高考数学第一轮复习第七章 §7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

这是一份高考数学第一轮复习第七章 §7.3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题，共20页。试卷主要包含了线性规划中的基本概念等内容，欢迎下载使用。


知识梳理
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
2.线性规划中的基本概念
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集．( √ )
(2)不等式Ax＋By＋C>0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．( × )
(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，在异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)<0.( √ )
(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．( × )
教材改编题
1．某校对高三美术生划定录取分数线，专业成绩x不低于95分，文化课总分y高于380分，体育成绩z超过45分，用不等式表示就是( )
A.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥95，,y≥380，,z>45)) B.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥95，,y>380，,z≥45))
C.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>95，,y>380，,z>45)) D.eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥95，,y>380，,z>45))
答案 D
解析 “不低于”即“≥”，“高于”即“>”，“超过”即“>”，
∴x≥95，y>380，z>45.
2．不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1<0，,x＋y－3≥0))表示的区域(阴影部分)是( )
答案 D
解析 将点(0,0)代入x－y＋1<0不成立，
则点(0,0)不在不等式x－y＋1<0所表示的平面区域内，
将点(0,0)代入x＋y－3≥0不成立，
则点(0,0)不在不等式x＋y－3≥0所表示的平面区域内，
所以表示的平面区域不包括原点，排除A，C；
x－y＋1<0不包括边界，用虚线表示，x＋y－3≥0包括边界，用实线表示，故选D.
3．设变量x，y满足约束条件：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－3≤0，,x－y≥0，,y≥0，))则目标函数z＝x＋2y的最大值为________．
答案 eq \f(9,2)
解析 根据不等式组作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
当目标函数z＝x＋2y经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(3,2)))时，z取最大值为eq \f(9,2).
题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
例1 (1)(2022·新乡模拟)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤2，,2x－y≥1，,y＋1≥0))表示的平面区域的面积为______．
答案 3
解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x－y＝1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1，))即A(1,1)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝1，,y＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝－1，))即B(0，－1)，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,y＝－1，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－1，))即C(3，－1)，
S△ABC＝eq \f(1,2)×|3－0|×|1－(－1)|＝3.
(2)已知不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,2x－y－2≤0，,x>m))表示的平面区域为三角形，则实数m的取值范围为____________．
答案 (－∞，3)
解析 根据题意，先作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋1≥0，,2x－y－2≤0))表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝2x－2，,y＝x＋1，))可得A(3,4)，
要使不等式组表示的平面区域为三角形，只需m<3，
所以m的取值范围为(－∞，3)．
教师备选
已知点A(3,0)，B(－3,2)，若直线ax－y－1＝0与线段AB总有公共点，则a的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－1，\f(1,3)))
B．(－∞，－1]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，1))
D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－∞，－\f(1,3)))∪[1，＋∞)
答案 B
解析 因为直线ax－y－1＝0与线段AB总有公共点，
所以点A和点B不同在直线的一侧，
所以(3a－0－1)(－3a－2－1)≤0，
解得a≤－1或a≥eq \f(1,3).
即a的取值范围是(－∞，－1]∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，＋∞)).
思维升华 平面区域的形状问题主要有两种题型
(1)确定平面区域的形状，求解时先作出满足条件的平面区域，然后判断其形状．
(2)根据平面区域的形状求解参数问题，求解时通常先作出满足条件的平面区域，但要注意对参数进行必要的讨论．
跟踪训练1 (2022·西安模拟)若不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≥0，,x＋y≥2，,3x＋y≤5))所表示的平面区域被直线y＝kx＋2分成面积相等的两个部分，则实数k的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 A
解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，B(0,5)，
因为直线y＝kx＋2过定点C(0,2)，
所以C点在可行域内，
要使直线y＝kx＋2将可行域分成面积相等的两部分，
则直线y＝kx＋2必过线段AB的中点D.
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,3x＋y＝5，))解得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))，即Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(1,2)))，
所以AB的中点Deq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(11,4)))，
将D的坐标代入直线y＝kx＋2，得eq \f(11,4)＝eq \f(3,4)k＋2，解得k＝1.
题型二 求目标函数的最值问题
命题点1 求线性目标函数的最值
例2 (2021·浙江)若实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋1≥0，,x－y≤0，,2x＋3y－1≤0，))则z＝x－eq \f(1,2)y的最小值是( )
A．－2 B．－eq \f(3,2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,10)
答案 B
解析 作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y＝2x并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时z取得最小值．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－1＝0，,x＋1＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1，,y＝1，))
所以A(－1,1)，zmin＝－1－eq \f(1,2)＝－eq \f(3,2).
命题点2 求非线性目标函数的最值
例3 (1)如果点P(x，y)在平面区域eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋2≥0，,x－2y＋1≤0，,x＋y－2≤0))上，则eq \f(y＋1,x－2)的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(1,3))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，－\f(3,2)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－2，\f(1,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)，2))
答案 A
解析 作出点P(x，y)所在的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，
eq \f(y＋1,x－2)表示动点P与定点Q(2，－1)连线的斜率．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1＝0，,x＋y－2＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝1.))
于是kQE＝eq \f(1＋1,1－2)＝－2，
kQF＝eq \f(0＋1,－1－2)＝－eq \f(1,3).
因此－2≤eq \f(y＋1,x－2)≤－eq \f(1,3).
(2)若变量x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y≤0，,x＋y－3≤0，,x≥0，))则(x－1)2＋y2的最小值为( )
A．1 B.eq \f(4,5) C.eq \f(2\r(5),5) D．2
答案 B
解析 结合题意作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，
而(x－1)2＋y2的几何意义是可行域内的点与(1,0)的距离的平方，
又(1,0)到直线2x－y＝0的距离为eq \f(2,\r(5))，
故(x－1)2＋y2的最小值为eq \f(4,5).
命题点3 求参数值或取值范围
例4 已知k>0，x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2≥0，,x＋y－3≤0，,y≥kx－3，))若z＝2x＋y的最小值为1，则k等于( )
A．3 B．5 C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,4)
答案 A
解析 由不等式组知可行域只能是图中△ABC内部阴影部分(含边界)所示，
作直线l：2x＋y＝0，平移直线l，只有当l过点B时，z＝2x＋y取得最小值，
易知B(2，－k)，
∴4－k＝1，解得k＝3.
教师备选
1．(2022·六安模拟)已知实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－1≥0，,y－2≥0，,x＋y－5≤0，))则z＝2x＋y的最大值为( )
A．4 B．5 C．8 D．10
答案 C
解析 不等式组表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
由z＝2x＋y，得y＝－2x＋z，
作出直线y＝－2x，
向上平移过点C时，z＝2x＋y取得最大值，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y－2＝0，,x＋y－5＝0，))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2，))即C(3,2)，
所以z＝2x＋y的最大值为2×3＋2＝8.
2．已知实数x，y满足不等式eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,2x＋y－5≤0，,y≥1，))则z＝x2＋y2的最大值为________．
答案 10
解析 根据约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2≥0，,2x＋y－5≤0，,y≥1，))画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
z＝x2＋y2是指可行域内的动点(x，y)与定点(0,0)之间的距离的平方，
由图可知，
点P到原点O的距离的平方最大，
又因为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＋2＝0，,2x＋y－5＝0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))
所以P(1,3)，
故zmax＝12＋32＝10.
3．设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥a，,x－y≤－1，))且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝________.
答案 3
解析 作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y＝－1，,x＋y＝a，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\f(a－1,2)，,y＝\f(a＋1,2)，))
∴Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a－1,2)，\f(a＋1,2))).
①当a＝0时，Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，x＝z无最小值，不满足题意；
②当a<0时，由z＝x＋ay得y＝－eq \f(1,a)x＋eq \f(z,a)，
要使z最小，则直线y＝－eq \f(1,a)x＋eq \f(z,a)在y轴上的截距最大，满足条件的最优解不存在；
③当a>0时，由z＝x＋ay得y＝－eq \f(1,a)x＋eq \f(z,a)，
由图可知，当直线过点A时直线在y轴上的截距最小，z最小，此时，－eq \f(1,a)≥－1，即a≥1，
此时z＝eq \f(a－1,2)＋a·eq \f(a＋1,2)＝eq \f(a2＋2a－1,2)＝7.
即a2＋2a－15＝0，
解得a＝3或a＝－5(舍)．
思维升华 常见的三类目标函数
(1)截距型：形如z＝ax＋by.
(2)距离型：形如z＝(x－a)2＋(y－b)2.
(3)斜率型：形如z＝eq \f(y－b,x－a).
跟踪训练2 (1)已知A(1,2)，点B(x，y)的坐标x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤3，,2x－y－2≤0，,x≥1，))则eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的取值范围是________．
答案 [1,5]
解析 作不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤3，,2x－y－2≤0，,x≥1))的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．
设z＝eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))，则z＝x＋2y，
将z＝x＋2y化为y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(z,2)，
由图象可得，当直线y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(z,2)过点A(1,2)时，z取最大值，最大值为5.
当直线y＝－eq \f(1,2)x＋eq \f(z,2)过点C(1,0)时，z取最小值，最小值为1.
∴eq \(OA,\s\up6(→))·eq \(OB,\s\up6(→))的取值范围是[1,5]．
(2)(2022·平顶山模拟)若实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－5≤0，,y－2≥0，,x－1≥0，))则z＝eq \f(x＋2y＋3,x＋1)的最小值是______．
答案 eq \f(5,2)
解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
z＝eq \f(x＋2y＋3,x＋1)＝1＋eq \f(2y＋1,x＋1)，
其中k＝eq \f(y＋1,x＋1)表示可行域内点P(x，y)与定点Q(－1，－1)连线的斜率，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－5＝0，,y＝2))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝2，))即C(3,2)，
由图可得kmin＝kCQ＝eq \f(2＋1,3＋1)＝eq \f(3,4)，
所以zmin＝1＋2×eq \f(3,4)＝eq \f(5,2).
(3)(2022·金华模拟)已知x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0，))若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a的值为________．
答案 －1或2
解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
作直线l：y－ax＝0，在z＝y－ax中，y＝ax＋z，a是斜率，z是纵截距，直线向上平移，z增大，
因此要使最大值的最优解不唯一，则直线l与AB或AC平行，
所以a＝－1或a＝2.
题型三 实际生活中的线性规划问题
例5 (2022·新乡模拟)快递行业的高速发展极大地满足了人们的购物需求，也提供了大量的就业岗位，出现了大批快递员．某快递公司接到甲、乙两批快件，基本数据如下表：
快递员小马接受派送任务，小马的送货车载货的最大容积为350立方分米，最大载重量为250千克，小马一次送货可获得的最大工资额为( )
A．150元 B．170元
C．180元 D．200元
答案 B
解析 设一次派送甲批快件x件、乙批快件y件，
则x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(20x＋10y≤350，,10x＋20y≤250，,x≥0，,y≥0，,x，y∈N，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y≤35，,x＋2y≤25，,x≥0，,y≥0，,x，y∈N，))
小马派送完毕获得的工资z＝8x＋10y(元)，
画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y＝35，,x＋2y＝25，))解得x＝15，y＝5，
所以目标函数在点M(15,5)处取得最大值，
故zmax＝8×15＋10×5＝170(元)．
所以小马一次送货可获得的最大工资额为170元．
教师备选
某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为( )
A．180 000元 B．216 000元
C．189 000元 D．256 000元
答案 B
解析 设生产产品A为x件，产品B为y件，获利z元．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1.5x＋0.5y≤150，,x＋0.3y≤90，,5x＋3y≤600，,x∈N，y∈N，))
目标函数z＝2 100x＋900y，
作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示．
将z＝2 100x＋900y化为y＝－eq \f(7,3)x＋eq \f(z,900)，
由图象可得，当直线y＝－eq \f(7,3)x＋eq \f(z,900)过点M时，在y轴上的截距最大，即z最大．
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋0.3y＝90，,5x＋3y＝600，))得M(60,100)，
∴zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元)，
∴利润最大为216 000元．
思维升华 解线性规划应用题的步骤
(1)转化——设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；
(2)求解—— 解这个纯数学的线性规划问题；
(3)作答——将线性规划问题的答案还原为实际问题的答案．
跟踪训练3 某企业在“精准扶贫”行动中，决定帮助一贫困山区将水果运出销售．现有8辆甲型车和4辆乙型车，甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次，乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次，甲型车每天费用320元，乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站，则通过合理调配车辆，运送这批水果的费用最少为( )
A．2 400元 B．2 560元
C．2 816元 D．4 576元
答案 B
解析 设甲型车x辆，乙型车y辆，运送这批水果的费用为z元，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0≤x≤8，,0≤y≤4，,24x＋30y≥180，,x∈N，y∈N))
目标函数z＝320x＋504y，
作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x∈N，y∈N，,0≤x≤8，,0≤y≤4，,24x＋30y≥180))所表示的平面区域，如图所示的阴影部分(含边界)．
作直线320x＋504y＝0，并平移，结合实际情况分析可得当直线过整点(8,0)时，z取得最小值，
即zmin＝8×320＋0×504＝2 560(元)．
课时精练
1．将不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋2≥0，,x＋y<0))表示的平面区域记为F，则属于F的点是( )
A．(1,1) B．(－1,1)
C．(－1，－1) D．(1，－1)
答案 C
解析 将点(1,1)代入方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1≥0，,2>0，))故不在区域F内，
将点(－1,1)代入方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1<0，,0＝0，))故不在区域F内，
将点(－1，－1)代入方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3≥0，,－2<0，))故在区域F内，
将点(1，－1)代入方程组得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5≥0，,0＝0，))故不在区域F内．
2．(2022·合肥质检)不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3≤0，,x＋y≥0，,x－y≥0))围成的封闭图形的面积是( )
A．12 B．6 C．9 D．15
答案 C
解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝0，,x－y＝0))得A(3,3)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－3＝0，,x＋y＝0))得B(3，－3)，
所以可行域的面积为eq \f(1,2)×3×6＝9.
3．(2021·全国乙卷)若x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥4，,x－y≤2，,y≤3，))则z＝3x＋y的最小值为( )
A．18 B．10 C．6 D．4
答案 C
解析 方法一 (数形结合法)作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，作出直线y＝－3x，并平移，数形结合可知，当平移后的直线经过点A时，直线y＝－3x＋z在y轴上的截距最小，即z最小．
解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,y＝3))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝3，))即点A的坐标为(1,3)．从而z＝3x＋y的最小值为3×1＋3＝6.
方法二 (代点比较法)画图易知，题设不等式组对应的可行域是封闭的三角形区域，所以只需要比较三角形区域三个顶点处的z的大小即可．
易知直线x＋y＝4与y＝3的交点坐标为(1,3)，直线x＋y＝4与x－y＝2的交点坐标为(3,1)，直线x－y＝2与y＝3的交点坐标为(5,3)，将这三个顶点的坐标分别代入z＝3x＋y可得z的值分别为6,10,18，所以比较可知zmin＝6.
方法三 (巧用不等式的性质)因为x＋y≥4，所以3x＋3y≥12.①
因为y≤3，所以－2y≥－6.②
于是，由①＋②可得3x＋3y＋(－2y)≥12＋(－6)，即3x＋y≥6，
当且仅当x＋y＝4且y＝3，即x＝1，y＝3时不等式取等号，易知此时不等式x－y≤2成立．
4．不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在直角坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的( )
答案 C
解析 (x－2y＋1)(x＋y－3)≤0等价于eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1≥0，,x＋y－3≤0))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－2y＋1≤0，,x＋y－3≥0，))
即不等式表示的区域是同时在两直线的上方部分或同时在两直线的下方部分，只有选项C符合题意．
5．(2022·长沙模拟)若x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥0，,x－y≥0，,x≤1，))则z＝2x－y的取值范围是( )
A．[0,3] B．[1,3]
C．[－3,0] D．[－3，－1]
答案 A
解析 作出eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≥0，,x－y≥0，,x≤1))表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,x＋y＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝－1，))
即B(1，－1)，
化目标函数z＝2x－y为y＝2x－z，
由图可知，当直线y＝2x－z过原点时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值，为2×0－0＝0；
当直线y＝2x－z过点B时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值，为2×1－(－1)＝3，
∴z＝2x－y的取值范围是[0,3]．
6．一小商贩准备用50元钱在某批发市场购买甲、乙两种小商品，甲每件进价4元，乙每件进价7元，甲商品每卖出去1件可赚1元，乙商品每卖出去1件可赚1.8元．该商贩若想获取最大收益，则购买甲、乙两种商品的件数应分别为( )
A．甲7件，乙3件 B．甲9件，乙2件
C．甲4件，乙5件 D．甲2件，乙6件
答案 D
解析 设购买甲、乙两种商品的件数应分别x，y件，利润为z元，
由题意eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4x＋7y≤50，,x，y∈N，))z＝x＋1.8y，
画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
结合实际情况，显然当y＝－eq \f(5,9)x＋eq \f(5,9)z经过整点A(2，6)时，z最大．
7．设x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－6≤0，,x＋y－1≥0，,2x－y＋1≥0，))则z＝eq \f(y－1,x＋1)的最大值是( )
A.eq \f(12,7) B.eq \f(1,2)
C．1 D．2
答案 A
解析 作出约束条件表示的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
z＝eq \f(y－1,x＋1)表示可行域中的点(x，y)与点P(－1,1)的连线的斜率，
由图可知z＝eq \f(y－1,x＋1)的最大值在A点取得，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－6＝0，,2x－y＋1＝0，)) 得A(6,13)，
所以zmax＝eq \f(13－1,6＋1)＝eq \f(12,7).
8．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于eq \f(1,3)，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是( )
A．最多可以购买4份一等奖奖品
B．最多可以购买16份二等奖奖品
C．购买奖品至少要花费100元
D．共有20种不同的购买奖品方案
答案 D
解析 设获得一等奖和二等奖的人数分别为x，y(x，y∈N*)，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(20x＋10y≤200，,3x≤y，,x≥2，))作出该不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分(含边界)所示，
由图可知，2≤x≤4,6≤y≤16，故x可取2,3,4，
故最多可以购买4份一等奖奖品，最多可以购买16份二等奖奖品，
购买奖品至少要花费2×20＋6×10＝100(元)，故A，B，C正确；
当x＝2时，y可取6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16，共有11种，
当x＝3时，y可取9,10,11,12,13,14，共6种，
当x＝4时，y可取12，共1种，
故共有11＋6＋1＝18(种)，故D不正确．
9．已知点(1,1)在直线x＋2y＋b＝0的下方，则实数b的取值范围是________．
答案 (－∞，－3)
解析 因为点(1,1)在直线x＋2y＋b＝0的下方，
所以1＋2＋b<0，解得b<－3.
10．已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y≤0，,x＋y－2≥0，,x－3y＋6≥0，))则eq \f(2y,4x)的最小值为________．
答案 eq \f(1,8)
解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
eq \f(2y,4x)＝2y－2x，若使2y－2x最小，需y－2x最小．
令z＝y－2x，则y＝2x＋z，
z表示直线在y轴上的截距，
根据平移知，当x＝3，y＝3时，z＝y－2x有最小值为－3，
则eq \f(2y,4x)的最小值为2－3＝eq \f(1,8).
11．已知实数x，y满足eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＋4≥0，,x＋y－1≥0，,x≤1，))若直线y＝k(x－1)将可行域分成面积相等的两部分，则实数k的值为________．
答案 －4
解析 画出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
其中A(1,6)，B(1,0)，C(－1,2)．
由于直线y＝k(x－1)过定点B(1,0)且将可行域分成面积相等的两部分，
所以当直线y＝k(x－1)过线段AC的中点D(0,4)时，△ABD和△BCD的面积相等，
此时k＝kBD＝eq \f(4－0,0－1)＝－4.
12．现某小型服装厂锁边车间有锁边工10名，杂工15名，有7台电脑机，每台电脑机每天可给12件衣服锁边；有5台普通机，每台普通机每天可给10件衣服锁边．如果一天至少有100件衣服需要锁边，用电脑机每台需配锁边工1名，杂工2名，用普通机每台需要配锁边工1名，杂工1名，用电脑机给一件衣服锁边可获利8元，用普通机给一件衣服锁边可获利6元，则该服装厂锁边车间一天最多可获利________元．
答案 780
解析 设每天安排电脑机和普通机各x，y台，
则一天可获利z＝12×8x＋10×6y＝96x＋60y，
线性约束条件为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y≤10，,2x＋y≤15，,12x＋10y≥100，,0可知当目标函数经过(5,5)时，zmax＝780.
13．(2022·郑州模拟)已知M(x，y)是不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－2≤0，,x＋y＋2≥0，,y≤1))所表示的平面区域内的任意一点，且M(x，y)满足x2＋y2≤a，则a的最小值为( )
A．3 B．4 C．9 D．10
答案 D
解析 作出不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－2≤0，,x＋y＋2≥0，,y≤1))所表示的可行域，如图中的阴影部分(含边界)所示，
联立eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y＋2＝0，,y＝1，))
可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－3，,y＝1，))
即点A(－3,1)，同理可得B(3,1)，C(0，－2)，
且OA＝OB＝eq \r(10)，OC＝2，
x2＋y2的几何意义为原点O与可行域内的点M(x，y)的距离的平方，
由图可知，当点M与点A或点B重合时，OM取最大值，故x2＋y2的最大值为10，
∴a≥10，即a的最小值为10.
14．已知实数x，y满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2≤0，,x≥a，,x≤y，))且z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，则a等于( )
A.eq \f(3,4) B.eq \f(5,6) C.eq \f(6,5) D.eq \f(4,3)
答案 B
解析 根据题中所给的约束条件，画出相应的可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
作出直线l：y＝2x，平移直线l，由图可知，
当直线经过点D时，直线在y轴上的截距最小，
此时z＝2x－y取得最大值，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,x＝y，))可得D(1,1)，
所以z＝2x－y的最大值是1；
当直线经过点B时，直线在y轴上的截距最大，
此时z＝2x－y取得最小值，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－2＝0，,x＝a，))可得B(a,2－a)，
所以z＝2x－y的最小值是3a－2，
因为z＝2x－y的最大值是最小值的2倍，
所以6a－4＝1，解得a＝eq \f(5,6).
15．实数对(x，y)满足不等式组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－y－2≤0，,x＋2y－5≥0，,y－2≤0，))且目标函数z＝kx－y当且仅当x＝3，y＝1时取最大值，则k的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞)) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)) D．(－∞，1]
答案 C
解析 作出可行域，如图中阴影部分(含边界)所示，
其中A(1,2)，B(4,2)，C(3,1)，
由z＝kx－y，将直线l：y＝kx－z进行平移可得直线在y轴上的截距为－z，
因此直线在y轴上截距最小时，目标函数z达到最大值．
因为当且仅当l经过点C(3,1)时，目标函数z达到最大值，
所以直线l的斜率应介于直线AC的斜率与直线BC的斜率之间，
kAC＝eq \f(1－2,3－1)＝－eq \f(1,2)，kBC＝eq \f(2－1,4－3)＝1，
所以k的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1)).
16．(2022·宜春模拟)设实数x，y满足约束条件eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－6≥0，,x＋2y－6≤0，,y≥0，))则eq \f(2y2－xy,x2)的最小值是________．
答案 －eq \f(1,8)
解析 作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分(含边界)所示，k＝eq \f(y,x)的几何意义为可行域内的点到原点的斜率，
由图象可知，OA的斜率最大，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－6＝0，,x＋2y－6＝0))得A(2,2)，
∴0≤k≤1，
∴eq \f(2y2－xy,x2)＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,x)))2－eq \f(y,x)＝2k2－k＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(k－\f(1,4)))2－eq \f(1,8)≥－eq \f(1,8)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(当且仅当k＝\f(1,4)时，取到最小值)).不等式
表示区域
Ax＋By＋C>0
直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域
不包括边界
Ax＋By＋C≥0
包括边界
不等式组
各个不等式表示的平面区域的公共部分
名称
意义
约束条件
由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
目标函数
关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数
关于x，y的一次解析式
可行解
满足线性约束条件的解(x，y)
可行域
所有可行解组成的集合
最优解
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
体积(立方分米/件)
重量(千克/件)
快递员工资(元/件)
甲批快件
20
10
8
乙批快件
10
20
10