2023-2024学年北京市朝阳区和平街一中九年级（上）调研数学试卷（9月份）（含解析）

2023-2024学年北京市朝阳区和平街一中九年级（上）调研数学试卷（9月份）

一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.下列方程中是一元二次方程的是(    )

A.  B.  C.  D.

2.用配方法解一元二次方程，此方程可化为的正确形式是(    )

A.  B.  C.  D.

3.二次函数的图象经过的象限是(    )

A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限

4.对于的性质，下列叙述正确的是(    )

A. 顶点坐标为 B. 当时，随增大而减小
C. 当时，有最大值 D. 对称轴为直线

5.一元二次方程的根的情况是(    )

A. 只有一个实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 有两个相等的实数根 D. 没有实数根

6.已知和是方程的两个根，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

7.已知点，是抛物线上两点，若，则与的大小关系是(    )

A.  B.  C.  D. 以上都有可能

8.如图，在平面直角坐标系中，有五个点，，，，，将二次函数的图象记为下列判断中：
一定不在上；
点，，可以同时在上；
点，不可能同时在上．
所有正确结论的序号是(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）

9.请写出一个开口向下，对称轴为直线的抛物线的解析式______ ．

10.若关于的一元二次方程有一个根是，则的值为          ．

11.某厂家年月份的口罩产量统计如图所示，设从月份到月份，该厂家口罩产量的月平均增长率为，根据题意可得方程______ ．

12.正方形边长为，若边长增加，那么面积增加，则与的函数关系式是______．

13.将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后所得到的抛物线的解析式为______ ．

14.是关于的一元二次方程的根，则的值是______．

15.李伟同学在解关于的一元二次方程时，误将看作，结果解得，，则原方程的解为______ ．

16.一个人的旅游团到一家酒店住宿，酒店的客房只剩下间一人间和若干间三人间，住宿价格是一人间每晚元，三人间每晚元说明：男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付元
若该旅游团一晚的住宿房费为元，则他们租住了           间一人间；
若该旅游团租住了间一人间，且共有名男士，则租住一晚的住宿房费最少为          元

三、解答题（本大题共12小题，共68.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.本小题分
解方程：
；
．

18.本小题分
解方程：
；
．

19.本小题分
二次函数图象的顶点坐标是，并经过点，求这个二次函数的函数关系式．

20.本小题分
已知二次函数．
在平面直角坐标系中画出该函数的图象；
当时，结合函数图象，直接写出的取值范围．

21.本小题分
已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
求的取值范围；
若为正整数，且该方程的根都是整数，求的值．

22.本小题分
已知等边三角形的边、的长分别是关于的方程的两个实数根．
求的值．
求的面积．

23.本小题分
今年朝阳区在老旧小区改造方面取得了巨大成就，人居环境得到了很大改善某小区规划在如图宽为，长为的矩形地面上修筑同样宽的道路图中阴影部分，余下的部分种上草坪要使草坪的面积为，求道路的宽．

24.本小题分

如图，在中，，，，现有动点从点出发，沿射线方向运动，动点从点出发，沿射线方向运动，已知点的速度是，点的速度是，它们同时出发，设运动时间是．
当时，求的面积．
经过多少秒时，的面积是．

25.本小题分
已知关于的方程有两个实数根．
求证：无论取何值，方程总有两个实数根．
若▱的两边，的长是已知方程的两个实数根，当为何值时，▱是菱形？求此菱形的边长．

26.本小题分
单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度单位：与水平距离单位：近似满足函数关系．

某运动员进行了两次训练．
第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下：

根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系；
第二次训练时，该运动员的竖直高度与水平距离近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______填“”“”或“”．

27.本小题分
在中，，为内一点，连接，，延长到点，使得．
如图，延长到点，使得，连接，若，求证：；
连接，交的延长线于点，连接，依题意补全图若，用等式表示线段与的数量关系，并证明．

 

28.本小题分
在平面直角坐标系中，对于已知的点，，过点分别作轴和轴的垂线，，记点到直线的距离为，点到直线的距离为，若，则点到点的“特征距离”为，若，则点到点的“特征距离”为．
已知点
点到点的“特征距离”为______ ；
点在函数的图象上，若点到点的“特征距离”为，则点的坐标为______ ；
已知点，点，为平面内的动点，其中，均为非负数，且满足以为边作正方形、、、按顺时针方向排列，记线段上一动点到点的“特征距离”为，直接写出的最大值和最小值，以及相应的点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：，含有个未知数，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，不是整式方程，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
C.，即，是一元二次方程，故该选项正确，符合题意；
D.，含有次项，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；
故选：．
根据一元二次方程的定义，即可求解．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是的整式方程叫做一元二次方程．
本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：，
，
，
，
故选：．
移项，配方，即可得出选项．
本题考查了配方法解一元二次方程，能够正确配方是解此题的关键．

3.【答案】 

【解析】解：，
抛物线开口向上，顶点坐标为，
抛物线经过第一，二象限．
故选：．
由抛物线解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．
本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．

4.【答案】 

【解析】解：，
该函数的顶点坐标为，故选项A不符合题意；
当时，随的增大而减小，故选项B不符合题意；
当时，取得最小值，故选项C不符合题意；
对称轴为直线，故选项D符合题意；
故选：．
根据题目中的函数解析式，可以得到该函数的顶点坐标，从而可以判断；也可以得到当时，随增大而减小，从而可以判断；根据二次函数的性质，可以得到当时，取得最小值，即可判断；根据函数解析式可以直接写出对称轴，从而可以判断．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．

5.【答案】 

【解析】解：方程化为一般形式为，
，
该方程有两个相等的实数根，
故选：．
把方程化为一般形式，计算其判别式，即可求得答案．
本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：根据题意得，，
所以．
故选：．
根据根与系数的关系得到，，再利用完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算即可．
本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．

7.【答案】 

【解析】解：抛物线，
抛物线开口向上，对称轴为，
点，是抛物线上两点，且，
与的大小关系是．
故选：．
先求得抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的增减性得到结论．
本题主要考查的是二次函数的图象和性质，掌握二次函数图象和性质是解题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：由二次函数可知，对称轴为直线，顶点为，
点，
点在对称轴上，
，
点一定不在上；故正确；
，，，
三点不在一条直线上，且、关于直线对称，
点，，可以同时在上；故正确；
，
关于对称轴的对称点为，
，
三点不在一条直线上，
点，可能同时在上，故错误；
故正确结论的序号是，
故选：．
由二次函数可知，对称轴为直线，顶点为，然后根据二次函数图象上点的坐标特征进行分析判定即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．

9.【答案】答案不唯一 

【解析】解：依题意可知，抛物线解析式中二次项系数为负，已知对称轴为直线，
根据顶点式，得抛物线解析式为本题答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
开口向下，二次项系数为负，对称轴为直线，可根据顶点式写出满足条件的函数解析式．
主要考查了抛物线的对称轴、开口方向与抛物线顶点式的关系：顶点式，顶点坐标是，对称轴是直线时，开口向上，时，开口向下．

10.【答案】 

【解析】解：把代入，得
，
解得：，，
，
．
故答案是：．
把代入已知方程，列出关于的新方程，通过解新方程求得的值即可．
本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根一定满足该方程．

11.【答案】 

【解析】解：依题意得：．
故答案为：．
观察函数图象，找出该厂家月及月的口罩产量，再利用该厂家月份的口罩产量该厂家月份的口罩产量增长率，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

12.【答案】 

【解析】解：新正方形的边长为，原正方形的边长为．
新正方形的面积为，原正方形的面积为，
，
故答案为．
增加的面积新正方形的面积原正方形的面积，把相关数值代入化简即可．
考查列二次函数关系式；得到增加的面积的等量关系是解决本题的关键．

13.【答案】 

【解析】解：将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位后，得到的新的抛物线的解析式为：．
故答案为：．
根据二次函数图象的平移规律即可解答．
本题主要考查了二次函数图象的平移变换，掌握函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”是解答本题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：由题意得：
把代入方程中得：
，
，




，
故答案为：．
根据题意可得：把代入方程中得：，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答．
本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．

15.【答案】， 

【解析】解：由题意，得的解为，，
把代入方程，
解得：，
原方程为，
分解因式得，
解得，．
故答案为：，．
可先把代入方程，求出的值，然后再求出原方程的解即可．
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

16.【答案】

【解析】解：设该旅游团租住了间一人间，间三人间，
根据题意得：，
，
又，均为自然数，且，
，
他们租住了间一人间．
故答案为：；
当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少．
人，间，人，间，间，
租住一晚的住宿房费最少的租住方案为：租住的间一人间里面间住男士，间住女士，另租住间三人间，
此时租住一晚的住宿房费为元，
租住一晚的住宿房费最少为元．
故答案为：．
设该旅游团租住了间一人间，间三人间，利用该旅游团一晚的住宿房费租住一人间的间数租住三人间的间数，可得出关于，的二元一次方程，结合，均为自然数且，即可得出结论；
由“男士只能与男士同住，女士只能与女士同住，三人间客房可以不住满，但每间每晚仍需支付元”，可得出“当租住的三人间全部住满时，租住一晚的住宿房费最少”，结合男士、女士的人数及租住一人间的数量，可得出租住一晚的住宿房费最少的租住方案，再求出该方案租住一晚的住宿房费即可得出结论．
本题考查了二元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．

17.【答案】解：，
，
，
，；
，
，
，，
，． 

【解析】利用直接开平方法解答，即可求解；
利用因式分解法解答，即可求解．
本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．

18.【答案】解：，
，
，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，，
，． 

【解析】先将一元二次根式变为一般形式，然后用公式法解方程即可；
用因式分解法解方程即可．
本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．

19.【答案】解：因为二次函数图象的顶点坐标是，
设二次函数解析式为，
把代入，
得，
解得，
所以二次函数解析式为：． 

【解析】已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式，然后把代入即可得到抛物线解析式．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．

20.【答案】解：抛物线的顶点坐标为，
当时，，则抛物线与轴的交点坐标为；
根据对称轴为直线，得抛物线必过点，
当时，，解得，，则抛物线与轴的交点坐标为，；
过以上五点描点、连线作出抛物线，如图，

抛物线的顶点坐标为，且，
当时，有最大值为；
当时，，
当时，． 

【解析】先解方程得抛物线与轴的交点坐标为，，再确定抛物线的顶点坐标和与轴的交点坐标，然后利用描点法画二次函数图象；
当时，函数有最大值为；当时，，即可得出结论．
本题主要考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．

21.【答案】解：依题意，得．
，
即的取值范围是．
为正整数，
或，
当时，方程为的根不是整数；
当时，方程为的根，，都是整数．
综上所述，． 

【解析】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出的值和的范围是解此题的关键．
根据题意得出，代入求出的值即可；
求出或，代入后求出方程的解，即可得出答案．

22.【答案】解：是等边三角形，
，
边、的长分别是关于的方程的两个实数根，
，
，
，
，
；
，
，
的面积． 

【解析】判断出，构建方程求出即可；
利用等边三角形的面积是边长计算即可．
本题考查根与系数的关系，等边三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

23.【答案】解：设道路的宽米，
则，
解得：，舍去，
答：道路的宽是米． 

【解析】设道路宽为米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了米，进而即可列出方程，求出答案．
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案，另外还要注意解的合理性，从而确定取舍．

24.【答案】解：点的速度是，点的速度是，
当时，，，
，，

设经过秒的面积是面积的一半．
根据题意得：，
当时如图：

，
整理得，
解得舍去或．
当时如图：

，
整理得，
，无解．
当时如图：

，
整理得，
解得或舍去．
综上所述：经过秒或秒的面积是面积的一半． 

【解析】根据点的速度是，点的速度是，，，利用面积公式求解；
设经过秒的面积是面积的一半，则，，
进而表示出，，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论．
本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一，注意审题，分类讨论思想的应用．

25.【答案】证明：，
无论取什么数，方程总有两个实数根；

解：▱是菱形，
，
当时，
即时，▱是菱形，
把代入已知方程可得：，
解得：．
此菱形的边长为． 

【解析】由，即可判定无论取什么数，方程总有两个实数根；
由当时，▱是菱形，即可求得的值，然后代入原方程，即可求得时菱形的边长．
此题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质以及一元二次方程根的情况．此题难度适中，注意掌握方程思想的应用．

26.【答案】解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：，
，，
即该运动员竖直高度的最大值为，
根据表格中的数据可知，当时，，代入得：
，
解得：，
函数关系式为：；
。 

【解析】见答案；
设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，，
解得：或，
根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离，
第二次训练时，，
解得：或，
根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离，
，
，
，
故答案为：．
先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出、的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出的值即可得出函数解析式；
设着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用表示出和，然后进行比较即可．
本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用表示出和是解题的关键．

27.【答案】证明：在和中，

≌，
，
，
，
；
解：由题意补全图形如下：

．
证明：延长到，使，连接，，
，，
，
由可知，，
，
，
，
，
，
，
又，
． 

【解析】证明≌，由全等三角形的性质得出，证出，则可得出结论；
由题意画出图形，延长到，使，连接，，由可知，，证出，得出，由直角三角形的性质可得出结论．
本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理的逆定理，证明≌是解题的关键．

28.【答案】  或 

【解析】解：点到直线的距离为，到直线的距离为，
，
点到点的“特征距离”为．
故答案为：．
设点坐标为，
当时，解得或，
而此时或，
且，不符合题意，，不符合题意．
当时，解得或或或，
当时，，满足题意，
当时，，不满足题意，
当时，，符合题意，
当时，，不符合题意．
综上所述，点坐标为或．
故答案为：或．
如图：

，点，为平面内的动点，其中，均为非负数，且满足，
、在轴、轴上运动时，在矩形内运动，，
根据“特征距离”可知：当在轴上，与重合时，到点的“特征距离”最大，此时，；
如图：

当、在轴、轴上运动时，到、距离相等时，与重合，到点的“特征距离”最小，
过作轴交轴于，交于，过作于，过作轴于，
，，，
≌，
同理≌，
，，
设，，则，，
而，
，
解得，即，
中，，
，，
，，即，
综上所述，当时，到点的“特征距离”最大，此时，
当时，到点的“特征距离”最小，此时．
点到直线的距离为，到直线的距离为，即得点到点的“特征距离”为；设点坐标为，当时，可得或，检验均不符合题意．当时，得或或或，检验可知当，时，满足题意，故点坐标为或．
画出图形可知，当在轴上，与重合时，到点的“特征距离”最大，此时，；当到、距离相等时，与重合，到点的“特征距离”最小，过作轴交轴于，交于，过作于，过作轴于，可证≌，同理≌，即得，，设，，根据，可得，即，，即可得，．
本题考查新定义，涉及二次函数图象上点坐标特征、正方形性质的应用等，解题的关键是画出图形，数形结合列方程，求出的长度．