高中人教A版 (2019)第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积学案及答案

8.3.2　圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

第1课时　圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

知识点一　圆柱、圆锥、圆台的表面积

1．旋转体的表面积

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间的关系

S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r′＋r)lS圆锥侧＝πrl.

知识点二　圆柱、圆锥、圆台的体积几何体的体积

1．对于柱体、锥体、台体的体积公式的三点认识

(1)等底、等高的两个柱体的体积相同．

(2)等底、等高的圆锥和圆柱的体积之间的关系可以通过实验得出，等底、等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍．

(3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系．

V＝ShV＝(S′＋＋S)hV＝Sh.

2．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．

3．计算圆柱、圆锥、圆台的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)过圆柱轴的平面截圆柱所得截面是矩形．(　　)

(2)锥体的体积等于底面积与高之积．(　　)

(3)圆台的高就是相应母线的长．(　　)

答案　(1)√　(2)×　(3)×

2．做一做

(1)已知圆柱的底面半径r＝1，母线长l与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为(　　)

A．6π  B．8π  C．9π  D．10π

(2)若圆锥的底面半径为1，高为，则圆锥的侧面积为________．

(3)已知某圆台的上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是________．

答案　(1)A　(2)2π　(3)

题型一  旋转体的表面积

例1　如图所示，在边长为4的正三角形ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，D为BC的中点，H，G分别是BD，CD的中点，若将正三角形ABC绕AD旋转180°，求阴影部分形成的几何体的表面积．

[解]　该旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的几何体．

令BD＝R，HD＝r，AB＝l，EH＝h，

则R＝2，r＝1，l＝4，h＝.

所以圆锥的表面积S1＝πR2＋πRl＝π×22＋π×2×4＝12π，圆柱的侧面积S2＝2πrh＝2π×1×＝2π.

所以所求几何体的表面积S＝S1＋S2＝12π＋2π＝(12＋2)π.

求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成多个基本几何体，再通过这些基本几何体的表面积进行求和或作差，从而获得几何体的表面积，另外有时也会用到将几何体展开求其展开图的面积进而得表面积．

圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为(　　)

A．81π  B．100π  C．168π  D．169π

答案　C

解析　圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为

l＝ ＝

＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.

故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，

S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.

题型二  旋转体的体积

例2　如图是一个几何体的三视图，其中主视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则该几何体的体积是(　　)

A.  B.  C.  D.

[解析]　由三视图，可知给定的几何体是一个圆锥的一半，故所求的体积为××π×12×＝.

[答案]　B

　空间几何体体积问题的常见类型及解题策略

(1)求简单几何体的体积，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解．

(2)求以三视图为背景的几何体的体积，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．

将一个圆形纸片沿半径剪开为两个扇形，其圆心角之比为3∶4，再将它们卷成两个圆锥侧面，求这两个圆锥的体积之比．

解　设圆的半径为r，则两个圆锥的母线长为r.

由已知可得两个圆锥的底面半径分别为

＝r，＝r，

所以两圆锥的体积之比为

＝.

题型三  组合体的表面积与体积

例3　如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD内过点C作l⊥CB，以l为轴旋转一周．求旋转体的表面积和体积．

[解]　如题图，在梯形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，

∴CD＝＝2a，AB＝CDsin60°＝a.

∴DD′＝AA′－2AD＝2BC－2AD＝2a.

∴DO＝DD′＝a.

由于以l为轴将梯形ABCD旋转一周后形成的几何体为圆柱中挖去一个倒放的与圆柱等高的圆锥．

由上述计算知，圆柱的母线长为a，底面半径为2a，圆锥的母线长为2a，底面半径为a.

∴圆柱的侧面积S1＝2π·2a·a＝4πa2，

圆锥的侧面积S2＝π·a·2a＝2πa2，

圆柱的底面积S3＝π(2a)2＝4πa2，

圆锥的底面积S4＝πa2.

∴组合体上底面面积S5＝S3－S4＝3πa2.

∴旋转体的表面积S＝S1＋S2＋S3＋S5＝(4＋9)πa2.

又由题意知形成的几何体的体积为一个圆柱的体积减去一个圆锥的体积．

V柱＝Sh＝π·(2a)2·a＝4πa3.

V锥＝S′h＝·π·a2·a＝πa3.

∴V＝V柱－V锥＝4πa3－πa3＝πa3.

　求组合体的表面积与体积的方法

(1)求解几何体的体积与表面积时还经常用割补法．补法是指把不规则(或复杂的)几何体延伸或补成规则的(或简单的)几何体，把不完整的图形补成完整的图形；割法是把不规则的(或复杂的)几何体切割成规则的(或简单的)几何体．

(2)解答本题时易出现忘加圆锥侧面积或忘减去圆锥底面积的错误，导致这种错误的原因是对表面积的概念掌握不牢．

若直角梯形的一个底角为45°，下底长为上底长的，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是(5＋)π，求这个旋转体的体积．

解　如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，∠B＝45°，绕AB边所在直线旋转一周后形成由一个圆柱和一个圆锥组合而成的几何体．过点C作CE⊥AB于点E，

设CD＝x，AB＝x，

则AD＝CE＝BE＝AB－CD＝，BC＝x.

S表＝S圆柱底＋S圆柱侧＋S圆锥侧＝π·AD2＋2π·AD·CD＋π·CE·BC＝π·＋2π··x＋π··x＝πx2.

根据题设，πx2＝(5＋)π，则x＝2.

所以旋转体的体积V＝π·AD2·CD＋·CE2·BE＝π×12×2＋×12×1＝.

1．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为(　　)

A．1∶2   B．1∶

C．1∶   D.∶2

答案　C

解析　设圆锥底面半径为r，则高h＝2r，∴其母线长l＝r.∴S侧＝πrl＝πr2，S底＝πr2，∴S底∶S侧＝1∶.故选C.

2．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝_______.

答案　

解析　∵圆锥SO的高为4，体积为4π，∴4π＝πr2，

∴r＝.

3．把圆柱沿轴截面剖开，取其中一块为底座，并在轴截面上设置一个四棱锥做成一个小玩具，直观图和正(主)视图如图所示，则该小玩具的体积为________．

答案　16π＋

解析　由主视图数据可知半圆柱的半径为2，母线长为8，四棱锥的底面是边长为4和8的矩形，高为4，所以体积V＝π×22×8＋×4×8×4＝16π＋.

4．一个圆台的侧面展开图如图所示，根据图中数据求这个圆台的表面积和体积．

解　设圆台的上底半径为r，下底半径为R.由题图知母线l＝8,2πr＝×16,2πR＝×24，

所以r＝2，R＝3.

S侧＝π×(2＋3)×8＝40π，

所以S表＝π×22＋π×32＋40π＝53π，

h＝＝＝3，

所以V＝(4π＋＋9π)×3＝19π.

5．已知底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积及体积．

解　作轴截面如图，设挖去的圆锥的母线长为l，底面半径为r，则r＝，AD＝，l＝ ＝＝3.

故几何体的表面积为

S＝πrl＋πr2＋2πr·AD

＝π××3＋π×()2＋2π××

＝3π＋3π＋6π

＝(3＋3＋6)π(cm2)．

几何体的体积为

V＝V圆柱－V圆锥＝π·r2·AD－πr2·AD＝π×3×－×π×3×＝2π(cm3)．