数学九年级上册1.3 二次函数的性质优秀课后作业题

1.3二次函数的性质浙教版初中数学九年级上册同步练习

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.二次函数的图象过，，，四个点，下列说法中一定正确的是(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

2.已知点，，均在抛物线上，下列说法中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.已知和均是以为自变量的函数，当时，函数值分别是和，若存在实数，使得，则称函数和具有性质以下函数和具有性质的是(    )

A. 和 B. 和
C. 和 D. 和

4.如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴正半轴交于点，它的对称轴为直线则下列选项中正确的是(    )

 

A.  B.
C.  D. 当为实数时，

5.已知二次函数，点，是其图象上两点(    )

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

6.在平面直角坐标系中，二次函数部分图象和一次函数的图象如图所示已知它们有一个交点为，点在该二次函数图象上，则它们的另一个交点在(    )

A. 之间 B. 点 C. 之间 D. 点

7.已知抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，其中，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，已知二次函数的图象如图所示，有下列个结论：；；；；的实数其中正确结论有(    )
 

A.  B.  C.  D.

9.关于的方程的两个相异实根均大于且小于，那么的取值范围是(    )

A.  B.  C. 或 D.

10.关于的二次函数与的性质中，下列说法错误的是(    )

A. 开口方向相同
B. 对称轴相同
C. 开口大小相同
D. 当时，随的增大而减小，随的增大而增大

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.已知抛物线，点在抛物线上，则的最大值是          ．

12.已知实数、，满足，则代数式的最小值等于______ ．

13.设二次函数点，，都在这个二次函数的图象上，且，则
______ 用的代数式表示；
的取值范围为______ ．

14.已知二次函数，当时，函数值的取值范围是，则的取值范围是______ ．

三、解答题（本大题共6小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

15.本小题分

已知抛物线经过点，若点，都在该抛物线上，试比较与的大小．

16.本小题分
已知抛物线经过点，．
求，的值；
若，是抛物线上不同的两点，且，求的值．

17.本小题分
求出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．

配方法

公式法．

18.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点是，与轴交于，两点，与轴交于点点的坐标是．
求，两点的坐标，并根据图象直接写出当时的取值范围．
平移该二次函数的图象，使点恰好落在点的位置上，求平移后图象所对应的二次函数的表达式．

19.本小题分
已知抛物线经过点．
求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
直线交抛物线于点，，为正数若点在抛物线上且在直线下方不与点，重合，分别求出点横坐标与纵坐标的取值范围．

20.本小题分
如图，已知点，在二次函数的图象上，且．

 

若二次函数的图象经过点．

求这个二次函数的表达式

若，求顶点到的距离

当时，二次函数的最大值与最小值的差为，点，在对称轴的异侧，求的取值范围．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】，抛物线的对称轴为直线，，抛物线开口向上，，，

若，则，，选项A错误．

若，则，，选项B错误．

若，则，，选项C正确．

若，则，，选项D错误．

2.【答案】 

【解析】略

3.【答案】 

【解析】【分析】
本题属于新定义类问题，考查一元二次方程的解法，根据给出的定义构造方程，利用方程思想解决问题是常见思路．
根据题干信息可知，直接令，若方程有解，则具有性质，若无解，则不具有性质．
【解答】
解：令，则，解得或，
即函数和具有性质，符合题意；
B.令，则，整理得，，方程无解，
即函数和不具有性质，不符合题意；
C.令，则，整理得，，方程无解，
即函数和不具有性质，不符合题意；
D.令，则，整理得，，方程无解，
即函数和不具有性质，不符合题意；
故选：．

4.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程的关系是解题的关键．
由图象开口向上，可知，与轴的交点在轴的上方，可知，根据对称轴方程得到，于是得到，故A错误；根据二次函数的图象与轴的交点，得到，求得，故B错误；根据对称轴方程得到，当时，，于是得到，故C错误；当为实数时，代入解析式得到，于是得到，故D正确．
【解答】
解：由图象开口向上，可知，
与轴的交点在轴的上方，可知，
又对称轴方程为，所以，所以，
，故A错误；
二次函数的图象与轴交于，两点，
，
，故B错误；
，
，
当时，，
，
，故C错误；
当为实数时，，
，，，
，故D正确，
故选：．

5.【答案】 

【解析】解：，
抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，
当时，点，关于对称轴对称，，
当时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，，
当时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，，
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线对称轴为直线，根据抛物线开口向上可得与时点，到对称轴的距离大小关系，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是由函数解析式求出抛物线对称轴，根据抛物线开口方向及对称轴求解．

6.【答案】 

【解析】解：把点代入中，
得：，
解得，
抛物线的解析式为，
联立抛物线和直线的解析式得：
，
解得或，
它们的另一个交点坐标为，
，，，
又，
它们的另一个交点在之间，
故选：．
由点的坐标即可确定二次函数的解析式，和直线联立即可确定另一个交点的坐标．
本题主要考查二次函数的图象和性质，关键是要能根据点的坐标确定抛物线的解析式．

7.【答案】 

【解析】解：把代入得：，
解得：，，
把代入得：，
解得：，，
，
，
抛物线与抛物线中的二次项系数相同，
，
又，
如下图所示，点在点左侧，点在点左侧，

，即，
，
令，则，
解得：，，
当时，，解得：，
，
不符合题意舍去；
当时，，解得：，
，
符合题意；
综上分析可知，，
故选：．
先求出抛物线与轴的交点，抛物线与轴的交点，然后根据，得出，列出关于的方程，解方程即可．
本题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据题意用表示出，列出关于的方程是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数的系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，熟练掌握二次函数的性质是关键．由抛物线对称轴的位置判断的符号，由抛物线与轴的交点判断的符号，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】
解：对称轴在轴的右侧，
，
由图象可知：，
，
故不正确；
当时，，
，
故正确；
由对称知，当时，函数值大于，即，
故正确；
，
，
，
，
，
故不正确；
当时，的值最大．此时，，
而当时，，
所以，
故，即，
故正确．
故正确．
故选B．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．把一元二次方程解的问题转化为抛物线与轴的交点问题，则利用题意得抛物线与轴的两个交点到在和之间，利用二次函数图象得到时，和当时，；
接着由确定抛物线与轴有个交点，然后解关于的不等式组确定的范围．
【解答】
解：关于的方程的两个相异实根均大于且小于，
抛物线与轴的两个交点到在和之间，
，解得，
时，，
，解得；
当时，，
，解得，
的范围为．
故选A．

10.【答案】 

【解析】解：二次函数的开口向上，对称轴是直线，顶点坐标是，当时，随的增大而减小；
二次函数的开口向下，对称轴是直线，顶点坐标是，当时，随的增大而增大；
故选项A符合题意，选项B、、不符合题意．
故选：．
根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

11.【答案】 

【解析】略

12.【答案】 

【解析】解：，
，




，
代数式的最小值等于，
故答案为：．
由题意得，代入代数式可得，故此题的最小值是．
此题考查了代数式的变式与二次函数最值问题的解决能力，关键是掌握二次函数的性质．

13.【答案】   

【解析】解：因为，，
所以，两点关于抛物线的对称轴对称．
又由二次函数的表达式可知，
抛物线的对称轴是直线，
所以．
故答案为：．
将点坐标代入函数表达式得，
，
又，
所以，
又，
则，
解得．
故答案为：．
根据，两点的纵坐标相等，可用表示出抛物线的对称轴，进而解决问题．
用表示出，再根据的取值范围即可解决问题．
本题考查二次函数图象上点的坐标特征，能由，两点的纵坐标相等，进而发现与的关系是解题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：，顶点坐标为，开口向下，
当时，取得最大值，
当，，根据对称性可得时，，
时，函数值的取值范围是，
当时，函数值的取值范围是，
结合图象可得：，
故答案为：．

利用配方法将二次函数解析式由一般式变形为顶点式，代入求出的值，结合当时的取值范围是，即可得出的值，验证后即可得出结论．
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用二次函数图象上点的坐标特征找出的值是解题的关键．

15.【答案】解： 抛物线经过点，
，
，
，
此函数的图象开口向下，
当时，随的增大而增大，
当时，随的增大而减小，
点，都在该抛物线上，
． 

【解析】见答案

16.【答案】解：把点，代入得，，
解得：；
由得函数解析式为，
把代入得，，
，
，对称轴为，
，
． 

【解析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和待定系数法求解析式，解方程组，正确理解题意是解题的关键．
把点，代入解方程组即可得到结论；
把代入得到，于是得到，再根据对称轴，即可得到结论．

17.【答案】【小题】

，抛物线开口问上，对称轴为直线，顶点坐标为

【小题】

，，抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为

【解析】 见答案
 见答案

18.【答案】解：把代入，得，解得，
，
，
对称轴直线，，两点关于对称，
，
当时，．

，
点平移到，抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，可得抛物线的解析式为． 

【解析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数的性质，平移变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
利用待定系数法求出，再求出点的坐标即可解决问题．
由题意点平移的，抛物线向右平移个单位，向上平移个单位，由此可得抛物线的解析式．

19.【答案】解：把代入得，
解得，
抛物线的函数表达式为，
，
抛物线顶点坐标为．
把代入得，
，
把代入函数解析式得，
解得或，
为正数，
，
点坐标为，点坐标为．
抛物线开口向上，顶点坐标为，
抛物线顶点在下方，
，． 

【解析】将点代入求解．
分别求出点，坐标，根据图象开口方向及顶点坐标求解．
本题考查求二次函数解析式及二次函数的性质，解题关键是熟练掌握二次函数的性质及待定系数法求函数解析式．

20.【答案】【小题】

二次函数的表达式为：
当时，此时为平行轴的直线，，整理，得，又，代入上式得到：，解出，，，即直线为：，顶点到的距离为

【小题】

若，在对称轴的异侧，，，，，，，函数的最大值为，最小值为，，，，若，在对称轴的异侧，，，，，函数的最大值为，最小值为，，，，综上所述，的取值范围为．

【解析】 见答案
 见答案