2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年陕西省西安市碑林区西北工大附中九年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中一定是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.不透明的袋子中装有个红球和个黄球，两种球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是(    )

A.  B.  C.  D.

3.下列关系式中的两个量成反比例的是(    )

A. 圆的面积与它的半径 B. 正方形的周长与它的边长
C. 路程一定时，速度与时间 D. 长方形一条边确定时，周长与另一边

4.如图，主持人主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如果舞台的长为米，一名主持人现在站在处，则她至少走多少米才最理想(    )

A.  B.
C.  D. 或

5.若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.函数与函数在同一坐标系中的图象可能是(    )

A.  B.
C.  D.

7.若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D.

8.如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集是(    )
 

A. 或
B. 或
C. 或
D. 或

9.如图，在下列四个条件：，，：：，：：中，随机抽取一个能使∽的概率是(    )

A.
B.
C.
D.

10.已知：如图，在平行四边形中，，，，沿的方向以速度为匀速平移得到；同时，点从点出发，沿方向匀速运动速度为，当停止平移时，点也停止运动，如图，设运动时间为，则的值为时，：：．(    )
 

A.  B.  C.  D. 不存在

二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）

11.如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，以原点为位似中心，在原点的异侧按：的相似比将放大，则点的对应点的坐标为______．

12.已知实数，满足，，则以，为根的一元二次方程是______．

13.如图，的直角顶点在反比例函数的图象上，顶点在轴负半轴上，顶点在反比例函数的图象上，斜边交轴于点，若轴，，面积为，则的值为______．

14.如图，在中，为上的一点，为上的一点，的延长线交于点已知，为不小于的整数，则的值是______ ．

15.如图，中，，，以为斜边按、、顺时针方向排列，构造，且，连接，则线段的最大值为______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.本小题分
用合适的方法解下列方程：

 

17.本小题分

在中，请用尺规作图，在边上求作一点，连接，使得将分为两个相似三角形保留作图痕迹，不写作法

18.本小题分
一个不透明的袋子中装有四个小球，这四个小球上各标有一个数字，分别是，，，这些小球除标有的数字外都相同，先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字后，放回，摇匀，再从袋中随机摸出一个小球，记下小球上标有的数字，请利用画树状图或列表的方法、求摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率．

19.本小题分
某种服装，平均每天可以销售件，每件赢利元，在每件降价幅度不超过元的情况下，若每件降价元，则每天可多售件，如果每天要赢利元，每件应降价多少元？

20.本小题分

雨后的一天晚上，小明和小亮想利用自己所学的有关测量物体的高度的知识，测量路灯的高度如图所示，当小明直立在点处时，小亮测得小明的影子的长为米；此时小明恰好在他前方米的点处的小水潭中看到了路灯点的影子．已知小明的身高为米，请你利用以上的数据求出路灯的高度．

21.本小题分
如图，动点在函数的图象，过点分别作轴和轴的平行线交反比例函数的图象于点、，作直线，设直线的函数表达式为．
若点的坐标为，
求直线的函数解析式；
点在轴上，点在轴上，且以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点、的坐标；
连接、，试探究点在运动过程中，的面积是否是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

22.本小题分
已知四边形是菱形，，．
如图，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，交于点，若，
求的长；
求的长；
如图，是的中点，连接，过点作交的延长线于点，点在上，连接，分别过点，作直线的垂线，垂足分别为，，若，求的长；
如图，为上一点，为上一点，，分别过点，作，的平行线，两条直线交于点，将四边形绕点顺时针旋转，如图，直线交直线于点，求的值及的度数．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：、是一元二次方程，故此选项符合题意；
B、当时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
D、未知数次数为，不是一元二次方程，故此选项不合题意；
故选：．
利用一元二次方程定义进行解答即可．
此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是”；“二次项的系数不等于”；“整式方程”．

2.【答案】 

【解析】解：从中随机摸出一个小球，摸到黄球的概率是，
故选：．
直接由概率公式求解即可．
本题考查了概率公式：概率所求情况数与总情况数之比．熟记概率公式是解题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：、圆的面积半径，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
B、正方形的周长边长，不是反比例函数，故本选项不符合题意；
C、路程一定时，速度和时间的关系，是反比例函数，故本选项符合题意；
D、长方形一条边确定时，周长与另一边的关系，不是反比例关系，故本选项不符合题意．
故选：．
根据反比例函数的定义解答即可．
本题考查了反比例函数，熟练掌握反比例函数的定义是解题的关键．要注意：反比例函数的判断：判断一个函数是否是反比例函数，首先看看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为为常数，或为常数，．

4.【答案】 

【解析】解：设点为的黄金分割点，
当时，；
当时，，则，
所以她至少走米才最理想．
故选：．
设点为的黄金分割点，利用黄金分割的定义，当时，；当时，，则，从而确定她至少走的路程．
本题考查了黄金分割：把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项即：：，叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．

5.【答案】 

【解析】解：，
，
，
故选：．
利用等比性质，进行计算即可解答．
本题考查了比例的性质，熟练掌握等比性质是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查反比例函数和一次函数图象的特征： 反比例函数：当，图象过第一、三象限；当，图象过第二、四象限； 一次函数：当，图象必过第一、三象限，当，图象必过第二、四象限当，图象与轴交于正半轴，当，图象经过原点，当，图象与轴交于负半轴根据反比例函数的比例系数可得经过的象限，一次函数的比例系数和常数项可得一次函数图象经过的象限 
【解答】
解：当时，反比例函数图象经过一、三象限；一次函数图象经过第一、三、四象限，故A正确；
D错误；
当时，反比例函数经过第二、四象限；一次函数经过第一、二、四象限，故C，D错误．
故选A．

7.【答案】 

【解析】解：点，，在反比例函数的图象上，
，，，
又，
．
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值，比较后即可得出结论．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征求出、、的值是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】【分析】
本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，正确求出点的坐标是解题的关键．
先求出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，然后直接利用图象法求解即可．
【解答】
解：在反比例函数的图象上，
，
反比例函数解析式为，
在反比例函数图象上，
，
，
由题意得关于的不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围，
关于的不等式的解集为或，
故选：．

9.【答案】 

【解析】解：由题意得：
，
，根据两角相等的两个三角形相似可得：∽，
，
，
所以，根据两角相等的两个三角形相似可得：∽，
：：，，
和不相似，
，
故不能使∽，
：：，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似可得：∽，
在上列四个条件中，随机抽取一个能使∽的概率是：，
故选：．
根据相似三角形的判定方法判断即可．
本题考查了相似三角形的判定，概率公式，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】解：过点作，如图：

，
∽，
，
由题意知，，，
，
，
，
，
：：，
：：．
，
：：，
化简得，方程无解，
不存在使得：：．
故选：．
先表示出的面积，根据：：得出：：而的面积为，从而可求解．
本题考查相似三角形的性质和判定，三角形的面积，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识是解题关键．

11.【答案】 

【解析】解：以原点为位似中心，在原点的异侧按：的相似比将放大，的坐标为，
点的对应点的坐标为，即，
故答案为：．
根据位似变换的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或．

12.【答案】 

【解析】解：，，
以，为根的一元二次方程可为．
故答案为．
直接利用根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

13.【答案】 

【解析】解：如图，设与轴交于点，过作轴为于点，
则，
  ．
，
，
，
可设，则，
轴，
，
   ，
把代入，得，
，
，
．
故答案为：．
设与轴交于点，过作轴为于点，根据矩形的性质得出，由反比例函数比例系数的几何意义得出 根据平行线分线段成比例定理得出，那么，由此可设，则，根据轴，得出，即   ，把代入，求出，再求出，进而得出结论．
本题考查了反比例函数中的几何意义，即过双曲线上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解的几何意义．也考查了矩形的性质以及平行线分线段成比例定理．

14.【答案】 

【解析】解：过点作交于点，过作，过作，

∽，∽，
，，
，，
，，
；
故答案为：．
过点作交于点，过作，过作，由，推出∽，∽，进一步推比例线段，求出，，再根据三角形面积公式求出的值．
本题考查平行线分线段成比例定理，掌握平行于三角形一边的直线截其他两边或两边的延长线，所得的对应线段成比例的应用，其中辅助线的做法是解题关键．

15.【答案】 

【解析】解：如图所示，以为斜边作的，连接，，，
则∽，
，，
，
又，
，
∽，
，
则，
则在以为圆心，为半径的圆上运动，
，
当，，三点共线时，最大，最大值为，
故答案为：．
以为斜边作的，连接，，证明∽，得出则在以为圆心，为半径的圆上运动，当，，三点共线时，最大，即可求解．
此题考查了圆的有关性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，解题的关键是添加辅助线构造相似三角形．

16.【答案】解：，，，
，
，
，；
方程化简，得
，
因式分解，得

于是，得
或，
解得，． 

【解析】根据公式法，可得答案；
根据因式分解法，可得答案．
本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．

17.【答案】解：如图，点即为所求．
 

【解析】根据垂线的作图方法，过点作的垂线，垂足为点，则∽．
本题考查作图相似变换，熟练掌握相似的性质以及垂线的作图方法是解答本题的关键．

18.【答案】解：列表如下：

由上表可知，共种可能等可能的结果，其中摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数有种，
摸出的这两个小球上标有的数字之积是奇数的概率． 

【解析】根据题意先画出树状图得出所有等情况数，然后根据概率公式求解即可．
本题考查了利用列表与树状图求概率的方法：先通过列表或树状图展示所有等可能的结果数，再找出其中某事件所占有的结果数，然后根据概率的概念求出这个事件的概率．

19.【答案】解：设每件应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，
解得：，不合题意，舍去．
答：每件应降价元． 

【解析】设每件应降价元，则每件盈利元，每天可售出件，利用每天销售该服装获得的利润每件的利润日销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

20.【答案】解：设米，米．
，
∽，
，
  ，
由题意，，，
∽，
，
   ，
由解得，，
经检验，的分式方程组的解．
米． 

【解析】设米，米．利用相似三角形的性质，构建方程组求解即可．
本题考查相似三角形的性质，中心投影等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程组解决问题，属于中考常考题型．

21.【答案】解：当时，则，，
，
解得，
直线的解析式为；
设，，
当、为对角线时，
，
，
，
当、为对角线时，，
，
此时点、、、共线，故舍去，
当、为对角线时，
，
，
，，
综上：，或，；
证明：延长、分别交轴于，交轴于，设，

，，



，
的面积是个定值． 

【解析】首先求出点和的坐标，代入直线的函数表达式为，解方程即可；
设，，分三种情形，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式可得答案；
延长、分别交轴于，交轴于，设，表示出的面积即可．
本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，由特殊到一般，设出点的坐标，从而得出点和的坐标是解决问题的关键．

22.【答案】解：四边形是菱形，
，，
∽，
，
，
；
过点作于点，如图，

，，
，
，，
，
，
，
．
，
∽，
，
，
．
，
∽，
，
，
，
；
过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，如图，

，，，
四边形为矩形，
．
，，
，
，
，
．
是的中点，
，
，
．
．
，
，
，
．
，
∽，
，
，
．
，
，
，
．
，
∽，
，
，
．
；
连接，，与交于点，连接，，与交于点，与交于点，如图，

四边形是菱形，，
，，，，
，，
，
．
四边形是菱形，分别过点，作，的平行线，，
四边形是菱形，，
，，，，
，
．
．
和为旋转角，
，
∽，
．
∽，
．
在和中，
，，
，
． 

【解析】利用菱形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可；
过点作于点，利用菱形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理求得的长度，再利用相似三角形的判定与性质求得，，则；
过点作，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，利用菱形，矩形的判定与性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质和勾股定理解答即可得出结论；
连接，，与交于点，连接，，与交于点，与交于点，利用菱形的性质，旋转的性质和相似三角形的判定与性质得到∽，再利用相似三角形的性质得出结论；利用相似三角形的对应角相等，三角形的内角和定理和菱形的性质解答即可得出结论．
本题主要考查了菱形的性质，直角三角形的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握菱形和相似三角形的性质，恰当的添加辅助线是解题的关键．