河北省承德市兴隆县2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷

2022-2023学年河北省承德市兴隆县八年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题共16小题，共48.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，下列四种标志中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为(    )

A.  B.  C.  D.

2.下列约分正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列二次根式中，不能与合并的是(    )

A.  B.  C.  D.

4.如图，在中，，，，的垂直平分线交于点，连接，则的周长是(    )

A.
B.
C.
D.

5.化简的结果为(    )

A.  B.  C.  D.

6.若方程有增根，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，在中，和的平分线相交于点，过作，交于点，交于点若，，则线段的长为(    )

 

A.  B.  C.  D.

8.下列命题正确的是(    )

A. 内错角相等 B. 是无理数
C. 的立方根是 D. 两角及一边对应相等的两个三角形全等

9.施工队要铺设一段全长米的管道，因在中考期间需停工两天，实际每天施工需比原计划多米，才能按时完成任务，求原计划每天施工多少米．设原计划每天施工米，则根据题意所列方程正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.如图，是的角平分线，，，垂足分别为点、点，连接与相交于点，下列结论不一定成立的是(    )

 

A.  B.  C.  D.

11.已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

12.我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是(    )

A.  B.
C.  D.

13.下列选项中的整数，与接近的是(    )

A.  B.  C.  D.

14.下列说法：
数轴上的点都表示有理数；
不带根号的数一定是有理数；
负数没有立方根；
的平方根是．
其中正确的说法有(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

15.三个等边三角形的摆放位置如图，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

16.如图，直线上有三个正方形，，，若，的面积分别为和，则的面积为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

17.等腰三角形的一个角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为______ ．

18.如图，，，，则 ______ ．

19.小明在解答“已知中，，求证”这道题时，写出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
所以，这与三角形内角和定理相矛盾．
所以．
假设．
那么，由，得，即，即．
请你写出这四个步骤正确的顺序______ ．

20.如图，在每个小正方形的边长为的网格中，，为格点在如图所示的网格中求作一点，使得且的面积等于，则此时的长为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

21.本小题分
计算：
；
．

22.本小题分
如图，在中，点是的中点，交于点，交于点求证：≌．

23.本小题分
小红家到学校的路程为，小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行，才能到达学校，路途所用时间为已知公共汽车的速度是小红步行速度的倍，求小红步行的速度．

24.本小题分
应用题．
某校八年级学生进行实践活动，测量池塘两端、的距离不能直接测量，请你根据学过的三角形的知识设计方案．
要求：画出图形并简述你的方案；方案中用到的线段长用小写字母、、等表示，角度用，等表示；表示出的长．

25.本小题分
如图，，射线是的平分线，，、分别是和上的两个动点，且始终有．
问题：当长度最小时，在图中画出和并求出此时的长和四边形的面积．

26.本小题分
设．
化简；
当时，记的值为，当时，记的值为．
求证：；
利用的结论，求的值；
解分式方程．

27.本小题分
【阅读理解】
课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点，使，请根据小明的方法思考：
由已知和作图能得到≌的理由是______．
A.
求得的取值范围是______．
A.
【感悟】
解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．
【问题解决】
如图，是的中线，交于，交于，且求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；
D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合四种标志的特点求解．
考查中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．

2.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查分式的基本性质及变号法则，正确确定公因式是关键，要特别注意性质中“都”和“同”的含义．
根据分式的基本性质作答．分式的分子和分母都乘以或都除以同一个不为的数或整式，分式的值不变．易知C正确．
【解答】
解：、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、，故D选项错误．
故选C．

3.【答案】 

【解析】解：、，故A能与合并；
B、，故B能与合并；
C、，故C不能与合并；
D、，故D能与合并；
故选：．

本题考查了同类二次根式，被开方数相同的最简二次根式是同类二次根式．

4.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查了线段垂直平分线的性质，正确得出是解题关键．
直接利用线段垂直平分线的性质得出，进而得出答案．
【解答】解：的垂直平分线交于点，
，
，，
，
的周长为：．
故选A．

5.【答案】 

【解析】解：原式，
故选B
原式利用除法法则变形，约分即可得到结果．
此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

6.【答案】 

【解析】【分析】
增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出的值．
本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
【解答】
解：方程两边都乘，得
原方程增根为，
把代入整式方程，得，
故选：．

7.【答案】 

【解析】解：和的平分线相交于点，
，，
，交于点，交于点．
，，
，，
，，
．
故选：．
根据中，和的平分线相交于点求证，，再利用两直线平行内错角相等，求证出，，则可推出，，即，，然后利用等量代换即可求出线段的长．
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质、平行线的性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．

8.【答案】 

【解析】解：、两直线平行，内错角相等，故错误；
B、是有理数，故错误；
C、的立方根是，故错误；
D、两角及一边对应相等的两个三角形全等，正确；
故选：．
根据平行线的性质，三角形全等的判定定理，立方根，无理数的定义即可解答．
本题考查了定义与命题、平行线的性质，三角形全等的判定定理，立方根，无理数的定义，解决本题的关键是熟记平行线的性质，三角形全等的判定定理，立方根，无理数的定义．

9.【答案】 

【解析】解：设原计划每天施工米，则实际每天施工米，
根据题意，可列方程：，
故选：．
设原计划每天铺设米，则实际施工时每天铺设米，根据：原计划所用时间实际所用时间，列出方程即可．
本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．首先运用角平分线的性质得出，再由证明≌，即可得出；根据即可证明≌，即可得到．【解答】
解：是的角平分线，，，
，，
在和中，
，
≌，
；
是的角平分线，
，
在和中，
，
≌，
；
故选C．

11.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了二次根式的乘法，是基础题，难点在于对的分解因数．
将写成，然后根据二次根式的乘法的法则解答即可．
【解答】
解：，，
．
故选D．

12.【答案】 

【解析】解：、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
B、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、，
整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
故选：．
先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：，
与接近的是．
故选：．
直接利用已知得出接近的有理数即可．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出最接近的有理数是解题关键．

14.【答案】 

【解析】解：数轴上的点表示有理数和无理数，因此不正确；
是不带根号的无理数，因此不正确；
负数有立方根，没有平方根，因此不正确；
一个正数的平方根有两个并且互为相反数，因此不正确．
故答案为：．
根据有理数的概念，有理数与数轴的关系，立方根平方根的定义对每一项分析判断即可得出结论．
本题考查的是有理数无理数的概念，平方根立方根的定义等相关知识点，理解概念和定义是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：图中是三个等边三角形，，

，，
，
，
，
．
故选：．
先根据图中是三个等边三角形可知三角形各内角等于，用，，表示出各角的度数，再根据三角形内角和定理即可得出结论．
本题考查的是等边三角形的性质，熟知等边三角形各内角均等于是解答此题的关键．

16.【答案】 

【解析】【分析】
此题主要考查对全等三角形和勾股定理的综合运用，关键是证明≌．
运用正方形边长相等，再根据同角的余角相等可得，然后证明≌，再结合全等三角形的性质和勾股定理求解即可．
【解答】
解：由于、、都是正方形，所以，；

，即，
在和中，
≌，
，；
在中，由勾股定理得：，
即，
的面积为，
故选：．

17.【答案】或 

【解析】解：分两种情况：
当的角是底角时，则顶角度数为；
当的角是顶角时，则顶角为．
故答案为：或．
等腰三角形的一个内角是，则该角可能是底角，也可能是顶角，注意分情况讨论．
本题考查了等腰三角形的性质及三角形的内角和定理；若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．

18.【答案】 

【解析】解：由勾股定理可知，，
．
连续运用勾股定理即可解答．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．

19.【答案】 

【解析】证明：假设，
那么，由，得，即，即，
所以，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以，
所以这四个步骤正确的顺序是，
故答案为：．
根据反证法的一般步骤解答即可．
本题考查的是反证法，反证法的一般步骤是：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．

20.【答案】 

【解析】解：，，
，
的面积等于，，
点所在的位置如图所示，

，
故答案为：．
的面积等于，，确定点所在的位置，即可求解．
本题考查勾股定理求三角形线段的长，确定点所在的位置是解题的关键．

21.【答案】解：原式

；
原式
． 

【解析】根据二次根式的除法进行计算即可求解；
根据平方差公式进行计算即可求解．
本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．

22.【答案】证明：，
，
，
，
点是的中点，
．
≌． 

【解析】根据平行线的性质得出，，根据点是的中点，得出，根据即可得证．
本题考查了三角形中位线定理，掌握三角形中位线定理是解题的关键．

23.【答案】解：设小红步行的速度为，根据题意得：，
解得，
经检验，是方程的解．
答：小红步行的速度是． 

【解析】设小红步行的速度为，根据题意，列出分式方程，解方程即可求解．
本题考查了分式方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．

24.【答案】解：如图所示，以为斜边构造直角三角形，使得，测量线段，，

是直角三角形，
． 

【解析】以为斜边构造直角三角形，测量线段，，根据勾股定理即可求解．
本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．

25.【答案】解：如图，过点作于点，此时最小
在上取，过点作于点，


是的平分线，
，，
在中，，，
，
根据勾股定理，
，
四边形的面积． 

【解析】根据线段垂直平分线的性质可以画出线段长度最小时在图中的位置；根据线段垂直平分线的性质求出的长，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，即可求出四边形的面积．
本题考查角平分线的性质和含直角三角形的性质，解题的关键是根据题目的条件进行推论求解．

26.【答案】解：




；
证明：；




；
由可知该方程为，
方程两边同时乘，得：，
整理，得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
原分式方程的解为． 

【解析】根据分式的混合运算法则计算即可；
将通分相减即可证明；
由可知，，，，再相加即可；
由可知该方程为，再解该分式方程即可．
本题考查分式的混合运算，解分式方程．掌握分式的混合运算法则是解题关键．

27.【答案】   

【解析】解：在和中
，
≌，
故选B；

解：由知：≌，
，，
在中，，由三角形三边关系定理得：，
，
故选C．

证明：
延长到，使，连接，
是中线，
，
在和中
≌，
，，
，
，
，
，
，
即．
根据，，推出和全等即可；
根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出，求出即可；
延长到，使，连接，根据证≌，推出，，根据，推出，求出，根据等腰三角形的性质求出即可．
本题考查了三角形的中线，三角形的三边关系定理，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质和判定等知识点，主要考查学生运用定理进行推理的能力．