高考数学第一轮复习第十二章 §12.2　参数方程

这是一份高考数学第一轮复习第十二章 §12.2　参数方程，共11页。试卷主要包含了了解参数方程，了解参数的意义，))等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．参数方程和普通方程的互化
(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．
(2)一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt，))并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么此方程就叫做这条曲线的参数方程．
2．常见曲线的参数方程和普通方程
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝ft，,y＝gt))中的x，y都是参数t的函数．( √ )
(2)方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝1＋2sin θ))(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆．( √ )
(3)已知椭圆的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs t，,y＝4sin t))(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝eq \f(π,3)，点O为原点，则直线OM的斜率为eq \r(3).( × )
(4)参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝5sin θ))(θ为参数且θ∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2))))表示的曲线为椭圆．( × )
教材改编题
1．将参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋sin2θ，,y＝sin2θ))(θ为参数)化为普通方程为( )
A．y＝x－2
B．y＝x＋2
C．y＝x－2(2≤x≤3)
D．y＝x＋2(0≤y≤1)
答案 C
解析 代入法，将方程化为y＝x－2，但x∈[2,3]，y∈[0,1]．
2．曲线eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs θ，,y＝2＋sin θ))(θ为参数)的对称中心( )
A．在直线y＝2x上
B．在直线y＝－2x上
C．在直线y＝x－1上
D．在直线y＝x＋1上
答案 B
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－1＋cs θ，,y＝2＋sin θ))得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝x＋1，,sin θ＝y－2.))
所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.
曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，
所以对称中心坐标为(－1,2)，在直线y＝－2x上．
3．已知直线l的参数方程是eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，若l与圆x2＋y2－4x＋3＝0交于A，B两点，且|AB|＝eq \r(3)，则直线l的斜率为________．
答案 ±eq \f(\r(15),15)
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)，
得y＝xtan α，
设k＝tan α，得直线的方程为y＝kx，
由x2＋y2－4x＋3＝0，得(x－2)2＋y2＝1，圆心坐标为(2,0)，半径为1，
∴圆心到直线y＝kx的距离为
eq \r(12－\f(|AB|2,4))＝eq \f(1,2)＝eq \f(|2k|,\r(k2＋1))，
得k＝±eq \f(\r(15),15).
题型一 参数方程与普通方程的互化
例1 (2021·全国乙卷)在直角坐标系xOy中，⊙C的圆心为C(2,1)，半径为1.
(1)写出⊙C的一个参数方程；
(2)过点F(4,1)作⊙C的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
解 (1)因为⊙C的圆心为(2,1)，半径为1，所以⊙C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2＋cs θ，,y＝1＋sin θ))(θ为参数)．
(2)当直线斜率不存在时，直线方程为x＝4，此时圆心到直线距离为2>r，舍去；
当直线斜率存在时，设切线为y＝k(x－4)＋1，即kx－y－4k＋1＝0，
故eq \f(|2k－1－4k＋1|,\r(1＋k2))＝1，即|2k|＝eq \r(1＋k2)，
4k2＝1＋k2，解得k＝±eq \f(\r(3),3).
故直线方程为y＝eq \f(\r(3),3)(x－4)＋1或y＝－eq \f(\r(3),3)(x－4)＋1.
故两条切线的极坐标方程为
ρsin θ＝eq \f(\r(3),3)ρcs θ－eq \f(4\r(3),3)＋1或
ρsin θ＝－eq \f(\r(3),3)ρcs θ＋eq \f(4\r(3),3)＋1.
即ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(5π,6)))＝2－eq \f(\r(3),2)或ρsineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝2＋eq \f(\r(3),2).
教师备选
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－\r(5)＋\f(\r(2),2)t，,y＝\r(5)＋\f(\r(2),2)t))(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝
4cs θ.
(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．
解 (1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，
即(x－2)2＋y2＝4.
直线l的普通方程为x－y＋2eq \r(5)＝0.
(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的eq \f(1,2)，
得(2x－2)2＋y2＝4，
即(x－1)2＋eq \f(y2,4)＝1，
再将所得曲线向左平移1个单位长度，
得曲线C1：x2＋eq \f(y2,4)＝1，
则曲线C1的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝cs θ，,y＝2sin θ))(θ为参数)．
设曲线C1上任一点P(cs θ，2sin θ)，
则点P到直线l的距离
d＝eq \f(|cs θ－2sin θ＋2\r(5)|,\r(2))
＝eq \f(|2\r(5)－\r(5)sinθ＋φ|,\r(2))，
其中φ满足sin φ＝－eq \f(\r(5),5)，cs φ＝eq \f(2\r(5),5)，
由三角函数知，
当sin(θ＋φ)＝1时，d取最小值eq \f(\r(10),2)，
所以点P到直线l的距离的最小值为eq \f(\r(10),2).
思维升华 消去方程中的参数一般有三种方法
(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数．
(2)利用三角恒等式消去参数．
(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活地选用一些方法从整体上消去参数．
跟踪训练1 已知直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝a－2t，,y＝－4t))(t为参数)，圆C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)．
(1)求直线l和圆C的普通方程；
(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．
解 (1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，
圆C的普通方程为x2＋y2＝16.
(2)因为直线l与圆C有公共点，
故圆C的圆心到直线l的距离d＝eq \f(|－2a|,\r(5))≤4，
解得－2eq \r(5)≤a≤2eq \r(5).
即实数a的取值范围为[－2eq \r(5)，2eq \r(5) ]．
题型二 参数方程的应用
例2 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)，直线l的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs α，,y＝2＋tsin α))(t为参数)．
(1)求C和l的直角坐标方程；
(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．
解 (1)由曲线C的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2cs θ，,y＝4sin θ))(θ为参数)，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(cs θ＝\f(x,2)，,sin θ＝\f(y,4)，))
所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(y,4)))2＝1，即eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1，
所以曲线C的直角坐标方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1.
当cs α≠0时，l的直角坐标方程为y＝tan α·x＋2－tan α，
当cs α＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.
(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程，
整理得关于t的方程(1＋3cs2α)t2＋4(2cs α＋sin α)t－8＝0.①
因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，
所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.
又由①得t1＋t2＝－eq \f(42cs α＋sin α,1＋3cs2α)，
故2cs α＋sin α＝0，
于是直线l的斜率k＝tan α＝－2.
教师备选
(2022·安阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，直线l过点M(1,0)且倾斜角为α.
(1)求出直线l的参数方程和曲线C的普通方程；
(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，且eq \f(|MA|·|MB|,||MA|－|MB||)＝eq \f(\r(3),3)，求cs α的值．
解 (1)曲线C的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝\r(2)cs θ，,y＝sin θ))(θ为参数)，转换为普通方程为eq \f(x2,2)＋y2＝1；
直线l过点M(1,0)且倾斜角为α，则参数方程为eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)．
(2)把直线l的参数方程eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝1＋tcs α，,y＝tsin α))(t为参数)代入eq \f(x2,2)＋y2＝1.
得到(1＋sin2α)t2＋2tcs α－1＝0，
所以t1＋t2＝－eq \f(2cs α,1＋sin2α)，
t1t2＝－eq \f(1,1＋sin2α)(t1和t2分别为A和B对应的参数)，
t1t2