新高考数学一轮复习核心考点讲与练考点25 二项式定理及其应用(含解析）

考点25  二项式定理及其应用（核心考点讲与练）

1.二项式定理

(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N+)；

(2)通项公式：Tr＋1＝Can－rbr，它表示第r＋1项；

(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C.

2.二项式系数的性质

3.各二项式系数和

(1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n.

(2)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.

1.与二项展开式有关问题的解题策略

（1）求展开式中的第n项，可依据二项式的通项直接求出第n项．

（2）求展开式中的特定项，可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可．

（3）已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数．

2.（1）二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为：C(k＝0，1，2，…，n)．

（2）二项式定理给出的是一个恒等式，对于a，b的一切值都成立．因此，可将a，b设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令a，b等于多少时，应视具体情况而定，一般取“1、－1或0”，有时也取其他值．

3.一般地，若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．

4.二项式定理及通项的应用

(1)对于二项式定理，不仅要掌握其正向运用，而且应学会逆向运用与变形运用.有时先作适当变形后再展开较为简便，有时需适当配凑后逆用二项式定理.

(2)运用二项式定理一定要牢记通项Tk＋1＝Can－kbk，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，但用二项式定理展开后，具体到它们展开式的某一项时是不相同的，一定要注意顺序问题.

(3)在通项Tk＋1＝Can－kbk(n∈N+)中，要注意有n∈N+，k∈N，k≤n，即k＝0，1，2，…，n.

2.因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意给字母赋值是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法.赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1.

求展开式的指定项

1.（2021山东师范大学附属中学高三上期中）在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为65，则常数项为______.

【答案】60

【分析】由题设可得求n，再写出二项式展开式的通项，确定常数项对应的r值，即可求常数项.

【详解】由题设，令，则各项系数和为，而二项式系数和为，

∴，可得.

∴二项式展开式通项为，

当时，常数项为.

故答案为：

2.（2021吉林省桦甸市四中高三上10月月考）若二项式的展开式中所有项的系数和为，则展开式中二项式系数最大的项为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【分析】令可求得的值，再根据二项式系数的性质结合展开式的通项可求得二项式系数最大的项.

【详解】令可得，

所以，展开式有项，

所以二项式展开式中二项式系数最大的为第项，

，

故选：A.

3.（2021新疆克拉玛依市高三第三次模拟检测）若二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128，则该二项式展开式中含有项的系数为（    ）

A. 1344 B. 672 C. 336 D. 168

【答案】B

【分析】先求出，再写出二项式展开式的通项，令的指数等于5即可求解.

【详解】因为二项式的展开式中所有项的二项式系数和为128

所以，解得，

所以的展开式通项为：，

令可得，

所以该二项式展开式中含有项的系数为.

故选：B.

4．（2021安徽省怀宁中学高三上模拟测试）的展开式中项的系数为（    ）

A.140    B．    C．    D.1120

【答案】B

【分析】利用二项式定理求的展开式中，和项的系数，从而可求的展开式中项的系数．

【详解】，

的展开式的通项公式为，

令，得，所以；

令，得，所以；

令，得，所以，

所以的展开式中项的系数．

故选：B．

5.（2021北京市第十三中学高三上期中）在的展开式中，的系数为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【分析】首先求出展开式的通项，再令，即可求出，再代入计算可得；

【详解】解：二项式展开式的通项为

令，解得，所以，所以展开式中的系数为，

故选：A

二项式系数的性质或各项系数

1．若二项式的展开式中所有项的系数的绝对值的和为，则展开式中二项式系数最大的项为（    ）

A．    B．    C．    D．

【答案】A

【分析】令，根据展开式中系数的绝对值的和得到．再判断二项式系数最大的项为第4项，根据二项式定理计算得到答案．

【详解】令，可得展开式中系数的绝对值的和为，解得．

展开式有项，

二项式展开式中二项式系数最大的为第项，．

故选．

2.（2022年高考数学一轮复习）已知的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（    ）

A. 80 B. 160 C. 240 D. 320

【答案】D

【分析】令解得，再求得展开式的通项公式求解.

【详解】令得，解得，

则展开式的通项为，

则展开式中常数项为．

故选：D

二项式系数的性质及各项系数和

1.．（多选题）若，则下列选项正确的是（    ）

A．    B．

C．    D．

【答案】AD

【分析】令，求出，可判断选项A；根据多项式乘积运算法则，结合组合知识求出，可判断选项B；令，求出结合值，可判断选项C；利用展开式所有项系数和为，结合值，可判断选项D．

【详解】令，，所以A正确；

五项相同的因式相乘，要得到含的项，可以是五个因式中，一个取其他四个因式取2，或两个因式取其他三个因式取2，所以，所以B不正确；

令，则，

所以，所以C不正确；

展开式所有项系数和为，

令，得，

所以，所以D正确．

故选：AD．

2. 已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【分析】根据给定条件结合组合数计算公式变形和式的通项，再借助二项式性质即可得解.

【详解】依题意，，

当时，，

于是得

.

故选：B

1.（2020年全国统一高考（新课标Ⅰ））的展开式中x3y3的系数为（    ）

A. 5 B. 10

C. 15 D. 20

【答案】C

【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.

【详解】展开式的通项公式为（且）

所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：

和

在中，令，可得：，该项中的系数为，

在中，令，可得：，该项中的系数为

所以的系数为

故选：C

【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.

2.（2020年全国统一高考（新课标Ⅲ））的展开式中常数项是__________（用数字作答）．

【答案】

【分析】写出二项式展开通项，即可求得常数项.

【详解】

其二项式展开通项：

当，解得

的展开式中常数项是：.

故答案为：.

【点睛】本题考查二项式定理，利用通项公式求二项展开式中的指定项，解题关键是掌握的展开通项公式，考查了分析能力和计算能力，属于基础题.

一、单选题

1.（2022·全国·模拟预测）在的展开式中，记项的系数为，若，则展开式中所有项的系数和为（    ）

A. 648 B. 1296 C. 1944 D. 3888

【答案】D

【分析】先根据及二项式定理的有关知识得关于a的方程，解方程求得a的值，再利用赋值法求展开式中所有项的系数和即可.

【详解】由题意知，

即，解得或（舍去），

∴，

令，得展开式中所有项的系数和为.

故选：D.

2.（2022·山东淄博·一模）若，则（    ）

A. -448 B. -112 C. 112 D. 448

【答案】C

【分析】，然后根据二项式展开式项的系数计算即可.

【详解】，.

故选：C.

3.（2022·福建漳州·一模）已知二项式的展开式的所有项的系数和为32，则的展开式中常数项为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【分析】根据赋值法以及二项展开式的通项公式即可求出．

【详解】令，可得展开式的所有项的系数之和，得，

所以，

其通项，令，得，所以展开式中常数项为．

故选：A．

二、多选题

4.（2022·福建龙岩·一模）已知二项式的展开式中各项系数之和是，则下列说法正确的有（    ）

A. 展开式共有7项 B. 二项式系数最大的项是第4项

C. 所有二项式系数和为128 D. 展开式的有理项共有4项

【答案】CD

【分析】运用代入法，结合二项式系数和公式、通项公式以及二项式系数性质逐一判断即可.

【详解】因为二项式的展开式中各项系数之和是，

所以令可得：.

A：因为，所以展开式共有项，因此本选项说法不正确；

B：因为，所以二项式系数最大的项是第4项和第项，

因此本选项说法不正确；

C：因为，所以所有二项式系数和为，所以本选项说法正确；

D：由B可知：，当时，对应的项是有理项，

故本选项说法正确，故选：CD

5.（2022·全国·模拟预测）若，则下列结论正确的是（    ）

A. 若，、为整数，则

B. 是正整数

C. 是的小数部分

D. 设，若、为整数，则

【答案】ACD

【分析】求出、，可判断A的正误；取可判断B的正误；利用二项式定理可判断C的正误；分为偶数和为奇数两种情况分析讨论，结合二项式定理可判断D的正误.

【详解】对于A，，

所以，，，则，A对；

对于B，，

因为，不是正整数，B错；

对于C，因为

是正整数，

而，所以是的小数部分，C对；

对于D，因为，

当为偶数时，，

，

所以

，

所以，

即；

当为奇数时，，

，

所以

，

所以，

即，D对.

故选：ACD.

6.（2022·河北·模拟预测）已知的展开式的常数项为16，则（    ）

A.  B.  C. 展开式中各项的系数之和为216 D. 展开式中的系数为12

【答案】AD

【分析】根据的展开式的常数项为16，求得，再由，利用通项公式及赋值法求解.

【详解】依题意，，

∴.

∴，

∴展开式中的系数为，

展开式中各项系数之和为，

故选：AD.

7.（2022·浙江·模拟预测）已知，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】BC

【分析】比较等式两侧x的最高次知且判断A、B；将C中等式两侧乘，再令验证即可；对已知等式两侧求导，将代入求值判断D.

【详解】由等式右边最高为项，且不含项，则且，即，故A错误，B正确；

所以.

C：等式两边同乘，原等式等价于，令，则，正确；

D：，可得：，令，则，错误；

故选：BC

三、填空题

8.（2022·海南·模拟预测）在的展开式中，的系数是___________.

【答案】112

【分析】由二项式定理求解

【详解】由二项式定理知的展开式的通项为

令得

故

故答案为：112

9.（2022·福建漳州·二模）已知的展开式中的系数为____________

【答案】240

【分析】写出二项式展开式的通项公式，根据其通项公式可求得答案.

【详解】 展开式的通项公式为：

，

令 ，则，

故的系数为 ，

故答案为：240

10.（2022·天津·一模）在的展开式中，的系数是___________.

【答案】60

【分析】利用二项式定理通项公式求出答案.

【详解】的展开式通项公式，令得：，故，所以的系数是60.

故答案为：60

11.（2022·北京·模拟预测）在的展开式中，常数项为______.（用数字作答）

【答案】12

【分析】由二项式写出展开式的通项，进而确定常数项对应的r值，即可求常数项.

【详解】由题设，，

当时，常数项为.

故答案为：12.

12.（2022·湖南·雅礼中学一模）展开式中的常数项为______.

【答案】4246

【分析】根据二项式展开式的通项即可求解.

【详解】的展开式的通项:
,5,6.
的展开式的通项：
,.
两通项相乘得:，

令，得，

所以满足条件的有三组:，

故常数项为.

故答案为：4246.

13.（2022·全国·模拟预测）已知，若，则___________.

【答案】

【分析】令，即可求得，再令，结合，即可求得结果.

【详解】令，可得，所以，

令，得，得.

故答案为：.

14．（2022·北京·二模）二项式的展开式中的系数为21，则__________.

【答案】7

【分析】写出二项式展开式通项，根据已知条件有，即可求n值.

【详解】由题设，展开式通项为，而的系数为21，

所以，即且，可得.

故答案为：7

15．（2022·广东湛江·二模）的展开式中常数项为___________.

【答案】

【分析】先求得展开式的通项公式，再分别用81乘以的展开式中的常数项和乘以的展开式中含 的一次项的两种情况求解.

【详解】展开式的通项公式为，

当81乘以时，令，解得，常数项为；

当乘以时，令，解得，常数项为 ；

所以的展开式中的常数项为

故答案为：

16．（2022·广东潮州·二模）设，则______．

【答案】9

【分析】令，可求得，再根据二项式定理可求出的值，进而求出结果.

【详解】在中，

令得，，，

所以，．

故答案为：.

17．（2022·浙江·模拟预测）若的二项展开式中各项的二项式系数和为64，则___________；展开式中常数项为___________.

【答案】     6    

【分析】根据二项式系数和求出，再由二项展开式的通项公式求出常数项即可.

【详解】由于，则，

所以的展开式的通项公式，

令，解得，故常数项为.

故答案为：6；

18．（2022·江苏无锡·模拟预测）(1)若数列的通项公式为，则该数列中的最小项的值为__________．

(2)若的展开式中含有常数项，则n的最小值等于__________．

(3)如图所示的数阵中，用表示第m行的第n个数，则以此规律为__________．

(4)的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.已知，且，有下列结论：①；②；③，时，的面积为；④当时，为钝角三角形．其中正确的是__________填写所有正确结论的编号

【答案】     ##     2          ①②④

【分析】(1)令，求导判断单调性，根据f(x)单调性即可求单调性和最小项的值；

(2)求的通项，令其通项x的次数为0或－3，求出对应的n的最小值，比较即可得出n的最小值；

(3)规律：①设第n行第1个分数的分母为，则有，；②从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和﹒根据这两个规律即可求出；

(4)①根据即可求出t的范围；②结合余弦定理和即可求出m的范围；③求出b、c，根据三角形面积公式即可求面积；④利用余弦定理判断cosC的正负即可判断三角形为钝角三角形.

【详解】(1)令，

则，令，解得，

单调递减，

单调递增，

∴数列在1≤n≤12时递减，在n≥13时递增，

∵n＝12离更近，故当时，数列取得最小值；

(2)的展开式的通项为，

由题意，令得，则r＝4时，n取最小值5；

令得n＝，则r＝2时，n取最小值2.

综上，n的最小值为2.

(3)由题可知，设第n行第1个分数的分母为，

则有，，

累加可得，故第6、7行第一个分数分母分别为28、36.

观察数阵，不难发现，从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于上一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和，据此可求出第6行第二个分数分母为21＋37＝58，第7行第2个分数分母为28＋58＝86，第8行第2个分数分母为36＋86＝122，如图所示.

故为：.

(4)对于①，根据题意，若，则，故可设.

则有，则，变形可得，故①正确；

对于②，，

又，∴，

，∴，∴，故②正确；

对于③，当时，，

则有，则a边上的高为，

∴，故③错误；

对于④，当时，，则，

则，故C为钝角，为钝角三角形，故④正确.

故正确的有：①②④.

故答案为：；2；；①②④.