2023-2024学年北京市海淀区师达中学八年级（上）开学数学试卷（含解析）

2023-2024学年北京市海淀区师达中学八年级（上）开学数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕，则是的(    )

A. 中线
B. 中位线
C. 高线
D. 角平分线

2.已知三角形的两边长分别为和，则第三边的长可以是(    )

A.  B.  C.  D.

3.如图，已知，点在线段上不与点，点重合，连接若，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4.若一个正多边形的一个外角是，则这个正多边形的边数是(    )

A.  B.  C.  D.

5.如图，≌，点和点是对应顶点，点和点是对应顶点，过点作，垂足为点，若，则的度数为(    )

A.
B.
C.
D.

6.有下列四种说法：角的内部任意一点到角的两边的距离相等；到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等；在中的的平分线上任意一点到三角形三边的距离相等，其中正确的有(    )

A.  B.  C.  D.

7.如图，在和中，点、、、在同一条直线上，，，只添加一个条件，不能判断≌的是(    )

A.
B.
C.
D.

8.如图，在中，，将沿直线折叠，点落在点的位置，则的度数是(    )

A. 无法确定
B.
C.
D.

9.如图，平分，，分别是，上的点，，则与的数量关系一定满足的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.如图，在和中，，，，，连接，交于点，连接下列结论：；；平分；平分其中正确的个数为(    )

 

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）

11.等腰三角形的两条边长分别是，，那么这个等腰三角形的周长是______ ．

12.在中，若：：，，则 ______ ．

13.是内一点，且到三边的距离相等，若，则 ______

14.若、、满足，则以、、为边______ 填“能”或“否”构成三角形？若能构成三角形，则写出此三角形的周长______ ．

15.如图，是的中线，是的中线，于点若，，则长为          ．

 

16.如图，的度数是______．

 

17.如图，有一个，，，，一条线段，，分别在和过点且垂直于的射线上运动， ______ 时，才能使与全等．

18.如图，中，，，，，平分，如果、分别为、上的动点，那么的最小值是          ．
 

三、解答题（本大题共7小题，共46.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

19.本小题分
已知，，是的三边长．
若，，满足，试判断的形状；
化简：．

20.本小题分

如图，在中，，，的平分线交于点．
尺规作图：作的平分线交于点保留作图痕迹，不写作法
求的度数．

21.本小题分
观察下面图形，解答下列问题：

观察规律，把下表填写完整：

若一个多边形的内角和为，求这个多边形的边数和对角线的条数．

22.本小题分

已知：如图，点、、、共线，、相交于点，，，求证：．

23.本小题分
如图，点在上，，，且，，，，交于点求
的长度；
的度数．

24.本小题分
在中，平分交于点，点是射线上的动点不与点重合，过点作交直线于点，的角平分线所在直线与射线交于点．
如图，点在线段上运动．
若，，则______；
若，则______；
探究与之间的数量关系，并说明理由；
若点在射线上运动时，与之间的数量关系与中的数量关系是否相同？若不同，请写出它们之间的数量关系并说明理由．
 

25.本小题分

如图，在中，，，为的两条高．
求证：；
若过点作，交于点，求证：．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：由已知可得，
，
则为的角平分线，
故选：．
根据翻折的性质和图形，可以判断直线与的关系．
本题考查翻折变换、角平分线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

2.【答案】 

【解析】解：三角形的两边长分别为和，
第三边的长度范围为：．
故选：．
由三角形的两边长分别为和，可得第三边的长度范围即可得出答案．
此题考查了三角形的三边关系．注意已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于这两边的和．

3.【答案】 

【解析】解：为的外角，且，，
，即，
，
，
．
故选：．
由为的外角，利用外角性质求出的度数，再利用两直线平行内错角相等即可求出的度数．
此题考查了平行线的性质，以及外角性质，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键．

4.【答案】 

【解析】解：，即正多边形的边数是．
故选：．
根据多边形的外角和等于计算即可．
本题考查了多边形的外角和定理，掌握多边形的外角和等于，正多边形的每个外角都相等是解题的关键．

5.【答案】 

【解析】解：≌，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．
由全等三角形的性质可求得，由直角三角形的性质可得，进而可求解的度数．
本题主要考查全等三角形的性质，由全等三角形的性质求解的度数是解题的关键．

6.【答案】 

【解析】解：角的内部任意一点到角的两边的距离相等，是假命题；
在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，原命题是假命题；
角的平分线上任意一点到角的两边的距离相等，是真命题；
在中的的平分线上任意一点到三角形三边的距离相等，是假命题；
故选：．
根据角平分线的性质判断即可．
本题考查了角平分线的性质，是基础知识，需熟练掌握．

7.【答案】 

【解析】解：，
，
A、，，≌能判断≌，不符合题意；
B、，利用可以判断≌，不选项符合题意；
C、，不能判断≌，符合题意；
D、，能判断≌，不符合题意．
故选：．
先证明，再根据三角形全等的判定方法做出选择即可．
本题考查三角形全等的判定，根据、、、、判断三角形全等，找出三角形全等的条件是解答本题的关键．

8.【答案】 

【解析】解：如图，

由折叠的性质得：，
根据外角性质得：，，
则，
则．
故选：．
由折叠的性质得到，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
此题考查了翻折变换折叠问题以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．

9.【答案】 

【解析】解：如图，过点作于，于，

平分，，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
故选：．
由“”可证≌，可得，可得结论．
本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．

10.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形全等是解题的关键．由“”证明≌得出，，，正确；由三角形的外角性质得：，得出，正确；作于，于，则，由“”证明≌，得出，由角平分线的判定方法得出平分，正确；假设平分，证得≌，得出，与矛盾，错误．
【解答】解：，
，
即，
在和中，

≌，
，，，正确；
由三角形的外角性质得：，
，正确；
作于，于，如图，

则，
在和中，

≌，
，
平分，正确；
，
当时，才平分，
假设，
，
，
平分，
，
在和中，

≌，
，
，
，与矛盾，错误；
正确的个数有个．
故选：．

11.【答案】 

【解析】解：等腰三角形的两条边长分别为，，
由三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为，只能为，
等腰三角形的周长．
故答案为：．
根据已知条件和三角形三边关系可知；等腰三角形的腰长不可能为，只能为，依此即可求得等腰三角形的周长．
此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形三边关系等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．要求学生应熟练掌握．

12.【答案】 

【解析】解：设，则，，
，
，解得，
．
故答案为：．
设，则，，根据三角形的内角和定理得到，解出，然后代入进行计算即可．
本题考查了三角形的内角和定理：三角形的内角和为，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．

13.【答案】 

【解析】解：到三角形三边距离相等，
是内心，
，，都是角平分线，
，，
，
，
．
故答案为：．
根据到三角形三边距离相等，得到是内心，再利用三角形内角和定理和角平分线的概念即可求出的度数．
本题考查的是角平分线的定义和三角形的内心的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．

14.【答案】能   

【解析】解：，
，，，
，，，
，
以、、为边能构成三角形，
三角形的周长为：，
故答案为：能；．
根据偶次方、算术平方根、绝对值的非负性分别求出、、，根据三角形的三边关系判定能否构成三角形，再根据三角形的周长公式计算即可．
本题考查的是三角形的三边关系、非负数的性质，熟记三角形两边之和大于第三边是解题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：因为是的中线，
所以，
因为是的中线，
所以，
所以，
因为，
所以，
即，
解得：，
故答案为：．
由，，推出，再根据三角形的面积公式即可得出答案．
本题考查了三角形的面积、三角形的中线的性质等知识，理解三角形高的定义，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键．

16.【答案】 

【解析】解：如图可知：

是三角形的外角，
，
同理也是三角形的外角，
，
在中，，
．
故答案为：．
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得，，进而利用三角形的内角和定理求解．
本题考查三角形外角的性质及三角形的内角和定理，解答的关键是建立外角和内角的关系．

17.【答案】或 

【解析】解：为中点或在点时，和全等，
理由是：，，
，
当时，
在和中
，
≌；
当时，
在和中

≌；
故答案为：或．
中点或点时，和全等，分别利用定理进行判定即可．
考查全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，注意分类讨论思想在解题中的应用．

18.【答案】 

【解析】解：如图所示：

过点作于点，交于点，
过点作于点，
平分，
，
，此时最小．
中，，，，，，
，
，
，即的最小值为，
故答案为．
先作垂直于交于点，再作垂直于，根据角平分线的性质：角分线上的点到角两边的距离相等，即可找到动点和，进而求得的最小值．
本题考查了最短路线问题、角平分线的性质，解决本题的关键是找到使最小时的动点和．

19.【答案】解：，
且，
，
为等边三角形；
，，是的三边长，
，，，
原式． 

【解析】根据非负数的性质，可得出，进而得出结论；
利用三角形的三边关系得到，，，然后去绝对值符号后化简即可．
此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．

20.【答案】解：如图，即为所求；

，，
，
平分，平分，
，，
． 

【解析】根据角平分线的作法即可作的平分线交于点；
根据内角和定理求出，再根据角平分线定义求出，，再利用外角的性质求解．
本题考查了作图基本作图，三角形内角和定理和外角的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的作法．

21.【答案】    

【解析】解：

设多边形的边数为．
则，
解得．
对角线的条数为：条．
故答案为，，．
过边形的一个顶点可画出条对角线，那么过个顶点可以画出条对角线，根据两点确定一条直线，再把所得结果除以即可求得多边形的对角线的总条数；
根据内角和公式可得多边形的边数，把边数代入得到的公式即可求得相应的对角线条数．
主要考查三角形的内角和公式及边形对角线的条数的规律．根据一个顶点处的对角线条数得到边形对角线的条数的相应规律是解决本题的难点．

22.【答案】证明：，，
，，
在与中，
，
≌，
，
，
即． 

【解析】根据平行线的性质和证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据证明与全等解答．

23.【答案】证明：，，
，
在和中，
，
≌，
，，
；
解：≌，
，
，
．
．
在中，． 

【解析】利用证明判定≌，再利用全等三角形的性质可求出的长；
根据题证得的全等三角形，可得到，由于、互余，所以、互余，即是直角．
本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．．

24.【答案】解： 
，理由如下：
因为，，
所以，
所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以；
关系不同
当点在线段上，，
如图，若交于点，

由知：，，
因为，
所以，
所以，
因为，，且，
所以，，
即




；
当点在的延长线上，
如图，若交于点，

因为，
所以，
因为，
所以



；
综上，点在射线上运动时，或． 

【解析】解：因为，平分，
所以，
因为，，
所以，，
因为平分，
所以，
所以；
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以；
因为，，
所以，
所以，
因为平分，平分，
所以，，
所以，
因为，
所以，
所以，
所以；
故答案为：，，；
当点在线段上，如图，若交于点，

由知：，，
因为，
所以，
所以，
因为，，且，
所以，，
即




；
当点在的延长线上，如图，若交于点，

因为，
所以，
因为，
所以



；
综上，点在射线上运动时，或．
根据角平分线的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理即可求解；
根据三角形内角和定理先求出，再利用角平分线的性质和平行线的性质即可求解；
由即可推出数量关系；
分为点在线段上和点在的延长线上，分别作出图形，即可求解．
本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握分类讨论的思想，难点在于需要考虑点在线段上和点在的延长线上．

25.【答案】证明：、是高，
，
，，，
，
，，
，
，
在和中

≌，
．

，
，
，
，
≌，
，
在和中

≌，
，
，
即． 

【解析】求出，，，证出≌即可；
求出，，证≌，推出，即可得出答案．
本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线性质，三角形的内角和定理，垂直定义，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．