高考数学第一轮复习第十一章 §11.1　随机事件的概率

这是一份高考数学第一轮复习第十一章 §11.1　随机事件的概率，共14页。试卷主要包含了1　随机事件的概率，61% B．99等内容，欢迎下载使用。
考试要求 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算．
知识梳理
1．事件的相关概念
2．频数、频率和概率
(1)频数、频率：在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝eq \f(nA,n)为事件A出现的频率．
(2)概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A的概率．
3．事件的关系与运算
常用结论
1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．
2．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)必然事件一定发生．( √ )
(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( √ )
(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( × )
(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．( × )
教材改编题
1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )
A．至多有一次中靶 B．两次都中靶
C．只有一次中靶 D．两次都不中靶
答案 D
解析 “至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．
2．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________．
答案 0.5
解析 掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.
3．先后两次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上，则记为0，则这个试验有________个基本事件．
答案 4
解析 这个试验的基本事件为(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)，共4个.
题型一 随机事件与基本事件个数
例1 (1)在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是( )
A．必然事件 B．不可能事件
C．随机事件 D．以上选项均有可能
答案 A
解析 从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，
∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，
∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．
(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的基本事件个数为 ( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 D
解析 因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的基本事件有(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)共8个．
教师备选
一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球．
(1)写出这个试验的基本事件；
(2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件？
解 (1)这个试验的基本事件有(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)．
(2)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个基本事件：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)．
思维升华 确定基本事件个数的方法
(1)必须明确事件发生的条件．
(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．
跟踪训练1 (1)下列说法错误的是( )
A．任一事件的概率总在[0,1]内
B．不可能事件的概率一定为0
C．必然事件的概率一定为1
D．概率是随机的，在试验前不能确定
答案 D
解析 任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．
(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
答案 D
解析 事件A包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个基本事件．
题型二 事件的关系与运算
例2 (1)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，给出下列说法：
①A⊆B；②A∩B＝∅；③A∪B＝“至少一次中靶”；④A与B互为对立事件．
其中正确的是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案 B
解析 事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以①④错误，②正确．A∪B＝“至少一次中靶”，③正确．
(2)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则( )
A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件
B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是对立事件
C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”
D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是eq \f(1,3)
答案 D
解析 事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；
事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B错误；
事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；
事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是eq \f(1,3)，D正确．
教师备选
1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：
Ci＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；
D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；
E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．
下列结论正确的是( )
A．C1与C2对立 B．D1与D2互斥
C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)
答案 C
解析 对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；
对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B不正确；
对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；
对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确．
2．从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：
A＝“恰有一个偶数”；B＝“恰有一个奇数”；
C＝“至少有一个是奇数”；D＝“两个数都是偶数”；
E＝“至多有一个奇数”．
下列结论不正确的是( )
A．A＝B B．B⊆C
C．D∩E＝∅ D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω
答案 C
解析 事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω.
思维升华 事件的关系运算策略
(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．
(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．
跟踪训练2 (1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是( )
A．至少有1个红球与至少有1个黑球
B．至少有1个红球与都是黑球
C．至少有1个红球与至多有1个黑球
D．恰有1个红球与恰有2个红球
答案 D
解析 对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；
对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；
对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意；
对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球．
(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ai＝“向上的点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是( )
A.eq \x\t(A)1⊆B B．A2＋B＝Ω
C．A3与B互斥 D．A4与eq \x\t(B)对立
答案 C
解析 对于A，eq \x\t(A)1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，
∴B⊆eq \x\t(A)1，故A错误；
对于B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故B错误；
对于C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；
对于D，A4＝{4}，eq \x\t(B)＝{1,3,5}，A4与eq \x\t(B)是互斥但不对立事件，故D错误．
题型三 频率与概率
例3 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为eq \f(2＋16＋36,90)＝0.6.
所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；
若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；
若最高气温不低于25，
则Y＝450×(6－4)＝900，
所以利润Y的所有可能值为－100,300,900.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为
eq \f(36＋25＋7＋4,90)＝0.8.
因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
教师备选
某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；
(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；
(3)求续保人本年度平均保费的估计值．
解 (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为eq \f(60＋50,200)＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.
(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为eq \f(30＋30,200)＝0.3，故P(B)的估计值为0.3.
(3)由所给数据得
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a.因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
思维升华 (1)概率与频率的关系
(2)随机事件概率的求法
跟踪训练3 某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y(单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X(单位：毫米)有关．据统计，当X＝70时，Y＝460；X每增加10，Y增加5.已知近20年X的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,
110,160,220,140,160.
(1)完成如下的频率分布表：
近20年六月份降雨量频率分布表
(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．
解 (1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为
(2)根据题意，Y＝460＋eq \f(X－70,10)×5＝eq \f(X,2)＋425，
故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P(Y530)
＝P(X210)
＝P(X＝70)＋P(X＝110)＋P(X＝220)
＝eq \f(1,20)＋eq \f(3,20)＋eq \f(2,20)＝eq \f(3,10).
故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为eq \f(3,10).
课时精练
1．下列说法正确的是( )
A．任何事件的概率总是在(0,1)之间
B．频率是客观存在的，与试验次数无关
C．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率
D．概率是随机的，在试验前不能确定
答案 C
解析 不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A错；
频率是由试验的次数决定的，故B错；概率是频率的稳定值，故C正确，D错．
2．2021年东京奥运会中国体育代表团共有777人，截止到7月15日，未完成疫苗接种的有3人，则中国体育代表团成员的疫苗接种率约为( )
A．99.61% B．99.49%
C．99.36% D．99.23%
答案 A
解析 中国体育代表团成员的疫苗接种率约为eq \f(777－3,777)≈0.996 1＝99.61%.
3．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的基本事件个数为( )
A．2 B．4 C．6 D．8
答案 B
解析 从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个基本事件．
4．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( )
A．A⊆B
B．A＝B
C．A＋B表示向上的点数是1或2或3
D．AB表示向上的点数是1或2或3
答案 C
解析 由题意，可知A＝{1,2}，B＝{2,3}，
则A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.
5．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为( )
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红球、黑球各一个
答案 D
解析 对于D，红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，也有可能取到两球都是红球，故不是对立事件，所以D选项符合．
6．下列说法不正确的是( )
A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件
B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件
C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆A
D．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则包含两个基本事件
答案 A
解析 对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，B正确；对于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，C正确；对于D，基本事件为正品，次品，故D正确．
7．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数．则剩余动物的脚数为________．
答案 0,2,4,6,8
解析 最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.
8．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1,2,4组的频数分别为6,7,9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．
答案 60
解析 ∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9，
∴第1,2,4组的频率分别为
eq \f(6,40)＝0.15，eq \f(7,40)＝0.175，eq \f(9,40)＝0.225.
∵第3组的频率为0.25，
∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，
∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)．
9．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．
(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？
(2)事件C与A的积事件是什么事件？
解 (1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B.
(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球，故CA＝A.
10．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．
(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；
(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．
①用所给编号列出所有基本事件；
②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示．
解 (1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27＋9＋18＝54，
则应从甲协会抽取27×eq \f(6,54)＝3(人)，
从乙协会抽取9×eq \f(6,54)＝1(人)，
从丙协会抽取18×eq \f(6,54)＝2(人)．
故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.
(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．
②事件A可用集合表示为{(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}．
11．2021年5月7日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗(Ver细胞)，获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”(EUL)．世卫组织审评认为该疫苗的效力为78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题．所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效力＝eq \f(对照组发病率－疫苗组发病率,对照组发病率)×100%.关于注射疫苗，下列说法正确的是( )
A．只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎
B．注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低
C．若对照组10 000人，发病100人；疫苗组20 000人，发病40人，则效力为40%
D．若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%.那么在10 000个人注射该疫苗后，一定有1 000个人发病
答案 B
解析 由题意知，疫苗的效力为78.1%，最高达90%，但不是注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎，故选项A错误；
疫苗的效力为78.1%，最高达90%，所以注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低，故选项B正确；
若对照组10 000人，发病100人；疫苗组20 000人，发病40人，则注射疫苗的效力＝eq \f(\f(100,10 000)－\f(40,20 000),\f(100,10 000))×100%＝80%，故选项C错误；
若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%，只是反应了一个概率问题，并不能说明在10 000个人注射该疫苗后，一定有1 000个人发病，故选项D错误．
12．一批产品共100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：“恰有一件次品”；
事件B：“至少有两件次品”；
事件C：“至少有一件次品”；
事件D：“至多有一件次品”．
则以下结论正确的是( )
A．A∪B＝A B．D∪B是必然事件
C．A∪B＝B D．A∪D＝C
答案 B
解析 A∪B表示的事件为至少有一件次品，即事件C，所以A不正确，C不正确；D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；A∪D表示的事件为至多有一件次品，即事件D，所以D不正确．
13．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是( )
A．A⊆D B．B∩D＝∅
C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D
答案 D
解析 对于选项A，事件A包含于事件D，
故A正确．
对于选项B，由于事件B，D不能同时发生．
故B∩D＝∅，故B正确．
对于选项C，由题意知正确．
对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D，故D不正确．
14．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为________．
答案 eq \f(1,2)
解析 共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中，上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为eq \f(3,6)＝eq \f(1,2).
15．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝eq \f(4,x)，P(B)＝eq \f(1,y)，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
答案 C
解析 由题意知eq \f(4,x)＋eq \f(1,y)＝1，
则x＋y＝(x＋y)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,x)＋\f(1,y)))＝5＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥5＋2eq \r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝9，
当且仅当eq \f(4y,x)＝eq \f(x,y)，即x＝2y时等号成立．
16．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．
(1)写出甲、乙抽到牌的所有基本事件；
(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？
(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？
解 (1)分别用2,3,4,4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有基本事件为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种．
(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是eq \f(2,3).
(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5个基本事件，因此甲胜的概率为eq \f(5,12)，乙胜的概率为eq \f(7,12).
因为eq \f(5,12)