高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.3 简单几何体的表面积与体积学案设计

第2课时　球的表面积和体积

知识点　球的表面积和体积

1．球的表面积

如果球的半径为R，那么它的表面积S＝4πR2.

2．球的体积

如果球的半径为R，那么它的体积V＝πR3.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)决定球的大小的因素是球的半径．(　　)

(2)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．(　　)

(3)球的体积V与球的表面积S的关系为V＝S.(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)√

2．做一做

(1)若球的过球心的圆面圆周长是c，则这个球的表面积是(　　)

A.  B.  C.  D．2πc2

(2)表面积为4π的球的半径是________．

(3)直径为2的球的体积是________．

(4)已知一个球的体积为，则此球的表面积为________．

答案　(1)C　(2)1　(3)　(4)4π

题型一  球的表面积与体积

例1　(1)已知球的直径为6 cm，求它的表面积和体积；

(2)已知球的表面积为64π，求它的体积；

(3)已知球的体积为，求它的表面积．

[解]　(1)∵球的直径为6 cm，∴球的半径R＝3 cm.

∴球的表面积S球＝4πR2＝36π(cm2)，

球的体积V球＝πR3＝36π(cm3)．

(2)∵S球＝4πR2＝64π，∴R2＝16，即R＝4.

∴V球＝πR3＝π×43＝.

(3)∵V球＝πR3＝，∴R3＝125，R＝5.

∴S球＝4πR2＝100π.

　求球的体积与表面积的方法

(1)要求球的体积或表面积，必须知道半径R或者通过条件能求出半径R，然后代入体积或表面积公式求解．

(2)半径和球心是球的关键要素，把握住这两点，计算球的表面积或体积的相关题目也就易如反掌了．

(1)两个球的半径相差1，表面积之差为28π，则它们的体积和为________；

(2)已知球的大圆周长为16π cm，求这个球的表面积．

答案　(1)　(2)见解析

解析　(1)设大、小两球半径分别为R，r，则由题意可得

∴

∴它们的体积和为πR3＋πr3＝.

(2)设球的半径为R cm，由题意可知2πR＝16π，解得R＝8，

则S球＝4πR2＝256π(cm2).

题型二  球的截面问题

例2　一平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　)

A.π  B．4π  C．4π  D．6π

[解析]　利用截面圆的性质先求得球的半径长．

如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，

则OO′＝，O′M＝1，

∴OM＝ ＝，即球的半径为，

∴V＝π×()3＝4π.

[答案]　B

　球的截面的性质

(1)球的轴截面(过球心的截面)是将球的问题(立体几何问题)转化为平面问题(圆的问题)的关键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它来分析解决问题．

(2)用一个平面去截一个球，截面是圆面，如图，球的截面有以下性质：①球心和截面圆圆心的连线垂直于截面；②球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r满足关系d＝.

(1)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，若不计容器厚度，则球的体积为(　　)

A. cm3

B. cm3

C. cm3

D. cm3

(2)球的表面积为400π，一个截面的面积为64π，则球心到截面的距离为________．

答案　(1)A　(2)6

解析　(1)如图，作出球的一个截面，则MC＝8－6＝2(cm)，BM＝AB＝×8＝4(cm)．设球的半径为R cm，则R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，

∴R＝5，∴V球＝π×53＝π(cm3)．

(2)如图，由已知条件知球的半径R＝10，截面圆的半径r＝8，

∴球心到截面的距离h＝＝6.

题型三  球的组合体问题

例3　设长方体的长、宽、高分别为2a，a，a，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A．3πa2  B．6πa2  C．12πa2  D．24πa2

[解析]　作出图形的轴截面如图所示，点O即为该球的球心，线段AB即为长方体底面的对角线，长度为＝a，线段BC即为长方体的高，长度为a，线段AC即为长方体的体对角线，长度为＝a，则球的半径R＝＝a，所以球的表面积S＝4πR2＝6πa2.

[答案]　B

[条件探究]　将本例中长方体改为棱长为a的正四面体，则球的表面积如何求？

解　如图，过A作底面BCD的垂线，垂足为E，则E为△BCD的中心，连接BE.

∵棱长为a，∴BE＝a×＝a.

∴在Rt△ABE中，AE＝＝a.

设球心为O，半径为R，则(AE－R)2＋BE2＝R2，

∴R＝a，

∴S球＝4π×2＝πa2.

　1.正方体的内切球

球与正方体的六个面都相切，称球为正方体的内切球，此时球的半径为r1＝，过在一个平面上的四个切点作截面如图(1)．

2．长方体的外接球

长方体的八个顶点都在球面上，称球为长方体的外接球，根据球的定义可知，长方体的体对角线是球的直径，若长方体过同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，过球心作长方体的对角线，则球的半径为r2＝，如图(2)．

3．正四面体的外接球

正四面体的棱长a与外接球的半径R的关系为：2R＝a.

设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)

A．πa2  B.πa2  C.πa2  D．5πa2

答案　B

解析　由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，P为三棱柱上底面的中心，O为球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R＝OA满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2.

1．将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为(　　)

A.  B.  C.  D.

答案　A

解析　由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为2，所以球的半径为1，其体积是×π×13＝.

2．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为(　　)

A.  B．16π  C．9π  D.

答案　A

解析　如图，设球心为O，半径为r，则在Rt△AOE中，(4－r)2＋()2＝r2，解得r＝，∴该球的表面积为4πr2＝4π×2＝.

3．三个球的半径之比为1∶2∶3，那么最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的(　　)

A．1倍  B．2倍  C.倍  D.倍

答案　C

解析　设最小球的半径为r，则另外两个球的半径分别为2r,3r，其表面积分别为4πr2,16πr2,36πr2，故最大球是其余两个球的表面积之和的＝倍．

4．一个距离球心为的平面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为________．

答案　

解析　设所得的圆面的半径为r，球的半径为R，

则由π＝πr2，得r＝1，

又r2＋()2＝R2，∴R＝2.

∴V＝πR3＝.

5．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．

解　由题意知，圆锥的轴截面为正三角形，如图所示为圆锥的轴截面．

根据切线的性质知，当球在容器内时，水深CP为3r，水面的半径AC为r，则容器内水的体积为

V＝V圆锥－V球＝π·(r)2·3r－πr3＝πr3，

而将球取出后，设容器内水的深度为h，

则水面圆的半径为h，

从而容器内水的体积是V′＝π·2·h＝πh3，

由V＝V′，得h＝r.即容器中水的深度为r.