2023-2024学年北京市人大附中朝阳学校九年级（上）假期验收数学试卷（10月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市人大附中朝阳学校九年级（上）假期验收数学试卷（10月份）（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023-2024学年北京市人大附中朝阳学校九年级（上）假期验收数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过点的是(    )A.  B.  C.  D. 2.方程的解是(    )A.  B.
C. ， D. ，3.将一元二次方程通过配方转化为的形式，下列结果中正确的是(    )A.  B.  C.  D. 4.抛物线的对称轴是(    )A.  B.  C.  D. 5.关于二次函数，以下说法正确的是(    )A. 当时，随增大而减小 B. 当时，随增大而增大
C. 当时，随增大而减小 D. 当时，随增大而增大6.一元二次方程的根的情况是(    )A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 只有一个实数根 D. 没有实数根7.把长为的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为，依题意，可列方程为(    )A.  B.  C.  D. 8.如图，木杆斜靠在墙壁上，，米当木杆的上端沿墙壁下滑时，木杆的底端也随之沿着地面上的射线方向滑动设木杆的顶端匀速下滑到点停止，则木杆的中点到射线的距离米与下滑的时间秒之间的函数图象大致是(    )A.
B.
C.
D. 二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.请你写出一个二次函数，其图象满足条件：开口向下；与轴的交点坐标为此二次函数的解析式可以是______．10.若是一元二次方程的一个根，则______．11.点，是二次函数图象上的两个点，则______填“”，“”或“”．12.若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为          ．13.二次函数的最大值为______．14.正方形边长，若边长增加，则面积增加，与的函数关系式为          ．15.如图，在平面直角坐标系中，抛物线可以看作是抛物线经过若干次图形的变化平移、轴对称、旋转得到的，写出一种由抛物线得到抛物线的过程：          ．

 16.二次函数为常数，且中的与的部分对应值如下表： 下列结论：
；
当时，的值随的增大而减小；
是方程的一个根；
当时，．
其中正确的是______ ．三、计算题（本大题共1小题，共5.0分）17.解方程：．四、解答题（本大题共11小题，共63.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.本小题分
已知是方程的一个根，求代数式的值．19.本小题分
在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
求该抛物线的表达式；
将该抛物线向上平移______个单位后，所得抛物线与轴只有一个公共点．20.本小题分
如图，在中，，点是边上一点，垂直平分，交于点，交于点，连结，求证：．

 21.本小题分
已知二次函数．
求二次函数图象的顶点坐标及函数图象与轴的交点坐标；
画出二次函数的示意图，结合图象直接写出当函数值时，自变量的取值范围．22.本小题分
已知关于的一元二次方程．
求证：方程总有两个实数根；
若，且此方程的两个实数根的差为，求的值．23.本小题分

如图，已知抛物线与轴交于点和，与轴交于点．
求和的值；
求直线的解析式．
24.本小题分
电动自动车已成为市民日常出行的首选工具．据某市某品牌电动自行车经销商至月份统计，该品牌电动自行车月份销售辆，月份销售辆．
求该品牌电动自行车销售量的月均增长率；
若该品牌电动自行车的进价为元，售价为元，则该经销商至月共盈利多少元？25.本小题分
有这样一个问题：探究函数的图象与性质．
嘉瑶根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．
下面是嘉瑶的探究过程，请补充完整：
函数的图象与轴______ 交点；填写“有”或“无”
下表是与的几组对应值：则的值为______ ；
如图，在平面直角坐标系中，嘉瑶描出各对对应值为坐标的点请你根据描出的点，帮助嘉瑶画出该函数的大致图象；

请你根据探究二次函数与一元二次方程关系的经验，结合图象直接写出方程的根约为______ 结果精确到26.本小题分

在平面直角坐标系中，已知抛物线：．
抛物线的对称轴为 ______ ；抛物线与轴的交点坐标为______ ；
若抛物线的顶点恰好在轴上，写出抛物线的顶点坐标，并求它的解析式；
若，，为抛物线上三点，且总有，结合图象，求的取值范围．
27.本小题分
在中，，，点在射线上与，两点不重合，以为边作正方形，使点与点在直线的异侧，射线与射线相交于点．
若点在线段上，如图．
依题意补全图；
判定与的数量关系与位置关系，并加以证明．
若点在线段的延长线上，且为的中点，连接，，则的长为______ ．

 28.本小题分
在平面直角坐标系中，对于点，，给出如下定义：若且，我们称点是线段的“潜力点”已知点，．
在，，中是线段的“潜力点”是______；
若点在直线上，且为线段的“潜力点”，求点横坐标的取值范围；
直线与轴交于点，与轴交于点，当线段上存在线段的“潜力点”时，直接写出的取值范围．


答案和解析 1.【答案】 【解析】解：、在一次函数中，当时，，
直线不经过点，故选项A不符合题意；
B、在二次函数中，当时，，
抛物线经过点，故选项B符合题意；
C、在二次函数中，当时，，
抛物线不经过点，故选项C不符合题意；
D、在反比例函数中，不能为，
双曲线不经过点，故选项D不符合题意；
故选：．
根据反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征判断即可．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数函数图象上点的坐标特征，熟练掌握各函数图象上点的坐标特征是解题的关键．2.【答案】 【解析】解：，
，
得或，
，，
故选：．
先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．3.【答案】 【解析】解：，
，
．
故选：．
先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：
把常数项移到等号的右边；
把二次项的系数化为；
等式两边同时加上一次项系数一半的平方．4.【答案】 【解析】解：由题意得，对称轴为直线．
故选：．
依据题意，根据对称轴为直线，进而计算可以得解．
本题主要考查了二次函数的顶点式，解题时要熟练掌握并理解是关键．5.【答案】 【解析】解：抛物线的解析式为，
该抛物线的对称轴为直线，开口向下，
当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，
故选：．
根据二次函数的顶点式可以得出图象的对称轴和开口方向，从而确定函数的增减性．
本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记顶点式与图象的关系．6.【答案】 【解析】解：，
方程没有实数根．
故选：．
先计算出根的判别式的值得到，然后根据根得票表示的意义对各选项进行判断．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．7.【答案】 【解析】解：较长一段的长为，
较短一段的长为，
依题意得：．
故选：．
由题意设较长一段的长为，可得出较短一段的长为，根据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积，列出关于的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．8.【答案】 【解析】解：如图，过点作于点，

，
为中点，
为的中位线，即，
，，
，
则，
当点匀速向下滑动时，的长度随时间的变化满足一次函数关系，
由于，
的长度与下滑时间满足一次函数关系，且的最大值为，符合题意得只有选项，
故选：．
作，根据三角函数求得的长，从而得出其中位线的最大值，再由长度与下滑时间满足一次函数关系即可得出答案．
本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是根据点下滑是匀速得出一次函数关系及由中位线得出长度的最大值是解题的关键．9.【答案】答案不唯一 【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，能准确找出，是解题的关键．
根据二次函数的性质可得出，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，取，即可得出结论．
【解答】
解：设二次函数的解析式为．
抛物线开口向下，
．
抛物线与轴的交点坐标为，
．
取，时，二次函数的解析式为．
故答案为：答案不唯一．10.【答案】 【解析】解：把代入方程，得
，
解得．
故答案是：．
根据一元二次方程的解的定义把代入方程得到关于的一次方程，然后解关于的一次方程即可．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．解决此类问题通常把方程的根代入方程得到一个代数式的值或解关于某一个字母的一元一次方程．11.【答案】 【解析】解：把、代入二次函数得，
；，
所以．
故答案为．
由于知道二次函数的解析式，且知道、两点的横坐标，故可将两点横坐标分别代入二次函数解析式求出、的值，再比较即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，要明确：二次函数图象上点的坐标符合函数解析式．12.【答案】 【解析】解：关于的方程有两个不相等的实数根，
，
即，
．
故答案为：．
利用根的判别式进行计算，根据题意关于的方程有两个不相等的实数根，可得，即可得到关于的不等式，解答即可．
本题考查了根的判别式，要熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题关键．
一元二次方程根的情况与判别式的关系是：
方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
方程没有实数根．13.【答案】 【解析】【分析】
本题考查了二次函数的最值：当时，函数有最小值；当时，函数有最大值．
先利用配方法得到，然后根据二次函数的最值问题求解．
【解答】
解：，
由知当时，取得最大值，
故答案为：．14.【答案】 【解析】解：由正方形边长为，边长增加，增加后的边长为，
则面积增加．
故应填：．
增加的面积边长为的新正方形的面积边长为的正方形的面积，把相关数值代入即可求解．
解决本题的关键是得到增加的面积的等量关系，注意新正方形的边长为．15.【答案】将抛物线绕顶点顺时针方向旋转度，再向右平移个单位长度得到抛物线答案不唯一 【解析】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为，
将抛物线绕顶点顺时针方向旋转度，再向右平移个单位长度得到抛物线．
故答案为：将抛物线绕顶点顺时针方向旋转度，再向右平移个单位长度得到抛物线答案不唯一．
根据抛物线的顶点坐标和开口方向的变化进行解答．
本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线的平移问题转化为顶点的平移问题是关键．16.【答案】 【解析】解：由图表中数据可得出：随的增大先增大后减小，
二次函数开口向下，，
又时，，
，所以，故正确；
二次函数开口向下，且对称轴为，
当时，的值随值的增大而减小，故错误；
时，，
，
，
，
，
是方程的一个根，故正确；
时，，
时，，
时，，且函数有最大值，
当时，，故正确．
故答案为：．
根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
本题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．17.【答案】解：  ，

或，
解得，． 【解析】先把方程左边因式分解，使原方程转化为或，然后解两个一次方程即可．
本题考查了解一元二次方程的方法，掌握一元二次方程的常见解法是解题的关键．18.【答案】解：是方程的一个根，
把代入方程，得，
，



． 【解析】根据一元二次方程的解的定义得到，则，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．
本题考查一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了代数式求值．19.【答案】解：把点代入中，
得：，
解得，
；
． 【解析】【分析】
把点代入抛物线的解析式即可得出答案；
求出抛物线的顶点坐标，根据纵坐标即可得出答案．
【解答】
解：见答案；
由知抛物线的顶点坐标为，
把该抛物线向上平移个单位后，与轴的交点个数为，
故答案为：．
本题主要考查二次函数的图象与几何变换，待定系数法求二次函数的解析式．20.【答案】证明：因为，
所以．
因为垂直平分，
所以．
所以．
所以．
所以． 【解析】本题考查等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定，属于基础题．
由，垂直平分，可知，即可得出，即可得证．21.【答案】解：，
抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线；
当时，，
解得或，
函数图象与轴的交点坐标为，；
函数图象如图所示，

函数图象与轴的交点坐标为，；
观察函数图象知，时，的取值范围为：． 【解析】，即可求解；
结合画出函数图象，观察函数图象即可求解．
本题考查了抛物线与轴的交点，正确运用配方法求出顶点坐标是解题关键．22.【答案】证明：一元二次方程，

．
，
．
该方程总有两个实数根．
解：一元二次方程，
解方程，得，．
，
．
该方程的两个实数根的差为，
．
． 【解析】证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
用表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．23.【答案】解：抛物线解析式为，
即，
，；
当时，，则，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得，
直线的解析式为． 【解析】利用交点式写出抛物线解析式；
先根据抛物线解析式确定点坐标，然后利用待定系数法求直线的解析式．
本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．24.【答案】解：设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为，
根据题意列方程：，
解得不合题意，舍去，．
答：该品牌电动自行车销售量的月均增长率．

二月份的销量是：辆．
所以该经销商至月共盈利：元． 【解析】设该品牌电动自行车销售量的月均增长率为等量关系为：月份的销售量增长率月份的销售量，把相关数值代入求解即可．
根据求出增长率后，再计算出二月份的销量，即可得到答案．
本题考主要查了一元二次方程的应用．判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．25.【答案】解：无；
；
根据列表、描点、连线得出函数的图象，所画的图象如图所示：

、和． 【解析】【分析】
本题考查函数的图象及其画法，列表、描点、连线是画函数图象的常用方法，函数自变量取值范围，函数值的求法，函数图象与方程的关系．
函数的自变量的取值范围为；
把代入求出的值即可；
利用列表、描点、连线画出函数的图象；
方程的根，实际上就是函数的图象与轴的交点的横坐标，通过图象直观得出相应的的值．
【解答】
解：函数自变量的取值范围为，
函数的图象与轴无交点；
故答案为：无；
把代入得，，
故答案为：；
见答案；
方程的根，实际上就是函数的图象与轴的交点的横坐标，
由图象可知，的图象与轴的交点的横坐标约为、和，

方程的根约为、和．
故答案为：、和．26.【答案】   【解析】解：，
当时，，
所以抛物线的对称轴是直线，抛物线与轴的交点坐标是，
故答案为：，；

抛物线的顶点恰好在轴上；
抛物线的顶点坐标为，
把代入得：，
解得：，
抛物线的解析式为；

关于对称轴的对称点为，
关于对称轴的对称点为，
若要，则，
解得：．
根据对称轴是直线求出对称轴即可；把代入函数解析式求出即可；
把点代入，再求出即可；
先求出、关于直线的对称点坐标，再根据二次函数的性质和已知条件得出，再求出答案即可．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质等知识点，能综合运用知识点进行计算是解此题的关键．27.【答案】 【解析】证明：依题意补全图形，如图所示，

，；
，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
；
点是延长线上的点，
；
方法、如图，

，，
，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
；
，，
在中，根据勾股定理得，，
在中，根据勾股定理的，，
，
，，
，
，
故答案为．
方法、
同的方法得，，，，
，
，
点是的中点，
，
过点作于，过点作于，
，
，
，
，
，
，
，
，
≌，
，
，
是的中垂线，
，
根据勾股定理得，，
，
故答案为：．
依题意补全图形，如图所示，判断出≌即可；
方法、先判断出≌，得到，，得到直角三角形，利用勾股定理计算即可．
方法，先求出，进而求出，再求出，再判断出≌，进而判断出，即可得出结论．
此题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的性质和判定，垂直的判断方法，解本题的关键是判断出角相等．28.【答案】3
解：点为线段的“潜力点”，
且，

，
点在以为圆心，为半径的圆外．
，
点在线段垂直平分线的左侧．
，
点在以为圆心，为半径的圆上或圆内．
又点在直线上，
点在如图所示的线段上不包含点．
过点作轴，过点作轴，
由题意可知和是等腰三角形，
，，
．
的取值范围为：或． 【解析】解：在坐标系中找到，，三点，如图，

根据“潜力点”的定义，可知是线段的潜力点．
故答案为：；
见答案；
如图，当直线与半径长为的圆相切时，开始有“潜力点”，且点是“潜力点”；
过点作，
则，，
，
则；
点继续当下运动，如图，当点与点重合时，开始没有“潜力点”，且点不是“潜力点”；
此时；
如图，当点与，重合时，开始有“潜力点”，且点不是“潜力点”；
此时；
如图，当线段过点时，开始没有“潜力点”，且点不是“潜力点”；
此时，
，
．

综上所示，的取值范围为：或．

在坐标系中找到，，三点，根据坐标系中两点间的距离可直接得出结论；
经过分析可知，点在以为圆心，为半径的圆外，且在线段垂直平分线的左侧，且点在以为圆心，为半径的圆上或圆内．画出点的范围，找到此范围中符合题意的点，即可求解．
根据点的运动，可找到临界状态，画出图形，求出对应的的值即可．
本题属于一次函数综合题，考查了解两点间的距离，“潜力点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．