2时，原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(a－\r(a2－4),2)≤x≤\f(a＋\r(a2－4),2)))))；
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2思维升华 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
跟踪训练1 (1)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，则下列说法正确的个数为( )
①a>0；
②不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－4}；
③不等式cx2－bx＋a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))；
④a＋b＋c>0.
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 关于x的不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为(－∞，－3]∪[4，＋∞)，
所以二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的开口向上，即a>0，故①正确；
对于②，方程ax2＋bx＋c＝0的两根分别为－3,4，
由根与系数的关系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)＝－3＋4，,\f(c,a)＝－3×4，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－a，,c＝－12a.))
bx＋c>0⇔－ax－12a>0，
由于a>0，所以x<－12，
所以不等式bx＋c>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x|x<－12))，
故②不正确；
对于③，由②的分析过程可知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－a，,c＝－12a，))
所以cx2－bx＋a<0⇔－12ax2＋ax＋a<0
⇔12x2－x－1>0⇔x<－eq \f(1,4)或x>eq \f(1,3)，
所以不等式cx2－bx＋a<0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<－\f(1,4)或x>\f(1,3)))))，故③正确；
对于④，a＋b＋c＝a－a－12a＝－12a<0，故④不正确．
(2)解关于x的不等式12x2－ax>a2(a∈R)．
解 原不等式可化为12x2－ax－a2>0，即
(4x＋a)(3x－a)>0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，
解得x1＝－eq \f(a,4)，x2＝eq \f(a,3).
当a>0时，不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(a,4)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,3)，＋∞))；
当a＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)；
当a<0时，不等式的解集为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(a,3)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,4)，＋∞)).
题型二 一元二次不等式恒(能)成立问题
命题点1 在R上恒成立问题
例3 (2022·沧州模拟)已知关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，则k的取值范围是( )
A．[0,1]
B．(0,1]
C．(－∞，0)∪(1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 当k＝0时，不等式kx2－6kx＋k＋8≥0可化为8≥0，恒成立，
当k≠0时，要满足关于x的不等式kx2－6kx＋k＋8≥0对任意x∈R恒成立，
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k>0，,Δ＝36k2－4kk＋8≤0，))
解得0综上所述，k的取值范围是[0,1]．
命题点2 在给定区间上恒成立问题
例4 已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1,3]，f(x)<5－m恒成立，则实数m的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7)))
解析 要使f(x)<－m＋5在x∈[1,3]上恒成立，
即meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6<0在x∈[1,3]上恒成立．有以下两种方法：
方法一 令g(x)＝meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)m－6，
x∈[1,3]．
当m>0时，g(x)在[1,3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6<0，
所以m当m＝0时，－6<0恒成立；
当m<0时，g(x)在[1,3]上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)，即m－6<0，
所以m<6，所以m<0.
综上所述，m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7))).
方法二 因为x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋eq \f(3,4)>0，
又因为m(x2－x＋1)－6<0在x∈[1,3]上恒成立，
所以m令y＝eq \f(6,x2－x＋1)，
因为函数y＝eq \f(6,x2－x＋1)＝eq \f(6,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))2＋\f(3,4))在[1,3]上的最小值为eq \f(6,7)，所以只需m所以m的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(6,7))).
命题点3 给定参数范围的恒成立问题
例5 (2022·宿迁模拟)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A．[－1,3]
B．(－∞，－1]
C．[3，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)
答案 D
解析 不等式x2＋px>4x＋p－3
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f0＝x2－4x＋3>0，,f4＝4x－1＋x2－4x＋3>0，))
∴x<－1或x>3.
教师备选
函数f(x)＝x2＋ax＋3.
若当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
若当a∈[4,6]时，f(x)≥0恒成立，则实数x的取值范围是________________．
答案 [－7,2]
(－∞，－3－eq \r(6)]∪[－3＋eq \r(6)，＋∞)
解析 若x2＋ax＋3－a≥0在x∈[－2,2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
则有①Δ≤0或②eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,－\f(a,2)<－2，,g－2＝7－3a≥0.))
或③eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ>0，,－\f(a,2)>2，,g2＝7＋a≥0，))
解①得－6≤a≤2，解②得a∈∅，
解③得－7≤a<－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7,2]．
令h(a)＝xa＋x2＋3.
当a∈[4,6]时，h(a)≥0恒成立．
只需eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(h4≥0，,h6≥0，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x2＋4x＋3≥0，,x2＋6x＋3≥0，))
解得x≤－3－eq \r(6)或x≥－3＋eq \r(6).
∴实数x的取值范围是(－∞，－3－eq \r(6)]∪[－3＋eq \r(6)，＋∞)．
思维升华 恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
跟踪训练2 (1)已知关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围是( )
A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}
答案 A
解析 因为关于x的不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，
即x2－4x＋a2－3a≤0在R上有解，
只需y＝x2－4x＋a2－3a的图象与x轴有公共点，
所以Δ＝(－4)2－4×(a2－3a)≥0，
即a2－3a－4≤0，所以(a－4)(a＋1)≤0，
解得－1≤a≤4，
所以实数a的取值范围是{a|－1≤a≤4}．
(2)当x∈(1,2)时，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，则m的取值范围是( )
A．(－∞，4] B．(－∞，－5)
C．(－∞，－5] D．(－5，－4)
答案 C
解析 令f(x)＝x2＋mx＋4，
∴当x∈(1,2)时，f(x)<0恒成立，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(f1≤0，,f2≤0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＋m＋4≤0，,4＋2m＋4≤0，))
解得m≤－5.
课时精练
1．不等式9－12x≤－4x2的解集为( )
A．R B．∅
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2))))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(3,2)))))
答案 C
解析 原不等式可化为4x2－12x＋9≤0，
即(2x－3)2≤0，∴2x－3＝0，∴x＝eq \f(3,2)，
∴原不等式的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(3,2))))).
2．满足关于x的不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)A．(4,2) B．(－3，－6)
C．(2,4) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－\f(3,2)))
答案 D
解析 不等式(ax－b)(x－2)>0的解集为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)∴方程(ax－b)(x－2)＝0的实数根为eq \f(1,2)和2，
且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a<0，,\f(b,a)＝\f(1,2)，))即a＝2b<0，故选D.
3．(2022·揭阳质检)已知p：|2x－3|<1，q：x(x－3)<0，则p是q的( )
A．充要条件
B．充分不必要条件
C．既不充分也不必要条件
D．必要不充分条件
答案 B
解析 ∵p：|2x－3|<1，则－1<2x－3<1，
可得p：1又∵q：x(x－3)<0，
由x(x－3)<0，可得q：0可得p是q的充分不必要条件．
4．已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3 000＋20x－0.1x2，x∈(0,240)．若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是( )
A．100台 B．120台
C．150台 D．180台
答案 C
解析 由题设，产量为x台时，总售价为25x；
欲使生产者不亏本，必须满足总售价大于等于总成本，
即25x≥3 000＋20x－0.1x2，
即0.1x2＋5x－3 000≥0，x2＋50x－30 000≥0，
解得x≥150或x≤－200(舍去)．
故欲使生产者不亏本，最低产量是150台．
5．不等式x2＋ax＋4≥0对一切x∈[1,3]恒成立，则a的最小值是( )
A．－5 B．－eq \f(13,3) C．－4 D．－3
答案 C
解析 ∵x∈[1,3]时，x2＋ax＋4≥0恒成立，
则a≥－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))恒成立，
又x∈[1,3]时，x＋eq \f(4,x)≥2eq \r(4)＝4，当且仅当x＝2时取等号．
∴－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(4,x)))≤－4，
∴a≥－4.故a的最小值为－4.
6．若不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)，1)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(23,5)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(23,5)，＋∞)) D．(1，＋∞)
答案 C
解析 对于方程x2＋ax－2＝0，
∵Δ＝a2＋8>0，
∴方程x2＋ax－2＝0有两个不相等的实数根，
又∵两根之积为负，
∴必有一正根一负根，
设f(x)＝x2＋ax－2，
于是不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，
即5a＋23>0，
解得a>－eq \f(23,5).
7．不等式eq \f(3,x－1)>1的解集为________．
答案 (1,4)
解析 ∵eq \f(3,x－1)>1，
∴eq \f(3,x－1)－1>0，即eq \f(4－x,x－1)>0，
即1∴原不等式的解集为(1,4)．
8．一元二次方程kx2－kx＋1＝0有一正一负根，则实数k的取值范围是________．
答案 (－∞，0)
解析 kx2－kx＋1＝0有一正一负根，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Δ＝k2－4k>0，,\f(1,k)<0，))解得k<0.
9．已知关于x的不等式－x2＋ax＋b>0.
(1)若该不等式的解集为(－4,2)，求a，b的值；
(2)若b＝a＋1，求此不等式的解集．
解 (1)根据题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－4＝a，,2×－4＝－b，))
解得a＝－2，b＝8.
(2)当b＝a＋1时，－x2＋ax＋b>0⇔x2－ax－(a＋1)<0，
即[x－(a＋1)](x＋1)<0.
当a＋1＝－1，即a＝－2时，
原不等式的解集为∅；
当a＋1<－1，即a<－2时，
原不等式的解集为(a＋1，－1)；
当a＋1>－1，即a>－2时，
原不等式的解集为(－1，a＋1)．
综上，当a<－2时，不等式的解集为(a＋1，－1)；当a＝－2时，不等式的解集为∅；
当a>－2时，不等式的解集为(－1，a＋1)．
10．若二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，满足f(x＋2)－f(x)＝16x且f(0)＝2.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)若存在x∈[1,2]，使不等式f(x)>2x＋m成立，求实数m的取值范围．
解 (1)由f(0)＝2，得c＝2，
所以f(x)＝ax2＋bx＋2(a≠0)，
由f(x＋2)－f(x)＝[a(x＋2)2＋b(x＋2)＋2]－(ax2＋bx＋2)＝4ax＋4a＋2b，
又f(x＋2)－f(x)＝16x，
得4ax＋4a＋2b＝16x，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4a＝16，,4a＋2b＝0，))故a＝4，b＝－8，
所以f(x)＝4x2－8x＋2.
(2)因为存在x∈[1,2]，
使不等式f(x)>2x＋m成立，
即存在x∈[1,2]，使不等式m<4x2－10x＋2成立，
令g(x)＝4x2－10x＋2，x∈[1,2]，
故g(x)max＝g(2)＝－2，所以m<－2，
即m的取值范围为(－∞，－2)．
11．若对任意m∈[－1,1]，函数f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m的值恒大于零，则x的取值范围是( )
A．(1,3) B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
C．(2,3) D．(3，＋∞)
答案 B
解析 f(x)＝x2＋(m－4)x＋4－2m＝(x－2)m＋x2－4x＋4.
令g(m)＝(x－2)m＋x2－4x＋4，
由题意知在[－1,1]上，g(m)的值恒大于零，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(g－1＝x－2－1＋x2－4x＋4>0，,g1＝x－2×1＋x2－4x＋4>0))
⇒x<1或x>3.
12．(2022·南京质检)函数y＝lg(c＋2x－x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为( )
A．－1 B．－3 C．1 D．3
答案 D
解析 依题意得，一元二次不等式－x2＋2x＋c>0，即x2－2x－c<0的解集为(m，m＋4)，所以m，m＋4是方程x2－2x－c＝0的两个根，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋m＋4＝2，,mm＋4＝－c，))解得m＝－1，c＝3.
13．若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．
答案 [－4,3]
解析 原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即114．(2022·湖南长郡中学模拟)已知不等式x2＋ax＋b>0(a>0)的解集是{x|x≠d}，则下列四个结论中正确的是________．(填序号)
①a2＝4b；
②a2＋eq \f(1,b)≥4；
③若不等式x2＋ax－b<0的解集为(x1，x2)，则x1x2>0；
④若不等式x2＋ax＋b答案 ①②④
解析 由题意，知Δ＝a2－4b＝0，
所以a2＝4b，所以①正确；
对于②，a2＋eq \f(1,b)＝a2＋eq \f(4,a2)≥2eq \r(a2·\f(4,a2))＝4，当且仅当a2＝eq \f(4,a2)，即a＝eq \r(2)时等号成立，
所以②正确；
对于③，由根与系数的关系，
知x1x2＝－b＝－eq \f(a2,4)<0，所以③错误；
对于④，由根与系数的关系，知x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c＝eq \f(a2,4)－c，
则|x1－x2|＝eq \r(x1＋x22－4x1x2)
＝eq \r(a2－4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)－c)))＝2eq \r(c)＝4，
解得c＝4，所以④正确．
15．(2022·湖南多校联考)若关于x的不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0恰有两个整数解，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(3,2)B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤a<－\f(1,2)或\f(3,2)答案 D
解析 令x2－(2a＋1)x＋2a＝0，
解得x＝1或x＝2a.
当2a>1，即a>eq \f(1,2)时，
不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0的解集为
{x|1则3<2a≤4，
解得eq \f(3,2)当2a＝1，即a＝eq \f(1,2)时，
不等式x2－(2a＋1)x＋2a<0无解，
所以a＝eq \f(1,2)不符合题意；
当2a<1，即a则－2≤2a<－1，
解得－1≤a<－eq \f(1,2).
综上，a的取值范围是
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(a\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤a<－\f(1,2)或\f(3,2)16．已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0,5)．
(1)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,fx＋k<0))的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；
(2)若对于任意x∈[－1,1]，不等式t·f(x)≤2恒成立，求t的取值范围．
解 (1)因为不等式f(x)<0的解集是(0,5)，
所以0,5是一元二次方程2x2＋bx＋c＝0的两个实数根，
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0＋5＝－\f(b,2)，,0×5＝\f(c,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(b＝－10，,c＝0.))
所以f(x)＝2x2－10x.
不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(fx>0，,fx＋k<0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x2－10x>0，,2x2＋2kx＋k2－10x＋k<0，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x<0或x>5，,－k因为不等式组的正整数解只有一个，
可得该正整数解为6，
可得6<5－k≤7，
解得－2≤k<－1，
所以k的取值范围是[－2，－1)．
(2)tf(x)≤2，即t(2x2－10x)≤2，
即tx2－5tx－1≤0，
当t＝0时显然成立，
当t>0时，有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t·1－5t·－1－1≤0，,t·1－5t·1－1≤0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(t＋5t－1≤0，,t－5t－1≤0，))
解得－eq \f(1,4)≤t≤eq \f(1,6)，
所以0当t<0时，函数y＝tx2－5tx－1在[－1,1]上单调递增，
所以只要其最大值满足条件即可，
所以t－5t－1≤0，
解得t≥－eq \f(1,4)，
即－eq \f(1,4)≤t<0，
综上，t的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(1,6))).判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根
有两个不相等的实数根x1，x2(x1有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq \f(b,2a)
没有实数根
ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集
{x|xx2}
eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠－\f(b,2a)))))
R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集
{x|x1< x∅
∅