高中数学人教A版 (2019)必修 第二册8.1 基本立体图形学案设计

第1课时　棱柱、棱锥、棱台的结构特征

知识点一　　　空间几何体的定义、分类及相关概念

1．空间几何体的定义

2．空间几何体的分类及相关概念

知识点二　　　棱柱的结构特征

1．棱柱的定义、图形及相关概念

2．棱柱的分类及特殊棱柱

(1)按底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……

(2)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱．

(3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱．

(4)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱．

(5)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱．

知识点三　　　棱锥的结构特征

1．棱锥的定义、图形及相关概念

2.棱锥的分类及特殊的棱锥

(1)按底面多边形的边数，可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……

(2)正棱锥：底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥．

知识点四　　　棱台的结构特征

1．棱台的定义、图形及相关概念

2．棱台的分类

(1)依据：由几棱锥截得．

(2)举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……

1．几类特殊的四棱柱

四棱柱是一种非常重要的棱柱，平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)、直平行六面体(侧棱垂直于底面的平行六面体)、长方体、正四棱柱、正方体等都是一些特殊的四棱柱，它们之间的关系如下．

2．棱柱、棱锥、棱台之间的关系

棱柱、棱锥、棱台之间有着内在的联系：将棱台的上底面慢慢扩大到与下底面相同时，转化为棱柱；将棱台的上底面慢慢缩小为一点时，转化为棱锥．如图所示．

1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)棱柱的侧面可以不是平行四边形．(　　)

(2)各面都是三角形的多面体是三棱锥．(　　)

(3)棱台的上下底面互相平行，且各侧棱延长线相交于一点．(　　)

答案　(1)×　(2)×　(3)√

2．做一做

(1)有两个面平行的多面体不可能是(　　)

A．棱柱  B．棱锥

C．棱台  D．以上都错

(2)面数最少的多面体的面的个数是________．

(3)三棱锥的四个面中可以作为底面的有________个．

(4)四棱台有________个顶点，________个面，________条边．

答案　(1)B　(2)4　(3)4　(4)8　6　12

题型一  对棱柱、棱锥、棱台概念的理解

例1　下列命题中，真命题有________．

①棱柱的侧面都是平行四边形；

②棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共点；

③棱台的侧面有的是平行四边形，有的是梯形；

④棱台的侧棱所在直线均相交于同一点；

⑤多面体至少有4个面．

[解析]　棱柱是由一个平面多边形沿某一方向平移而形成的几何体，因而侧面是平行四边形，故①正确．棱锥是由棱柱的一个底面收缩为一个点而得到的几何体，因而其侧面均是三角形，且所有侧面都有一个公共点，故②正确．棱台是棱锥被平行于底面的平面所截后，截面与底面之间的部分，因而其侧面均是梯形，且所有的侧棱延长后均相交于一点(即原棱锥的顶点)，故③错误，④正确．⑤显然正确．因而真命题有①②④⑤.

[答案]　①②④⑤

　关于棱柱、棱锥、棱台结构特征问题的解题方法

(1)根据几何体的结构特征的描述，结合棱柱、棱锥、棱台的定义进行判断，注意判断时要充分发挥空间想象能力，必要时做几何模型通过演示进行准确判断．

(2)解决该类题目需准确理解几何体的定义，要真正把握几何体的结构特征，并且学会通过举反例对概念类的命题进行辨析，即要说明一个命题是错误的，设法举出一个反例即可．

下列关于棱锥、棱柱、棱台的说法：

①棱台的侧面一定不会是平行四边形；

②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；

③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥；

④棱柱的侧棱与底面一定垂直．

其中正确说法的序号是________．

答案　①②

解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥；④错误，棱柱的侧棱与底面不一定垂直.

题型二  对棱柱、棱锥、棱台的识别与判断

例2　如图长方体ABCD－A1B1C1D1，

(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？

(2)用平面BCEF把这个长方体分成两部分，各部分的几何体还是棱柱吗？

[解]　(1)是棱柱．是四棱柱，因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．

(2)截后的各部分都是棱柱，分别为棱柱BB1F－CC1E和棱柱ABFA1－DCED1.

[条件探究]　若本例(2)中将平面BCEF改为平面ABC1D1，则分成的两部分各是什么体？

解　截后的两部分分别为棱柱ADD1－BCC1和棱柱AA1D1－BB1C1.

　棱柱判断的方法

判断棱柱，依据棱柱的定义，先确定两个平行的面——底面，再判断其余面——侧面是否为四边形及侧棱是否平行．

判断下图甲、乙、丙所示的多面体是不是棱台？

解　根据棱台的定义，可以得到判断一个多面体是不是棱台的标准有两个：一是共点，二是平行，即各侧棱延长线要交于一点，上、下两个底面要平行，二者缺一不可．据此，在图甲中多面体侧棱延长线不相交于同一点，不是棱台；图乙中多面体不是由棱锥截得的，不是棱台；图丙中多面体虽是由棱锥截得的，但截面与底面不平行，因此也不是棱台.

题型三  空间几何体的展开图问题

例3　如下图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？

[解]　由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示：

所以(1)为五棱柱，(2)为五棱锥，(3)为三棱台．

　空间几何体的展开图

(1)解答空间几何体的展开图问题要结合多面体的结构特征发挥空间想象能力和动手能力．

(2)若给出多面体画其展开图，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面．

(3)若是给出表面展开图，则按上述过程逆推．

根据如下图所给的平面图形，画出立体图．

解　将各平面图折起来的空间图形如下图所示．

1．下列说法中，正确的是(　　)

A．棱柱中所有的侧棱都相交于一点

B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面

C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形

D．棱柱的侧棱相等，侧面是平行四边形

答案　D

解析　A选项不符合棱柱的特点；B选项中，如图①，构造四棱柱ABCD－A1B1C1D1，令四边形ABCD是梯形，可知平面ABB1A1∥平面DCC1D1，但这两个面不能作为棱柱的底面；C选项中，如图②，底面ABCD可以是平行四边形；D选项是棱柱的特点．故选D.

2．下列三种叙述，正确的有(　　)

①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．

A．0个  B．1个  C．2个  D．3个

答案　A

解析　本题考查棱台的结构特征．①中的平面不一定平行于底面，故①错误；②③可用如图的反例检验，故②③不正确．故选A.

3．下列图形中，不是三棱柱展开图的是(　　)

答案　C

解析　本题考查三棱柱展开图的形状．显然C无法将其折成三棱柱，故选C.

4．①棱锥的各个侧面都是三角形；

②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的几何体是棱锥；

③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面；

④棱锥的各侧棱长相等．

以上说法正确的序号有________．

答案　①③

解析　由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确；有一个面是多边形，其余各面都是三角形，如果这些三角形没有一个公共顶点，那么这个几何体就不是棱锥，故②错误；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故③正确；棱锥的侧棱长可以相等，也可以不相等，故④错误．

5．已知M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，求沿正方体表面从点A到M的最短路程是多少？

解　若以BC或DC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为2 cm,3 cm，故两点之间的距离为 cm，若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两条直角边的长度分别为1 cm，4 cm.故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从A到M的最短路程是 cm.