高考数学第一轮复习第七章 §7.6　推理与证明

这是一份高考数学第一轮复习第七章 §7.6　推理与证明，共14页。试卷主要包含了演绎推理等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．合情推理
2.演绎推理
(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．
(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：
①大前提——已知的一般原理；
②小前提——所研究的特殊情况；
③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．
3．直接证明
(1)综合法
①定义：一般地，利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法．
②框图表示：eq \x(P⇒Q1)―→eq \x(Q1⇒Q2)―→eq \x(Q2⇒Q3)―→…―→eq \x(Qn⇒Q)
(其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示所要证明的结论)．
③思维过程：由因导果．
(2)分析法
①定义：一般地，从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止，这种证明方法叫做分析法．
②框图表示：eq \x(Q⇐P1)―→eq \x(P1⇐P2)―→eq \x(P2⇐P3)―→…―→eq \x(得到一个明显成立的条件)
(其中Q表示要证明的结论)．
③思维过程：执果索因．
4．间接证明
反证法：一般地，假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( × )
(2)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．( √ )
(3)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × )
(4)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“aeq \r(10)－3.
解 (1)方法一 (综合法)因为a>0，b>0，
所以eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，
所以lg eq \f(a＋b,2)≥lgeq \r(ab).
因为lgeq \r(ab)＝eq \f(1,2)lg(ab)＝eq \f(1,2)(lg a＋lg b)，
所以lg eq \f(a＋b,2)≥eq \f(lg a＋lg b,2).
方法二 (分析法)要证lg eq \f(a＋b,2)≥eq \f(lg a＋lg b,2)，
即证lg eq \f(a＋b,2)≥eq \f(1,2)lg(ab)＝lgeq \r(ab)，
即证eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab)，
由a>0，b>0，上式显然成立，
则原不等式成立．
(2)方法一 (分析法)要证2eq \r(2)－eq \r(7)>eq \r(10)－3，
即证2eq \r(2)＋3>eq \r(10)＋eq \r(7)，
即证(2eq \r(2)＋3)2>(eq \r(10)＋eq \r(7))2.
即证17＋12eq \r(2)>17＋2eq \r(70)，
即证12eq \r(2)>2eq \r(70)，
即证6eq \r(2)>eq \r(70).
因为(6eq \r(2))2＝72>(eq \r(70))2＝70，
所以6eq \r(2)>eq \r(70)成立．
由上述分析可知2eq \r(2)－eq \r(7)>eq \r(10)－3成立．
方法二 (综合法)由2eq \r(2)－eq \r(7)＝eq \f(1,2\r(2)＋\r(7))，且eq \r(10)－3＝eq \f(1,\r(10)＋3)，
由2eq \r(2)0，b>0，求证：eq \f(a＋b,2)≥eq \f(2ab,a＋b)；
(2)已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.
证明 (1)∵a>0，b>0，要证eq \f(a＋b,2)≥eq \f(2ab,a＋b)，
只要证(a＋b)2≥4ab，
只要证(a＋b)2－4ab≥0，
即证a2－2ab＋b2≥0，
而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，
故eq \f(a＋b,2)≥eq \f(2ab,a＋b)成立．
(2)假设a，b，c不全是正数，即至少有一个不是正数，不妨先设a≤0，下面分a＝0和a0矛盾，所以a＝0不可能，如果a0可得，bc0，所以b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc0相矛盾，因此，a0，同理可证b>0，c>0，所以原命题成立．
课时精练
1．指数函数都是增函数(大前提)，函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))x是指数函数(小前提)，所以函数y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)))x是增函数(结论)．上述推理错误的原因是( )
A．小前提不正确 B．大前提不正确
C．推理形式不正确 D．大、小前提都不正确
答案 B
解析 大前提错误．因为指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)在a>1时是增函数，而在02eq \r(2)＋eq \r(5)，
只需证明(eq \r(6)＋eq \r(7))2>(2eq \r(2)＋eq \r(5))2，
即证明2eq \r(42)>2eq \r(40)，也就是证明42>40，式子显然成立，
故原不等式成立．
(2)2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)＋\f(ac,b)＋\f(ab,c)))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)＋\f(ac,b)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(bc,a)＋\f(ab,c)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ac,b)＋\f(ab,c)))
≥2eq \r(\f(abc2,ab))＋2eq \r(\f(acb2,ac))＋2eq \r(\f(bca2,bc))＝2c＋2b＋2a，
所以eq \f(bc,a)＋eq \f(ac,b)＋eq \f(ab,c)≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
10．若x，y都是正实数，且x＋y>2，求证：eq \f(1＋x,y)0且eq \f(c,a)>0，不等式eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)≥－2显然成立，若eq \f(b,a)0，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,a)))≥2eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,a)))·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(c,a))))>2，即eq \f(b,a)＋eq \f(c,a)0且eq \f(c,a)>0，即a，b，c同号．
16．已知α，β为锐角，求证：eq \f(1,cs2α)＋eq \f(1,sin2αsin2βcs2β)≥9.
解 要证eq \f(1,cs2α)＋eq \f(1,sin2αsin2βcs2β)≥9，
只需证eq \f(1,cs2α)＋eq \f(4,sin2αsin22β)≥9，①
考虑到sin22β≤1，
可知eq \f(4,sin2αsin22β)≥eq \f(4,sin2α)，
因而要证①应先证eq \f(1,cs2α)＋eq \f(4,sin2α)≥9，
即证eq \f(sin2α＋cs2α,cs2α)＋eq \f(4sin2α＋cs2α,sin2α)≥9，
又eq \f(sin2α＋cs2α,cs2α)＋eq \f(4sin2α＋cs2α,sin2α)
＝eq \f(sin2α,cs2α)＋eq \f(4cs2α,sin2α)＋5≥9，
所以原不等式成立．类型
定义
特点
归纳推理
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
由部分到整体、由个别到一般
类比推理
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理
由特殊到特殊