重难点05 五种数列通项求法（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考专用）

重难点05五种数列通项求法（核心考点讲与练）

题型一：公式法求数列通项

一、单选题

1．（2022·北京·二模）已知为等差数列，首项，公差，若，则（       ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2022·河南·方城第一高级中学模拟预测（文））已知为公差不为0的等差数列的前n项和.若，，，成等比数列，则（       ）

A．11 B．13 C．23 D．24

3．（2022·陕西西安·三模（理））“中国剩余定理”又称“孙子定理”，可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下中的“物不知数”问题，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？现有一个相关的问题：将1到2022这2022个自然数中被3除余2且被5除余4的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列14，29，44，…，则该数列的项数为（       ）

A．132 B．133 C．134 D．135

4．（2022·新疆·三模（文））已知数列是以1为首项，3为公差的等差数列，是以1为首项，3为公比的等比数列，设，，当时，n的最大值为（       ）

A．4 B．5 C．6 D．7

5．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知数列的前项和满足．若存在，使得，则实数的取值范围是（       ）

A． B．

C． D．

二、多选题

6．（2021·广东·高三阶段练习）已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a3＋S5＝－18，a6＝－a3，则（       ）

A．an＝2n－9 B．an＝2n－7

C．Sn＝n2－8n D．Sn＝n2－6n

7．（2022·全国·高三专题练习）我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：“今有良马和驽马发长安至齐，良马初日行一百九十三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里.良马先至齐，复还迎驽马，九日后二马相逢.”其大意为今有良马和驽马从长安出发到齐国，良马第一天走193里，以后每天比前一天多走13里；驽马第一天走97里，以后每天比前一天少走里.良马先到齐国，再返回迎接驽马，9天后两马相遇.下列结论正确的是（       ）

A．长安与齐国两地相距1530里

B．3天后，两马之间的距离为里

C．良马从第6天开始返回迎接驽马

D．8天后，两马之间的距离为里

8．（2021·福建师大附中高三期中）各项均为正数的等比数列的前项积为，若，公比，则下列命题正确的是（       ）

A．若，则必有 B．若，则必有是中最大的项

C．若，则必有 D．若，则必有

9．（2021·江苏南通·高三期中）在数列中，已知是首项为1，公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，其中，则下列说法正确的是（       ）

A．当时， B．若，则

C．若，则 D．当时，

三、填空题

10．（2022·河南洛阳·三模（文））设各项为正数的等比数列的前项和为，且，，则___________.

11．（2022·江西景德镇·三模（文））已知数列和正项数列，其中，且满足，数列满足，其中.对于某个给定或的值，则下列结论中：①；②；③数列单调递减；④数列单调递增.其中正确命题的序号为___________.

四、解答题

12．（2022·河北保定·二模）已知公差为2的等差数列的前n项和为，且.

(1)求的通项公式.

(2)若，数列的前n项和为，证明.

13．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知等差数列的前n项和为，，.

(1)求的通项公式；

(2)设，数列的前n项和为，证明：当，时，.

14．（2022·陕西·西安中学模拟预测（文））记为等比数列的前项和，且公比，已知，．

(1)求的通项公式；

(2)设，若是递增数列，求实数的取值范围．

15．（2022·山东临沂·模拟预测）等比数列中，，，分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且，，中的任何两个数不在下表的同一列．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足：，求数列的前项和．

题型二：Sn和an关系法求数列通项

一、单选题

1．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（理））已知等比数列的公比为q，前n项和为．若，，则（       ）

A．3 B．2 C． D．

2．（2022·福建三明·模拟预测）已知数列的前n项和为，若，且，则（       ）

A．-8 B．-3 C．-2 D．8

3．（2022·四川·内江市教育科学研究所三模（文））设为数列的前项和.若，则“”是“”的（       ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

二、多选题4．（2022·山东临沂·模拟预测）设数列的前项和为，已知．数列满足，则（       ）

A．

B．

C．数列的前项和

D．数列的前项和

5．（2022·江苏江苏·三模）已知各项都是正数的数列的前项和为，且，则（       ）

A．是等差数列 B．

C． D．

三、填空题

6．（2022·辽宁·二模）若数列的前n项和，则其通项公式为_______．

7．（2022·安徽·模拟预测（理））已知数列满足，则___________.

8．（2022·山东淄博·模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，，，则______．

9．（2022·四川绵阳·三模（理））已知数列的前n项和为，若，，则______．

四、解答题

10．（2022·福建泉州·模拟预测）记数列{}的前n项和为.已知，___________.

从①；②；③中选出一个能确定{}的条件，

补充到上面横线处，并解答下面的问题.

(1)求{}的通项公式：

(2)求数列{}的前20项和.

11．（2022·湖南·长沙一中一模）已知数列的前n项和为，，．

(1)证明：数列为等比数列；

(2)在和中插入k个数构成一个新数列：，，，，，，，，，，…，其中插入的所有数依次构成数列，通项公式．求数列的前30项和．

12．（2022·广东·三模）已知数列{}的前n项和，，，.

(1)计算的值，求{}的通项公式；

(2)设，求数列{}的前n项和.

13．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））从①，②，这两个条件中选择一个补充到下面问题中，并完成解答．

问题：已知数列的前n项和为，且______，为等差数列，，，，成等差数列．

(1)写出所选条件的序号，并求数列、的通项公式；

(2)若，求数列的前n项和．

14．（2022·湖南师大附中二模）已知数列的前n项和为，.

(1)求数列的通项公式；(2)若，则在数列中是否存在连续的两项，使得它们与后面的某一项依原来顺序构成等差数列？若存在，请举例写出此三项；若不存在，请说明理由.

题型三：累加法求数列通项

一、单选题

1．（2022·陕西·模拟预测（理））已知数列满足，，且，则（       ）

A．6065 B．6064 C．4044 D．4043

2．（2022·江西赣州·二模（理））已知数列{}满足，当n为奇数时，当n为偶数时，则时，（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·黑龙江·哈九中三模（理））南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列，如数列1，3，6，10，前后两项之差得到新数列2，3，4，新数列2，3，4为等差数列，这样的数列称为二阶等差数列．对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”．现有高阶等差数列，其前7项分别为3，4，6，9，13，18，24，则该数列的第17项为（       ）

A．139 B．160 C．174 D．188

二、多选题

4．（2022·福建宁德·模拟预测）数列{}中，设.若存在最大值，则可以是（       ）

A． B．

C． D．

5．（2022·山东日照·二模）已知数列满足，，则下列说法正确的有（       ）

A． B．

C．若，则 D．

6．（2022·重庆·二模）设数列的前n项和为，已知，且，则下列结论正确的是（       ）

A．是等比数列 B．是等比数列

C． D．

三、填空题

7．（2022·安徽·巢湖市第一中学高三期中（文））已知首项为1的数列的前n项和为，正项等比数列满足，，若，且在数列中，仅有5项不小于实数，则实数的取值范围为___________.

8．（2022·安徽滁州·二模（文））已知数列满足：，设，．则__________．

四、解答题

9．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知数列满足，且．

(1)求数列的通项公式；

(2)若数列满足，求数列的前项和．

10．（2022·广东茂名·二模）已知数列满足，，．

(1)证明：数列是等比数列；

(2)若，求数列的前项和．

11．（2022·全国·模拟预测）已知数列满足，.

(1)求的通项公式；

(2)若，求的前n项和.

12．（2022·全国·模拟预测）若无穷数列满足是公差为k的等差数列，则称为数列.

(1)若为数列，，，求数列的通项公式；

(2)数列的前n项和为，，，为数列，求证：.

题型四：累乘法求数列通项

一、单选题

1．（2022·河南·模拟预测（理））已知数列中，，，则满足的n的最大值为（       ）

A．3 B．5 C．7 D．9

2．（2022·浙江省义乌中学模拟预测）已知数列满足，则下列有可能成立的是（       ）

A．若为等比数列，则

B．若为递增的等差数列，则

C．若为等比数列，则

D．若为递增的等差数列，则

二、多选题

3．（2022·湖南·长郡中学高三阶段练习）已知数列满足，，令，则（       ）

A． B．数列是等差数列

C．为整数 D．数列的前2022项和为4044

4．（2020·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，，若存在正整数，，使得等式成立，则下列结论正确的有

A． B．

C． D．

三、填空题

5．（2022·山西太原·二模（文））已知数列的首项为1，前n项和为，且，则数列的通项公式___________.

6．（2022·全国·高三专题练习）数列中，若，，则___________.

7．（2022·全国·高三专题练习）数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，满足a1=2，，且.若对任意 ，恒成立，则实数的最大值为___________.

四、解答题

8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）设等差数列的各项为正数，其前n项和为，且构成等比数列．

(1)求及；

(2)若数列满足，，求证：．

9．（2022·浙江杭州·二模）已知数列满足，.

(1)若且.

（ⅰ）当成等差数列时，求k的值；

（ⅱ）当且，时，求及的通项公式.

(2)若，，，.设是的前n项之和，求的最大值.

10．（2022·全国·模拟预测（理））已知数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)设数列的前n项和为，若，则正整数n的最小值．

题型五：构造法求数列通项

一、单选题

1．（2022·河南洛阳·三模（文））若数列和满足，，，，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·河南商丘·三模（理））高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用他的名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数．已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（       ）

A．249 B．499 C．749 D．999

3．（2022·江苏·涟水县第一中学高三期中）定义：在数列中，若满足为常数），称为“等差比数列”，已知在“等差比数列”中，，则等于（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·安徽黄山·二模（理））已知数列满足，设的前项和为，则的值为（       ）

A． B． C．2 D．1

二、多选题

5．（2022·福建·三模）已知是直角三角形，是直角，内角、、所对的边分别为、、，面积为，若，，，，则（       ）

A．是递增数列 B．是递减数列

C．存在最大项 D．存在最小项

6．（2021·辽宁·高三阶段练习）如图所示，，，…，，…，是函数C：上的点，，，…，，…是x轴正半轴上的点，且，，…，，…，均为等腰直角三角形（为坐标原点）．（       ）

A．

B．，，（）

C．

D．

7．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，，则（       ）

A．是等比数列 B．

C．是等比数列 D．

8．（2022·全国·高三专题练习）已知数列满足，，前n项和为，则下列选项中正确的是（       ）（参考数据：，）

A． B．

C． D．是单调递增数列，是单调递减数列

三、填空题

9．（2022·湖北·宜城市第一中学高三阶段练习）五名运动员、、、、相互传球．每个人在接到球后随机传给其他四人中的一人．设首先由开始进行第次传球，那么恰好在第次传球把球传回到手中的概率是______（用最简分数表示）．

10．（2022·辽宁抚顺·一模）设数列的前n项和为，且，若，则k的值为________.

11．（2022·四川宜宾·二模（理））在数列中，，，且满足，则___________.

四、解答题

12．（2022·陕西西安·三模（理））设公差不为零的等差数列的前项和为，，，，成等比数列，数列满足，．

(1)求数列和的通项公式；

(2)求的值．

13．（2022·山东·德州市教育科学研究院二模）已知数列{}的首项，且满足．

(1)证明是等比数列，并求数列的通项公式；

(2)记，求{}的前n项和．

14．（2022·全国·模拟预测（理））设数列满足，．

(1)求证：为等比数列，并求的通项公式；

(2)若，求数列的前项和．

15．（2022·全国·模拟预测（文））已知数列满足．

(1)求数列的通项公式；

(2)当时，求数列的前n项和为．

16．（2022·重庆·模拟预测）为有效防控新冠疫情从境外输入，中国民航局根据相关法律宣布从2020年6月8日起实施航班熔断机制，即航空公司同一航线航班，入境后核酸检测结果为阳性的旅客人数达到一定数量的民航局对其发出“熔断”指令，暂停该公司该航线的运行（达到5个暂停运行1周，达到10个暂停运行4周），并规定“熔断期”的航班量不得调整用于其他航

线，“熔断期”结束后，航空公司方可恢复每周1班航班计划.已知某国际航空公司A航线计划每周有一次航班入境，该航线第一次航班被熔断的概率是，且被熔断的一次航班的下一次航班也被熔断的概率是，未被熔断的一次航班的下一次航班也未被熔断的概率是.一条航线处于“熔断期”的原计划航班不记入该航线的航班次数，记该航空公司A航线的第n次航班被熔断的概率为.

(1)求；

(2)证明：为等比数列；

(3)求数列的前项和，并说明的实际意义.