初中数学第1章 一元二次方程1.1 一元二次方程精品练习题

第1章 一元二次方程（A卷）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．下列方程中，属于一元二次方程的是(    )

A． B．

C． D．

2．若关于x的方程（a﹣2）x2+x﹣3＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　）

A．a≠0 B．a≠2 C．a＞2 D．a＜2

3．下列方程是一元二次方程的是（    ）

A．2x-3=0 B．2x-y=0 C． D．

4．在下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）

A． B． C． D．

5．已知x＝2是一元二次方程的一个解，则m的值是（    ）

A．6 B．－6 C．0 D．0或－6

6．已知是方程的一个根，则a的值为（   ）

A．1 B．-1 C． D．

7．若关于的一元二次方程有一个解为，则的值是（    ）

A．1 B．3 C．－3 D．4

8．若关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（    ）

A．1 B． C．1或 D．

9．方程的解是（    ）

A． B． C． D．

10．把一元二次方程配方后，下列变形正确的是（    ）

A． B． C． D．

11．方程根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根名

C．没有实数根 D．无法判断

12．若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（      ）

A． B． C．且 D．

13．关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

14．一元二次方程x2－3x－2＝0的根的判别式的值为（  ）

A．17 B．1 C．－1 D．－17

15．已知a，b是方程的两个实数根，则的值是（    ）

A．2024 B．2023 C．2022 D．2021

16．已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ）

A． B．0 C． D．

17．下列一元二次方程中，两实根之和为的是（      ）

A． B．

C． D．

18．已知的两个根为、，则的值为（    ）

A．-2 B．2 C．-5 D．5

19．按照指定方法解下列方程：

(1)（公式法）；

(2)（配方法）；

(3)（因式分解法）．

20．解一元二次方程：

(1)x2﹣2x﹣4＝0；

(2)（x﹣5）（x+2）＝8．

21．用一段长为30m的篱笆围成一个靠墙的矩形菜园，墙的长度为18m．

(1)设垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为 m（用含x的代数式表示）；

(2)若菜园的面积为100m2，求x的值．

22．直播带货逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上销售一批小商品，平均每天可卖出20件，每件盈利30元．通过市场调查发现，在一定范围内，小商品单价每降低1元，平均每天销售量增加2件．商家预期日利润为750元，决定降价促销，小商品的单价应降低多少元？

23．百货大楼童装专柜平均每天可售出30件童装，每件盈利40元，为了迎接“周年庆”促销活动，商场决定采取适当的降价措施．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出3件．要使平均每天销售这种童装盈利1800元，那么每件童装应降价多少元？

24．某校举办了“冰雪运动进校园”活动，计划在校园一块矩形的空地上铺设两块完全相同的矩形冰场．如下图所示，已知空地长27m，宽12m，矩形冰场的长与宽的比为4：3，如果要使冰场的面积是原空地面积的，并且预留的上、下通道的宽度相等，左、中、右通道的宽度相等，那么预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是多少米？

参考答案：

1．B

【分析】直接根据一元二次方程的定义进行判断即可．

【详解】解：A．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意；

B．方程中只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程，是一元二次方程．该选项符合题意．

C．方程中含有两个未知数，不是一元二次方程，故该项不符合题意；

D．方程不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是次的整式方程是一元二次方程．

2．B

【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答．

【详解】解：∵方程（a﹣2）x2+x﹣3＝0是一元二次方程，

∴a-2≠0，即a≠2，

故选：B．

【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题的关键．

3．D

【分析】根据一元二次方程的定义逐项分析即可，一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

【详解】解：A. ，是一元一次方程，不符合题意，

B. ，是二元一次方程，不符合题意，

C. ，当时，是一元二次方程，不符合题意，    

D. ，是一元二次方程，符合题意，

故选：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

4．D

【分析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．

【详解】A、为一元一次方程，不符合题意；

B、是分式方程，不是整式方程， 不符合题意；

C、为二元一次方程，不符合题意；

D、为一元二次方程，符合题意；

故选D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解答本题的关键是理解掌握一元二次方程的定义：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．

5．B

【分析】由2是一元二次方程x2 +x+ m = 0的一个解，将x= 2代入方程得到关于m的方程，求出方程的解，即可得到m的值．

【详解】解：∵2是一元二次方程x2+x+m=0的一个解，

∴将x = 2代入方程得： 4+ 2+m= 0，

解得： m= -6．

故选：B．

【点睛】此题考查了一元二次方程的解，以及一元二次方程的解法，方程的解，即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

6．C

【分析】将代入方程即可解出．

【详解】将代入可得

解得a=3，

故答案为C．

【点睛】本题考查了一元二次方程，将一个根代入得到关于a的方程是本题的关键．

7．C

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=-1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一元一次方程即可．

【详解】解：把x=-1代入x2-2x+m=0得1+2+m=0，

解得m=-3．

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

8．C

【分析】将代入中，求出的值，再根据，即可确定的值．

【详解】将代入中

解得

∵这是关于的一元二次方程

∴

解得

故

故答案为：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握一元二次方程解得定义、一元二次方程的定义是解题的关键．

9．B

【分析】令每个因式都为零，即可得出答案．

【详解】解：，

可得x＋1＝0或x－3＝0，

解得，，

故选B．

【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法、公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．本题运用的是因式分解法．

10．C

【分析】掌握配方法解一元二次方程即可得出答案．

【详解】，

，

，

故选C．

【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，准确掌握方法是本题的关键．

11．C

【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．

【详解】原方程变形为，，

即，

则，，，

即；

故原方程没有实数根．

故选C．

【点睛】本题考查一元二次方程根的判别式，解决本题的关键是找准方程的各系数．

12．A

【分析】先根据一元二次方程的定义可得，再利用一元二次方程根的判别式可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可得．

【详解】解：方程是关于的一元二次方程，

，

解得，

又关于的一元二次方程没有实数根，

此方程根的判别式，

解得，

综上，实数的取值范围是，

故选：A．

【点睛】本题考查了一元二次方程的定义、以及根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．

13．A

【分析】由方程没有实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出结论．

【详解】解：∵一元二次方程没有实数根，

∴，

解得．

故选：A．

【点睛】本题考查了根的判别式，注意记住一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1）>0方程有两个不相等的实数根；（2）=0方程有两个相等的实数根；（3）<0方程没有实数根．

14．A

【分析】找出方程a，b，c的值，代入b2-4ac中计算即可．

【详解】解：一元二次方程x2-3x-2=0，

∵a=1，b=-3，c=-2，

∴Δ=b2-4ac=（-3）2-4×1×（-2）=9+8=17．

故选：A．

【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac＜0时，方程没有实数根；当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，反之也成立．

15．D

【分析】根据根与系数关系定理,确定a+b的值，代入计算即可．

【详解】∵a，b是方程的两个实数根，

∴a+b= -1，

∴=2022-1=2021，

故选D．

【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．

16．B

【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得，，再代入通分计算即可求解．

【详解】∵方程的两根分别为、，

∴，，

∴，

∴=

=

=

=

故选：B．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义及根与系数的关系，熟练运用一元二次方程解的定义及根与系数的关系是解决问题的关键．

17．C

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，即可一一判定．

【详解】解：A.方程有实数根，两根之和为4，故该选项不符合题意；

B.方程有实数根，两根之和为-2，故该选项不符合题意；

C.方程有实数根，两根之和为-4，故该选项符合题意；

D. 方程没有实数根，故该选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及根的判别式，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系及根的判别式是解决本题的关键．

18．B

【分析】直接运用一元二次方程根与系数的关系求解即可．

【详解】解：∵的两个根为、，

∴

故选：B

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，若、为一元二次方程的两个实数根，则有，．

19．(1)，

(2)，

(3)，

【分析】（1）根据公式法解一元二次方程；

（2）根据配方法解一元二次方程；

（3）根据因式分解法解一元二次方程．

【详解】（1）解：，

，

，

，

，；

（2）解：方程整理得：，

配方得：，即，

开方得：，

解得：，；

（3）解：方程整理得：，

分解因式得：，

可得或，

解得：，．

【点睛】本题主要考查解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

20．(1)

(2)

【分析】（1）利用配方解答，即可求解；

（2）利用因式分解解答，即可求解．

【详解】（1）解：

∴，即，

解得：，

∴；

（2）解：，

整理得：，

∴，

即，

解得：

【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法——直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法是解题的关键．

21．(1)（30－2x）

(2)10

【分析】（1）根据图形直接可得答案；

（2）由矩形面积公式列方程即可解得答案．

【详解】（1）解：设垂直于墙的一边长为xm，

由图可得：平行于墙的一边长为（30−2x）m，

故答案为：30−2x；

（2）解：根据题意得：x（30−2x）＝100，

∴x2−15x＋50＝0，因式分解得，解得x＝5或x＝10，

当x＝5时，30−2x＝20>18；当x＝10时，30−2x＝10<18；

∴x＝5不合题意，舍去，即x＝10，

答：x的值为10m．

【点睛】本题考查根据题意列代数式及一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意、数形结合列出相应代数式及方程．

22．5元或15元

【分析】设小商品的单价应降低x元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为 件，利用总利润=每件的销售利润×每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，从而可得答案.

【详解】解：设小商品的单价应降低x元，

依题意，得，

整理得：，

解得，

答：小商品的单价应降低5元或15元

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程.

23．10元或20元

【分析】设每件童装应降价x元，根据题意列出一元二次方程，解方程求解即可

【详解】解：设每件童装应降价x元

根据题意，得

解这个方程，得

答：每件童装应降价10元或20元．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

24．：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．

【分析】设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据冰场的面积是原空地面积的列出方程，解方程后再求通道的宽度即可．

【详解】解：设矩形冰场的长与宽分别为4x米、3x米，根据题意列方程得，

，

解得，，（舍去），

则上、下通道的宽度为（米），左、中、右通道的宽度（米），

答：预留的上、下通道的宽度和左、中、右通道的宽度分别是1.5米和1米．

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是准确把握题目中的数量关系，列出方程求解．