人教A版 (2019)必修 第二册8.6 空间直线、平面的垂直导学案及答案

8.6.3　平面与平面垂直

第1课时　平面与平面垂直的判定

知识点一　　　二面角的定义

1．有关概念：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面，棱为AB，面分别为α，β的二面角记作二面角.

2．二面角的平面角

(1)定义：以二面角的棱上任一点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．

(2)必备的三个条件：①角的顶点在二面角的棱上；②角的两边分别在二面角的两个半平面内；③角的两边分别与二面角的棱垂直．

3．二面角的大小及求法

(1)二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.

(2)二面角大小的求法

①作：依据题中的条件作出一平面角；

②证：证明所作出的平面角是二面角的平面角(用二面角的平面角的定义证)；

③求：求出这个平面角的大小即为二面角的大小(构造三角形解三角形来求)．

知识点二　　　两个平面互相垂直的定义

1．两个平面互相垂直的定义

(1)一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)图形

(3)表示：平面α与平面β垂直，记作.

2．两平面垂直的判定定理

(1)定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．

(2)符号表示：若，则.

(3)定理的作用：证两平面垂直．

1．证明两个平面垂直的主要途径

(1)利用面面垂直的定义．

(2)利用面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．

2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的．因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．

3．有助于判断面面垂直的结论

(1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β；

(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β；

(3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)二面角的平面角的大小与其顶点在二面角棱上的位置有关．(　　)

(2)二面角可以看成是一个半平面以其棱为轴旋转而成的．(　　)

(3)如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的一条直线，则α⊥β.(　　)

答案　(1)×　(2)√　(3)×

2．做一做

(1)在二面角α－l－β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　　)

A．AO⊥BO，AO⊂α，BO⊂β

B．AO⊥l，BO⊥l

C．AB⊥l，AO⊂α，BO⊂β

D．AO⊥l，BO⊥l，且AO⊂α，BO⊂β

(2)过一点可作________个平面与已知平面垂直．

(3)若∠AOB是锐二面角α－l－β的平面角，则l与平面AOB的位置关系是________．

(4)如图，空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么图中互相垂直的平面有________．

答案　(1)D　(2)无数　(3)l⊥平面AOB　(4)平面ABD⊥平面BCD，平面ACD⊥平面BCD

题型一  求二面角　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

例1　四边形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.

求：(1)二面角A－PD－C的平面角的度数；

(2)二面角B－PA－D的平面角的度数；

(3)二面角B－PA－C的平面角的度数．

[解]　(1)∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

∴PA⊥CD，又四边形ABCD为正方形，∴CD⊥AD，

∵PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD，又CD⊂平面PCD，

∴平面PAD⊥平面PCD.

∴二面角A－PD－C的平面角的度数为90°.

(2)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，

∴AB⊥PA，AD⊥PA.

∴∠BAD为二面角B－PA－D的平面角．

又由题意可得∠BAD＝90°，

∴二面角B－PA－D的平面角的度数为90°.

(3)∵PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，AC⊂平面ABCD，

∴AB⊥PA，AC⊥PA.

∴∠BAC为二面角B－PA－C的平面角．

又四边形ABCD为正方形，∴∠BAC＝45°.

即二面角B－PA－C的平面角的度数为45°.

[条件探究]　在本例中，若求二面角P－BC－D的平面角的度数又该如何解？

解　∵PA⊥平面ABCD，

BC⊂平面ABCD，AB⊂平面ABCD，

∴PA⊥BC，PA⊥AB.又BC⊥AB，且AB∩AP＝A，

∴BC⊥平面PAB，又PB⊂平面PAB，∴BC⊥PB.又AB⊥BC，

∴∠PBA为二面角P－BC－D的平面角．

在Rt△PAB中，AP＝AB.∴∠PBA＝45°.

∴二面角P－BC－D的平面角的度数为45°.

　1.确定二面角的平面角的方法

(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．

(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．

2．求二面角大小的步骤

(1)找出这个平面角；

(2)证明这个角是二面角的平面角；

(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小．

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上的一点，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小．

解　由已知得PA⊥平面ABC，

BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.

∵AB是⊙O的直径，且点C在圆周上，∴AC⊥BC.

又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC.

又PC⊂平面PAC，∴PC⊥BC.

又BC是二面角P－BC－A的棱，

∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角．

由PA＝AC知△PAC是等腰直角三角形，

∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°.

题型二  用定义法证明平面与平面垂直

例2　如图所示，在四面体A－BCD中，BD＝a，AB＝AD＝CB＝CD＝AC＝a.

求证：平面ABD⊥平面BCD.

[证明]　∵AB＝AD＝CB＝CD＝a，

∴△ABD与△BCD是等腰三角形．

∴取BD的中点E，连接AE，CE，

则AE⊥BD，BD⊥CE.

∴∠AEC为二面角A－BD－C的平面角．

在Rt△ABD中，AB＝a，

BE＝BD＝a，

∴AE＝＝a.

同理CE＝a.

在△AEC中，AE＝CE＝a，AC＝a，

∴AC2＝AE2＋CE2，∴AE⊥CE，即∠AEC＝90°，

即二面角A－BD－C的平面角为90°.

∴平面ABD⊥平面BCD.

　用定义证明两个平面垂直的步骤

利用两个平面互相垂直的定义可以直接判定两个平面垂直，判定的方法是：①找出两个相交平面的平面角；②证明这个平面角是直角；③根据定义，这两个平面互相垂直．

　如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.

证明：平面AEC⊥平面AFC.

证明　如图，连接BD，交AC于点G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.

由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.

由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，

可知AE＝EC.

又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.

同理可得FG⊥AC，所以∠EGF为二面角E－AC－F的平面角，

在Rt△EBG中，可得BE＝＝，

故DF＝.

在Rt△FDG中，可得FG＝＝.

在直角梯形BDFE中，由BD＝2，BE＝，DF＝，

可得EF＝.

从而EG2＋FG2＝EF2，所以EG⊥FG.

即二面角E－AC－F的平面角为90°，

所以平面AEC⊥平面AFC.

题型三  利用判定定理证明面面垂直

例3　如图，四边形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E，G，F分别为MB，PB，PC的中点，且AD＝PD＝2MA.求证：平面EFG⊥平面PDC.

[证明]　∵MA⊥平面ABCD，PD∥MA，

∴PD⊥平面ABCD.

又BC⊂平面ABCD，∴PD⊥BC.

∵四边形ABCD为正方形，∴BC⊥DC.

又PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC.

在△PBC中，G，F分别为PB，PC的中点，

∴GF∥BC，∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG，

∴平面EFG⊥平面PDC.

　证明面面垂直的方法

(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角．

(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”．

(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．

如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上．

求证：平面AEC⊥平面PDB.

证明　∵四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥BD，AC⊥PD，

又PD，BD为平面PDB内两条相交直线，

∴AC⊥平面PDB.

又AC⊂平面AEC，

∴平面AEC⊥平面PDB.

题型四  折叠问题

例4　如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，E为BC的中点，把△ABE和△CDE分别沿AE，DE折起，使点B与点C重合于点P.

(1)求证：平面PDE⊥平面PAD；

(2)求二面角P－AD－E的大小．

[解]　(1)证明：由AB⊥BE，得AP⊥PE，同理，DP⊥PE.

又∵AP∩DP＝P，∴PE⊥平面PAD.

又PE⊂平面PDE，

∴平面PDE⊥平面PAD.

(2)如图所示，取AD的中点F，连接PF，EF，

则易知PF⊥AD，EF⊥AD，

∴∠PFE就是二面角P－AD－E的平面角．

又PE⊥平面PAD，PF⊂平面PAD，∴PE⊥PF.

∵EF＝AB＝，

∴PF＝ ＝1，

∴cos∠PFE＝＝.

∴二面角P－AD－E的大小为45°.

折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量．

如图所示，在矩形ABCD中，已知AB＝AD，E是AD的中点，沿BE将△ABE折起至△A′BE 的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.

证明　如图所示，取CD的中点M，BE的中点N，

连接A′M，A′N，MN，则MN∥BC.

∵AB＝AD，E是AD的中点，

∴AB＝AE，即A′B＝A′E.

∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.

在四边形BCDE中，CD⊥MN，

又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN，

又A′N⊂平面A′MN，∴CD⊥A′N.

∵DE∥BC且DE＝BC，∴BE必与CD相交．

又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.

又A′N⊂平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.

1．下列命题：

①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b所成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个平面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．

其中正确的是(　　)

A．①③ B．②④ 

C．③④ D．①②

答案　B

解析　由二面角的定义知，①错误；a，b分别垂直于两个平面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③错误；由定义知④正确．故选B.

2.在四棱锥P－ABCD中，已知PA⊥底面ABCD，且底面ABCD为矩形，则下列结论中错误的是(　　)

A．平面PAB⊥平面PAD

B．平面PAB⊥平面PBC

C．平面PBC⊥平面PCD

D．平面PCD⊥平面PAD

答案　C

解析　由面面垂直的判定定理知：平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD，A，B，D正确．

3.如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角B－PA－C的大小为(　　)

A．90° B．60°

C．45° D．30°

答案　A

解析　因为PA⊥平面ABC，BA⊂平面ABC，CA⊂平面ABC，所以BA⊥PA，CA⊥PA.因此，∠BAC即为二面角B－PA－C的平面角，又∠BAC＝90°，所以二面角B－PA－C的平面角为90°.故选A.

4．如图所示，在三棱锥D－ABC中，若AB＝BC，AD＝CD，E是AC的中点，则平面ADC与平面BDE的关系是________．

答案　垂直

解析　易知BE⊥AC，DE⊥AC，∴AC⊥平面BDE.又AC⊂平面ADC，∴平面ADC⊥平面BDE.

5．在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，E为AB上的点，且AD＝AE＝DC＝2，BE＝1，将△ADE沿DE折叠到点P，使PC＝PB.

(1)求证：平面PDE⊥平面ABCD；

(2)求四棱锥P－EBCD的体积．

解　(1)证明：如图，取BC的中点G，DE的中点H，连接PG，GH，HP.

∴HG∥AB，又AB⊥BC，

∴HG⊥BC.

∵PB＝PC，∴PG⊥BC.

又HG∩PG＝G，

∴BC⊥平面PGH.

又PH⊂平面PGH，∴PH⊥BC.

∵PD＝PE，H为DE的中点，∴PH⊥DE.

∵BE∥DC，且DC＝2BE，∴DE与BC必相交，

∴PH⊥平面BCDE.而PH⊂平面PDE，

∴平面PDE⊥平面BCDE，

即平面PDE⊥平面ABCD.

(2)连接EC，AH，由(1)可知，PH为四棱锥P－BCDE的高．

∵DC∥AE，且AD＝AE＝DC＝2，∴四边形AECD为菱形．

∴CE＝AD＝2.而EB＝1，EB⊥BC，

∴BC＝＝，DE＝2.∴PH＝AH＝.

∴VP－BCDE＝·PH·S梯形BCDE＝×××(1＋2)×＝.