高考数学第一轮复习第十二章 §12.4　不等式的证明

这是一份高考数学第一轮复习第十二章 §12.4　不等式的证明，共10页。试卷主要包含了比较法，综合法，分析法，反证法，放缩法，柯西不等式等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．比较法
(1)作差比较法
已知a>b⇔a－b>0，a0即可，这种方法称为作差比较法．
(2)作商比较法
由a>b>0⇔eq \f(a,b)>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明eq \f(a,b)>1即可，这种方法称为作商比较法．
2．综合法
从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，即“由因导果”的方法．
3．分析法
从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，即“执果索因”的方法．
4．反证法
先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立．
5．放缩法
证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．
6．柯西不等式
(1)设a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．
(2)设a1，a2，…，an，b1，b2，…，bn是实数，则(aeq \\al(2,1)＋aeq \\al(2,2)＋…＋aeq \\al(2,n))(beq \\al(2,1)＋beq \\al(2,2)＋…＋beq \\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2(当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个实数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立)．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)当a≥0，b≥0时，eq \f(a＋b,2)≥eq \r(ab).( √ )
(2)用反证法证明命题“a，b，c全为0”的假设为“a，b，c全不为0”．( × )
(3)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.( √ )
(4)若m＝a＋2b，n＝a＋b2＋1，则n≥m.( √ )
教材改编题
1．若a>b>1，x＝a＋eq \f(1,a)，y＝b＋eq \f(1,b)，则x与y的大小关系是( )
A．x>y B．xb>1，得ab>1，a－b>0，
所以eq \f(a－bab－1,ab)>0，
即x－y>0，所以x>y.
2．已知a，b∈R＋，a＋b＝2，则eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为( )
A．1 B．2
C．4 D．8
答案 B
解析 因为a，b∈R＋，且a＋b＝2，
所以eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)＝eq \f(1,2)·(a＋b)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,b)))
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(b,a)＋\f(a,b)))≥eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋2\r(\f(b,a)·\f(a,b))))＝2，
即eq \f(1,a)＋eq \f(1,b)的最小值为2(当且仅当a＝b＝1时，“＝”成立)．
3．函数f(x)＝3eq \r(x－5)＋eq \r(6－x)的最大值为________．
答案 eq \r(10)
解析 函数的定义域为[5,6]且f(x)>0，f(x)≤eq \r(32＋1)·eq \r(\r(x－5)2＋\r(6－x)2)＝eq \r(10)，
当且仅当3eq \r(6－x)＝eq \r(x－5)，即x＝eq \f(59,10)时取等号，
∴f(x)的最大值为eq \r(10).
题型一 综合法与分析法证明不等式
例1 已知f(x)＝|x＋1|＋|x－1|，不等式f(x)