2023-2024学年北京市人大附中九年级上学期限时训练数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市人大附中九年级上学期限时训练数学试卷（10月份）（含解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年北京市人大附中九年级（上）限时训练数学试卷（10月份）
一、选择题（共24分，每题3分）
1．（3分）一元二次方程3x2﹣6x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（　　）
A．3，6，4 B．3，﹣6，4 C．3，6，﹣4 D．3，﹣6，﹣4
2．（3分）将抛物线y＝﹣x2+1向上平移2个单位，得到的抛物线表达式为（　　）
A．y＝﹣（x+2）2 B．y＝﹣（x﹣2）2 C．y＝﹣x2﹣1 D．y＝﹣x2+3
3．（3分）下列四幅图案中，可以由如图的一笔画“天鹅”旋转180°得到的图案是（　　）

A． B． C． D．
4．（3分）如图，BD是△ABC的中线，E，F分别是BD，BC的中点，连接EF．若AD＝4，则EF的长为（　　）

A． B．2 C． D．4
5．（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，变形后的结果正确的是（　　）
A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5
6．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的x与y的部分对应值如下表：
x
﹣1
0
1
2
3
4
y
m
2
1
2
5
10
则m的值为（　　）
A．1 B．2 C．5 D．10
7．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝135°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，连接AD．当点A，D，E同一条直线上时，下列结论不正确的是（　　）

A．△ABC≌△DEC B．∠ADC＝45° C．AD＝AC D．AE＝AB+CD
8．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴直线x＝﹣2．抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）
①4a﹣b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（共12分，每题2分）
9．（2分）若1是关于x的方程x2﹣ax＝0的根，则a的值为 　 　．
10．（2分）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则ac　 　0（填“＞”或“＝”或“＜”）．

11．（2分）如图，等边△ABC绕顶点A逆时针旋转80°得到△ADE，连接BE，则∠ABE=　 　°．

12．（2分）若关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，则k的值为 　 　．
13．（2分）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为 　 　．

14．（2分）点A（2，y1），B（a，y2）在二次函数y＝x2﹣2x+3的图象上．若y1＜y2，写出一个符合条件的a的值 　 　．
三、解答题（本题共64分，第15题8分，16-18题每题5分，19-21每题6分，第22题4分，第23、24每题6分,25题7分)
15．（8分）解方程：
（1）4x2＝9；
（2）x2﹣6x+8＝0．
16．（5分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点A与点D对应，点B与点E对应．
（1）依题意补全图形；
（2）直线AB与直线DE的位置关系为 　 　．

17．（5分）已知m是方程x2+2x﹣4＝0的一个根，求代数式（m+2）2+（m+3）（m﹣3）的值．
18．（5分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B=20°，将△ABC绕点A顺时针旋转25°得到△ADE，AD交BC于点F．若AE＝3，求AF的长．

19．（6分）已知二次函数y＝x2+bx+c的图象过点A（0，3），B（1，0）．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个函数的图象；
（3）结合图象，直接写出不等式x2+bx+c＜0的解集．

20．（6分）已知关于x的一元二次方程x2+（m﹣6）x﹣6m＝0．
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若该方程有一个实数根小于2，求m的取值范围．
21．（6分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为△ABC的中线．BE∥DC，BE＝DC，连接CE．
（1）求证：四边形BDCE为菱形；
（2）连接DE，若∠ACB＝60°，BC＝4，求DE的长．

22．（4分）探照灯的内部可以看成是抛物线的一部分经过旋转得到的抛物曲面，其原理是过某一特殊点的光线，经抛物线反射后所得的光线平行于抛物线的对称轴，我们称这个特殊点为抛物线的焦点．若抛物线的表达式为y=ax2，则抛物线的焦点为（0，）．
如图，在平面直角坐标系xOy中，某款探照灯抛物线的表达式为y＝，焦点为F．
（1）点F的坐标是 　 　；
（2）过点F的直线与抛物线交于A，B两点，已知沿射线FA方向射出的光线，AM所在直线与x轴的交点坐标为（4，0）．
①画出沿射线FB方向射出的光线的反射光线BP；
②BP所在直线与x轴的交点坐标为 　 　．

23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2﹣2mx+m2﹣2．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；
（2）已知点P（3，2）．
①当抛物线过点P时，求m的值；
②点Q的坐标为（m，1）．若抛物线与线段PQ恰有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．

24．（6分）在等边△ABC中，将线段CA绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜30°）得到线段CD，线段CD与线段AB交于点E，射线AD与射线CB交于点F．
（1）①依题意补全图形；
②分别求∠CEB和∠AFC的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段BE，CE，CF之间的数量关系，并证明

25．（7分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（a，b）．对于点P（x，y）给出如下定义：当x≠a时，若实数k满足|y﹣b|＝k|x﹣a|，则称k为点P关于点A的距离系数．若图形M上所有点关于点A的距离系数存在最小值，则称此最小值为图形M关于点A的距离系数．
（1）当点A与点O重合时，在P1（2，2），P2（﹣2，1），P3（﹣4，4）中，关于点A的距离系数为1的是 　 　；
（2）已知点B（﹣2，1），C（1，1），若线段BC关于点A（m，﹣1）的距离系数小于

，则m的取值范围为　 　；
（3）已知点A（4，0），T（0，t），其中2≤t≤4．以点T为对角线的交点作边长为2的正方形，正方形的各边均与某条坐标轴垂直．点D，E为该正方形上的动点，线段D，E的长度是一个定值（0＜DE＜2）．
①线段DE关于点A的距离系数的最小值为 　 　；
②若线段DE关于点A的距离系数的最大值是，则DE的长为 　 　．










2023-2024学年北京市人大附中九年级（上）限时训练数学试卷（10月份）
参考答案与试题解析
一、选择题（共24分，每题3分）
1．【答案】D
【解答】解：一元二次方程3x2﹣7x﹣4＝0的二次项系数、一次项系数，﹣6，
故选：D．
2．【答案】D
【解答】解：将抛物线y＝﹣x2+1向上平移4个单位，得到的抛物线表达式为y＝﹣x2+1+5＝﹣x2+3，
故选：D．
3．【答案】A
【解答】解：由如图的一笔画“天鹅”旋转180°得到的图案是选项A的“天鹅”．
故选：A．
4．【答案】B
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，AD＝4，
∴DC＝AD＝4，
∵E，F分别是BD，
∴EF是△BCD的中位线，
∴EF＝DC＝2，
故选：B．
5．【答案】B
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2＝3，
故选：B．
6．【答案】C
【解答】解：∵函数图象经过（0，2），2），
∴抛物线对称轴为直线x＝1，
∴点（3，8）和点（﹣1，
∴m＝5，
故选：C．
7．【答案】D
【解答】解：由旋转的性质得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝135°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC＝45°＝∠DAC，△ABC≌△DECAC，
∴AE＝AD+DE＝CD+AB，B，C正确，
故选：D．
8．【答案】C
【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣2，
∴5a﹣b＝0，所以①正确；
∵与x轴的一个交点在（﹣3，5）和（﹣4，
∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，8）之间，
∴x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，
即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞5，
∴c＞3a，所以②错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（﹣2，
∴抛物线与直线y＝6有两个交点，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝2有两个不相等实数根，所以③正确；
∵抛物线的顶点坐标为（﹣8，3），
∴＞2，
∴2ac﹣b2＜8a，
∵7a﹣b＝0，
∴b＝4a，
∴3ac﹣b2＜2b，
∴b2+2b＞4ac，所以④正确；
故选：C．
二、填空题（共12分，每题2分）
9．【答案】1．
【解答】解：把x＝1代入方程x2﹣ax＝8，得1﹣a＝0，
解得a＝5．
故答案为：1．
10．【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0，
∴ac＜2．
故答案为＜．
11．【答案】20．
【解答】解：等边△ABC绕顶点A逆时针旋转80°得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE＝60°，AB＝AC＝AE，
∴∠BAE＝140°，
∴∠ABE＝∠AEB＝×（180°﹣140°）＝20°，
故答案为：20．
12．【答案】．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+x+k＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝13﹣4×1×k＝7﹣4k＝0，
解得：k＝，
故答案为：．
13．【答案】（18﹣x）（30﹣x）＝288．
【解答】解：设车道的宽为x米，则停车位总占地长为（30﹣x）米，
根据题意，得（18﹣x）（30﹣x）＝288．
故答案为：（18﹣x）（30﹣x）＝288．
14．【答案】3（答案不唯一）．
【解答】解：∵y＝x2﹣2x+8，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣，
∴点A（2，y1）关于直线x＝3的对称点为（0，y1），
∵点A（6，y1），B（a，y2）在二次函数y＝x3﹣2x+3的图象上．且y8＜y2，
∴a＞2或a＜5，
故a的值可以是3，
故答案为：3（答案不唯一）．
三、解答题（本题共64分，第15题8分，16-18题每题5分，19-21每题6分，第22题4分，第23、24每题6分,25题7分)
15．【答案】（1），；
（2）x1＝2，x2＝4．
【解答】解：（1）4x2＝5，
，
，
即，；

（2）x2﹣6x+8＝0，
（x﹣2）（x﹣4）＝0，
x﹣2＝0或x﹣4＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
16．【答案】（1）见解答．
（2）AB⊥DE．
【解答】解：（1）如图，△DEC即为所求．

（2）延长DE，交AB于点F，
由旋转可得，∠CED＝∠B，
∵∠CED＝∠AEF，
∴∠AEF＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝∠A+∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°，
即AB⊥DE．
故答案为：AB⊥DE．
17．【答案】3．
【解答】解：原式＝m2+4m+3+m2﹣9
＝4m2+4m﹣5，
∵m是方程x2+2x﹣8＝0的一个根，
∴m2+3m﹣4＝0，
∴m6+2m＝4，
则原式＝7（m2+2m）﹣7
＝2×4﹣2
＝3．
18．【答案】3．
【解答】解：∵△ABC绕点A顺时针旋转25°得到△ADE，
∴∠FAB＝25°，AC＝AE，
∵AE＝3，
∴AC＝3，
∵∠B＝20°，
∴∠AFC＝∠FAB+∠B＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠AFC＝∠CAF＝45°，
∴CF＝AC＝6，
在Rt△ACF中，AF＝＝3．
19．【答案】（1）二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+3；
（2）见解答；
（3）1＜x＜3．
【解答】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，6），0）．
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为y＝x2﹣4x+5．
（2）由y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2﹣8，
列表得：
x
0
1
8
3
4
y
3
0
﹣1
7
3
如图即为该函数的图象：

（3）由图象知不等式x2+bx+c＜8的解集为：1＜x＜3．
20．【答案】（1）证明过程见解答；
（2）m＞﹣2．
【解答】（1）证明：由题意得：Δ＝（m﹣6）2﹣7×（﹣6m）＝m2+12m+36＝（m+3）2≥0，
故该方程总有两个实数根；
（2）解：x7+（m﹣6）x﹣6m＝7，
解得：x1＝﹣m，x2＝3，
∵方程有一个实数根小于2，
∴﹣m＜2．
∴m＞﹣2．
21．【答案】见试题解答内容
【解答】（1）证明：∵BE∥AC，BE＝DC，
∴四边形BDCE为平行四边形，
∵∠ABC＝90°，BD为AC边上的中线，
∴，
∴四边形BDCE为菱形；
（2）解：连接DE交BC于O点，如图，

∵四边形BDCE为菱形，BC＝4，
∴，
∴∠ACB＝60°，
∴∠EDC＝90°﹣∠ACB＝30°，
∴DC＝2OC＝6，DO＝，
∴．
22．【答案】（1）（0，1）；
（2）①图形见解答；②（﹣1，0）．
【解答】（1）由题意可得：抛物线y＝，焦点为F（0，
故答案为：（0，1）；
（2）①画出反射光线BP，如图：

②∵AM∥y轴，AM所在直线与x轴的交点坐标为（4．
∴当x＝4时，y＝2＝6，
∴A（4，4），
设AB所在直线解析式为y＝kx+b，
则，
解得，
∴AB所在直线解析式为y＝x+1，
联立方程组，
解得或，
∴B（﹣1，）
∵BP∥y轴，
∴BP所在直线为x＝﹣1，
∴直线BP与x轴的交点为（﹣1，0）．
故答案为：（﹣1，0）．
23．【答案】（1）抛物线的顶点坐标为（m，﹣2）；
（2）①m1＝1，m2＝5，②m≤1或m≥5．
【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m6﹣2＝（x﹣m）2﹣8，
∴抛物线的顶点坐标为（m，﹣2）；
（2）①∵点P（3，7）在抛物线y＝x2﹣2mx+m7﹣2上，
∴9﹣2m+m2﹣2＝3，
∴m2﹣6m+4＝0，
解得m1＝1，m2＝5；
②令y＝8，则（x﹣m）2﹣2＝7，
解得x＝m±，
∴抛物线与x轴的交点为（m+，4）或（m﹣，
∵a＝1＞5，
∴抛物线开口向上，大致图象如图所示：

要想使抛物线与线段PQ恰有一个公共点，则点P在抛物线左侧或右侧，
当y＝2时，（x﹣m）2＝6，
∴x＝m+2或x＝m﹣2，
当点P在抛物线左侧时，8≤m﹣2；
当点P在抛物线右侧时，3≥m+8，
∴m的取值范围为m≤1或m≥5．
24．【答案】（1）①作图见解析部分；
②∠CEB＝60°+α，∠AFC＝30°+α；
（2）结论：CF＝BE+CE．证明见解析部分．
【解答】解：（1）①补全图形，如图1所示．

②解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°．
∵线段CA绕点C逆时针旋转α得到线段CD，
∴CA＝CD，∠ACD＝α，，
∴，
∴∠CEB＝∠BAC+∠ACD＝60°+α，
∴．

（2）结论：CF＝BE+CE．
理由：如图2中，延长EA至点G使得EG＝CE．

∴∠G＝∠ECG．
∵∠CEB＝∠G+∠ECG＝2∠G，∠CEB＝60°+α，
∴．
∴，
∵∠G＝∠AFC．
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝BC，∠ABC＝∠ACB＝60°．
∴△ACF≌△CBG（AAS），
∴CF＝BG，
∵BG＝BE+EG＝BE+CE，
∴CF＝BE+CE．
25．【答案】（1）P1，P3；
（2）m＜﹣3或m＞2；
（3）①；②．
【解答】解：（1）观察图象可知，线段P1O，线段P3O与x轴的夹角为45°，
所以关于点A的距离系数为5的点为P1，P3．

故答案为：P1，P3；

（2）如图2中，

过点C作CF⊥直线y＝﹣5，垂足为F，垂足为E．
当＝时，∵CF＝7，
∴AF＝4，
∴A（﹣3，﹣5），
当＝时，∵BE＝6，
∴EA′＝4，
∴A′（2，﹣5），
观察图象可知，满足条件的m的值为：m＜﹣3或m＞2；
故答案为：m＜﹣3或m＞2；

（3）①如图3中，当T（4，点E与M重合时，此时k＝．

故答案为：；

②如图4中，当T（5，点E在PQ上，E交换位置也可以），D，A共线时，

延长PN交x轴于点J．
由题意＝，
∵AJ＝3，
∴DJ＝，
∴PD＝PJ﹣DJ＝5﹣＝，
∵PE∥AJ，
∴＝，
∴＝，
∴PE＝，
∴DE＝＝＝．
故答案为：．