重难点02 五种导数及其应用中的数学思想（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

重难点02五种导数及其应用中的数学思想（核心考点讲与练）

题型一：函数与方程思想

一、单选题

1．（2022·广西柳州·三模（理））若曲线在点处的切线方程为，则的最大值为（       ）

A． B．1 C． D．

2．（2022·浙江·宁波市鄞州高级中学高三开学考试）已知实数， 函数， 满足， 则的最大值为（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

3．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，我们把横纵坐标相等的点称之为“完美点”，下列函数的图象中存在完美点的是（       ）

A．y=﹣2x B．y=x﹣6 C．y= D．y=x2﹣3x+4

三、双空题

4．（2022·云南师大附中高三阶段练习（文））如图，某城市公园内有一矩形空地，，，现规划在边上分别取点E，F，G，且满足，在△内建造喷泉瀑布，在△内种植花卉，其余区域铺设草坪，并修建栈道作为观光路线（不考虑宽度），则当______时，栈道最短，此时_______．

四、解答题

5．（2021·全国·模拟预测）．

（Ⅰ）若函数在定义域内有两个极值点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若函数有三个不相同的零点，求证：．

6．（2021·河南平顶山·高三阶段练习（理））已知函数在处的切线与直线平行

（1）求实数的值，并求的极值；

（2）若方程有两个不相等的实根，，求证：.

7．（2022·全国·高三专题练习）某地打算修建一条公路，但设计路线正好经过一个野生动物迁徙路线，为了保护野生动物，决定修建高架桥，为野生动物的迁徙提供安全通道.若高架桥的两端及两端的桥墩已建好，两端的桥墩相距1200米，余下的工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经预测，一个桥墩的工程费用为500万元，距离为x米的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为万元，假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其它因素，记余下工程的费用为y万元.

(1)试写出y关于x的函数关系式；

(2)需新建多少个桥墩才能使y最小？并求出其最小值.参考数据：，

题型二：数形结合思想

一、单选题

1．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，已知直线与曲线相切于两点，函数，则对函数描述正确的是（       ）

A．有极小值点，没有极大值点 B．有极大值点，没有极小值点

C．至少有两个极小值点和一个极大值点 D．至少有一个极小值点和两个极大值点

2．（2021·河南·西南大学附中高三期中（文））已知函数，若存在实数当时，满足则的取值范围为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·全国·高三专题练习）如图，函数的图象上任取一点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，过点作其切线，交于点，则的取值（       ）

A．与有关，且存在最大值 B．与有关，且存在最小值

C．与有关，但无最值 D．与无关，为定值

二、多选题

4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，下列说法正确的有（       ）

A．函数是周期函数 B．函数有唯一零点

C．函数有无数个极值点 D．函数在上不是单调函数

三、双空题

5．（2022·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知函数，则方程的根为________．若函数有三个零点，则实数a的取值范围是________．

6．（2022·广东·金山中学高三阶段练习）已知函数则函数的最小值为________；若关于的方程有四个不同的实根，则实数的取值范围是________．

四、填空题

7．（2022·河南·模拟预测（理））已知函数，，若关于x的方程在区间上恰有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______.

题型三：分类与整合思想

一、多选题

1．（2022·重庆南开中学模拟预测）已知函数，其中常数，，则下列说法正确的有（       ）

A．函数的定义域为

B．当，时，函数有两个极值点

C．不存在实数和m，使得函数恰好只有一个极值点

D．若，则“”是“函数是增函数”的充分不必要条件

二、解答题

2．（2022·四川南充·三模（理））已知函数．

(1)讨论的单调性；

(2)当时，，若，求证：对于任意，函数有唯一零点．

3．（2022·云南·二模（文））已知e是自然对数的底数，，常数a是实数.

(1)设，求曲线在点处的切线方程；

(2)，都有，求a的取值范围.

4．（2022·湖南师大附中二模）已知函数.

(1)若，比较与的大小；

(2)讨论函数的零点个数.

5．（2022·河北唐山·二模）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线l．

(1)求b的值以及l的方程；

(2)判断函数在上零点的个数，并说明理由．

6．（2022·湖北·武汉市武钢三中高三阶段练习）已知函数

(1)讨论的单调性；

(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数．

(1)若存在唯一极值点，且极值为0，求a的值；

(2)讨论函数在区间上的零点个数．

【答案】(1)

(2)当或时，在上无零点；

当或时，在上有1个零点；

当时，在上有2个零点．

题型四：转化与划归思想

一、单选题

1．（2022·广西南宁·二模（理））设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（       ）．

A．7 B．9 C．11 D．12

2．（2022·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知不等式恰有2个整数解，求实数k的取值范围（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）若不等式对任意，恒成立，则实数m的取值范围是（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

4．（2022·广东广州·二模）我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为，其中m，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

5．（2022·江苏·高三阶段练习）若正整数只有1为公约数，则称互质.对于正整数，是小于或等于的正整数中与互质的数的个数，函数以其首名研究者欧拉命名，称为欧拉函数，例如：，，，则（     ）

A．数列为等比数列 B．数列单调递增

C． D．数列的前项和为，则.

三、填空题

6．（2022·全国·高三专题练习）已知，则__________．

7．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，若关于x的不等式在上恒成立，则实数的取值集合是_________．

四、解答题

8．（2022·山西晋中·模拟预测（理））已知函数（其中为自然对数的底数）.

(1)当时，讨论函数的单调性；

(2)若为函数的极大值点，求实数的取值范围.

9．（2022·江西·临川一中高三期中（文））设m为实数，函数.

(1)当时，求函数的单调区间；

(2)若方程有两个实数根，证明：.（注：是自然对数的底数）

10．（2022·广东·高三阶段练习）若，且直线与曲线相切.

(1)求的值；

(2)证明：当，不等式对于恒成立.

题型五：特殊与一般思想

一、单选题

1．（2020·全国·高三专题练习（文））若曲线在处的切线也是的切线，则（       ）

A．-1 B．-2

C．2 D．

2．（2020·全国·高三专题练习）已知，则下列结论中错误的是

A．，，

B．，，

C．，，

D．，，

3．（2020·全国·高三专题练习（理））已知函数，其导函数记为，则的值为（       ）

A．2 B．1 C．0 D．−2

二、填空题

4．（2020·全国·高三专题练习）有如下结论：若无穷等比数列的公比满足，则它的各项和．已知函数，则的图象与轴围成的所有图形的面积之和为__．