湖南省衡阳市第九中学2023-2024学年九年级上学期数学第一次月考数学试题

这是一份湖南省衡阳市第九中学2023-2024学年九年级上学期数学第一次月考数学试题，共14页。试卷主要包含了要使式子有意义，a的取值范围是，下列线段中，能成比例的是，如图，在中，，，，，则的长为等内容，欢迎下载使用。
2023年九中第一次月考九年级数学时量：120分钟  总分：120分一．选择题（共12小题）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（    ）A．        B．        C．        D．2．要使式子有意义，a的取值范围是（    ）A．        B．且        C．或        D．且3．把方程化成的形式，则a，b，c的值分别为（    ）A．1，，10        B．1，7，        C．1，，12        D．1，，24．将方程配方成的形式，下列配方结果正确的是（    ）A．        B．        C．        D．5．下列线段中，能成比例的是（    ）A．、、、        B．、、、C．、、、        D．、、、6．电影《流浪地球2》于2023年1月22日在中国上映，第一天票房约4亿，以后每天票房按相同的增长率增长，前三天票房累计约10亿，若把增长率记作，则方程可以列为（    ）A．           B．C．        D．7．如图，在中，，，，，则的长为（    ）A．6        B．7        C．8        D．98．已知关于的一元二次方程有一个根是0，则的值为（    ）A．        B．1        C．        D．1或09．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（    ）A．        B．        C．        D．10．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么的取值范围是（    ）A．        B．        C．且        D．11．等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于的一元二次方程的两根，则n的值为（    ）A．9        B．10        C．9或10        D．8或1012．如图，已知在矩形ABCD中，E是边AD上的一点，F是AB上一点，，且，，矩形ABCD的周长为，则FC的长为（    ）A．        B．        C．        D．二．填空题（共6小题）13．计算：________．14．已知，且，则的值为________．15．已知的整数部分为a，小数部分为b，则________．16．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程的一个根，则菱形ABCD的周长为________．17．已知m、n是一元二次方程的两个实数根，则代数式的值等于________．18．在平面直角坐标系xOy中，记直线为l，点是直线l与y轴的交点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，作射线交直线l于点，以为边作正方形，使点落在x轴正半轴上，依次作下去，得到如图所示的图形，则点的坐标是________．三．解答题（共8小题）19．计算：（1）        （2）20．先化简，再求值：，其中．21．已知，，分别求下列代数式的值；（1）；        （2）．22．已知关于的一元二次方程．（1）求证：该一元二次方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的两根、是某个等腰三角形的两边长，且该三角形的周长为10，试求m的值．23．关于x的一元二次方程有实数根．（1）求k的取值范围；（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程与方程有一个相同的根，求此时m的值．24．某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长，宽，中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．（1）若除丝绸花边外白色部分的面积为，求丝绸花边的宽度；（2）已知该工艺品的成本是40元/件，如果以单价100元/件销售，那么每天可售出200件，另外每天除工艺品的成本外还需支付各种费用2000元．根据销售经验，如果将销售单价降低1元，每天可多售出20件，请问该公司把单价降低多少元时，当日所获利润为10000元．（3）当销售单价定为多少元时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？25．定义：若关于x的一元二次方程的两个实数根为，，则把分别以，为横坐标和纵坐标得到的点称为该一元二次方程的“衍生点”．（1）若方程为，则该方程的“衍生点”M的坐标为________．（2）若关于x的一元二次方程的“友好点”为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值．（3）是否存在b，c，使得不论为何值，关于x的方程的“友好点”M始终在函数的图象上，若有，请求出b，c的值；若没有，请说明理由．26．如图，在中，，，．点P从点A开始沿AB边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t秒．（1）当t为何值时，的面积等于？（2）当t为何值时，PQ的长度等于？（3）若点P，Q的速度保持不变，点P在到达点B后返回点A，点Q在到达点C后返回点B，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t为何值时，的面积等于？参考答案一．选择题（共12小题）1．C．【考点】一元二次方程的定义【分析】利用一元二次方程的定义，逐一分析四个选项中的方程即可．【解答】解：A．方程是分式方程，选项A不符合题意；B．方程是二元二次方程，选项B不符合题意；C．方程是一元二次方程，选项C符合题意；D．方程是一元一次方程，选项D不符合题意．2．D．【考点】分式有意义的条件；7二次根式有意义的条件；【分析】分子中二次根式的被开方数是非负数，而且分母不能为0，同时满足两个条件，求a的范围．【解答】解：根据题意，得解得且．3．A．【考点】一元二次方程的一般形式【分析】先把化简，然后根据一元二次方程的一般形式即可得到a、b、c的值．【解答】解：，，，，则，，，4．B．【考点】解一元二次方程-配方法【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以2，接着把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可．【解答】解：，，，．5．D．【考点】比例线段【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．【解答】解：根据如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．所给选项中，只有D符合，6．D．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【分析】第一天为4亿，根据增长率为x得出第二天为亿，第三天为亿，根据三天累计为10亿，即可得出关于x的一元二次方程．【解答】解：设增长率为x，根据题意得：．7．C．【考点】平行线分线段成比例【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，利用比例性质求出AE，然后计算即可．【解答】解：，，即，，．8．C．【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一元二次方程的定义求解；把代入原方程即可求得m的值．【解答】解：把代入方程，得，解得；整理得，即，．9．A．【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴【分析】根据实数a，b在数轴上的位置确定a、b的符号，再根据二次根式的性质将二次根式进行化简即可．【解答】解：由实数a，b在数轴上的位置可知，，原式，10．C．【考点】一元二次方程的定义；根的判别式【分析】因为关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以且，建立关于k的不等式组，解得k的取值范围即可．【解答】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，，且，解得且．故答案为且．11．B．【考点】一元二次方程的解；根的判别式；等腰直角三角形【分析】由三角形是等腰三角形，得到①，或，②①当，或时，得到方程的根，把代入即可得到结果；②当时，方程有两个相等的实数根，由可得结果．【解答】解：三角形是等腰三角形，①，或，②两种情况，①当，或时，，b是关于x的一元二次方程的两根，，把代入得，，解得：，当，方程的两根是2和4，而2，4，2不能组成三角形，故不合题意，②当时，方程有两个相等的实数根，解得：，12．C．【考点】矩形的性质；等腰直角三角形；全等三角形的判定与性质【分析】根据矩形的性质证明，可得，再根据矩形的周长和DE的长求出．根据勾股定理即可求出FC的长．【解答】解：在矩形ABCD中，，，，，，，在和中，，，矩形ABCD的周长，，矩形ABCD的周长为，，解得．在中，，，根据勾股定理，得，，．二．填空题（共6小题）13．6．【考点】二次根式的乘除法【分析】利用二次根式性质将与进行化乘除，然后再写出最简结果即可【解答】解：14．12．【考点】比例的性质【分析】直接利用已知比例式假设出a，b，c的值，进而利用，得出答案．【解答】解：，设，，，，，解得：，故．15．5．【考点】二次根式的乘除法；估算无理数的大小【分析】先将分母有理化，然后估算其结果在哪两个整数之间，从而确定a，b的值，然后代入则中计算即可．【解答】解：，，，，，，16．16【考点】三角形三边关系；一元二次方程的应用；菱形的性质【分析】边AB的长是方程的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD的周长．【解答】解：解方程得：或4对角线长为6，，不能构成三角形；菱形的边长为4．菱形ABCD的周长为．17．6070．【考点】根与系数的关系【分析】根据题意，得，进一步可得，根据根与系数的关系可得，，整体代入变形后的代数式即可求出代数式的值．【解答】解：根据题意，得，，，，．18．．【考点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；规律型：点的坐标【分析】根据一次函数的性质得出、等点的坐标，继而得知、等点的坐标，从中找出规律，求出点的坐标，进而得出结论．【解答】解：把代入直线，可得：，所以可得：点的坐标是把代入直线，可得：，所以可得：点的坐标是，同理可得点的坐标是；点的坐标是；由以上得出规律是的坐标为，所以点的坐标是．故答案为：．三．解答题（共8小题）19．计算：【考点】零指数幂；二次根式的混合运算【解答】解：（1）原式（2）原式；20．【考点】分式的化简求值【分析】先通分括号里面的，把除式的分子、分母因式分解，再把除法转化为乘法，约分后再代入求值．【解答】解：．当时，原式．21．6；6【考点】分母有理化；二次根式的化简求值【分析】（1）先将x、y进行分母有理化，得到，，再求出与xy的值，然后根据完全平方公式得出，再整体代入即可；（2）将所求式子变形为，再整体代入即可．【解答】解：（1），，，，；（2），，原式．22．证明见解答；或．【考点】根的判别式；三角形三边关系；等腰三角形的性质【分析】（1）先计算出判别式的值为1，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用求根公式可计算出，，然后讨论：若为腰，为底边，得，②若为腰，为底边，得，从而可得到对应的m的值．【解答】（1）证明：该方程总有两个不相等的实数根；（2）解：，，，①若为腰，为底边，得，；②若为腰，为底边，得，；23．；【考点】一元二次方程的定义；一元二次方程的解；根的判别式【分析】（1）利用根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；（2）先求出k的值，再代入方程，求出或，把或代入方程求出m的值即可．【解答】解：（1）根据题意得，解得；（2）是符合条件的最大整数，当时的最大整数值是2，则关于x的方程是，解得：，，一元二次方程与方程有一个相同的根，当时，，解得；而，所以舍去，当时，，解得，的值为．24．；50元；75【考点】一元二次方程的应用【分析】（1）设出花边的宽，然后表示出花边的长，利用面积公式表示出其面积即可列出方程求解；（2）设每件工艺品降价y元出售，则降价y元后可卖出的总件数为件，每件获得的利润为元，此时根据获得的利润卖出的总件数每件工艺品获得的利润，列出次方程，求解即可．【解答】解：（1）设条带的宽度为，根据题意，得．整理，得，解得，（舍去）．答：丝绸条带的宽度为．（2）设每件工艺品降价y元出售，由题意得：．解得：．所以售价为（元）．答：当售价定为50元时能达到利润10000元．（3）设利润为W，则当减价25元时，即定价75元时，利润最大为2250025．；或；，．【考点】解一元二次方程-因式分解法；根的判别式；根与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征【分析】（1）求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；（2）①；先确定出点M的坐标，②进而根据正方形四条边相等构建等式求值即可（3）求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可；【解答】解：（1），，解得：，故方程的衍生点为．（2），，解得：，，当时，即；，即当时，即；，即当时；，即综上；或（3）存在．直线，过定点，两个根为，，，，，26．t为5或7时；t为或4时；t为4或8时，【考点】一元二次方程的应用【分析】（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；（3）根据题意表示出BP、BQ的长，再分三种情况，根据三角形的面积公式列方程即可．【解答】解：根据题意知，．（1）根据三角形的面积公式，得，，，解得，．故当t为5或7时，的面积等于．（2）设t秒后，PQ的长度等于，根据勾股定理，得，，解得，．故当t为或4时，PQ的长度等于．（3）当时，，即，则，解得，．当时，则，，，则的面积，解得：或8（均舍去）；当时，，，，，故方程无实数根．综上所述，当t为4或8时，的面积等于．