高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示学案

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册7.3* 复数的三角表示学案，共6页。
 7.3.1　复数的三角表示式知识点一　　　复数的三角形式(1)定义：r(cosθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．即z＝r(cosθ＋isinθ)，其中|z|＝r，θ为复数z的辐角．(2)非零复数z辐角θ的多值性：以x轴的非负半轴为始边，向量所在的射线(射线OZ)为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角．因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z)．知识点二　　　辐角的主值(1)定义及表示：在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π.(2)唯一性：复数z的辐角的主值是确定唯一的．特别注意：z＝0时，其辐角是任意的．1．在复数的三角形式中，辐角θ的值可以用弧度表示，也可以用角度表示，可以是主值，也可以是主值加2kπ或k·360°(k∈Z)．但为了简便起见，复数的代数形式化为三角形式时，一般将θ写成主值．2．两个非零复数相等当且仅当它们的模与辐角的主值分别相等．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－1＝cosπ＋isinπ.(　　)(2)2i＝2.(　　)(3)－3(cos200°＋isin200°)是复数的三角形式．(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)×2．做一做(1)将复数z1＝－1＋i表示成三角形式为________．(2)已知|z|＝2，argz＝，求复数z＝________.(3)若a<0，则a的三角形式是________．答案　(1)2　(2)－3i(3)－a(cosπ＋isinπ)题型一  复数的代数形式化为三角形式例1　把下列复数的代数形式化成三角形式：(1)＋i；(2)1－i.[解]　(1)r＝＝2，∵＋i对应的点在第一象限，∴tanθ＝＝，即θ＝，∴＋i＝2.(2)r＝＝.∵1－i对应的点在第四象限，且tanθ＝＝－1，∴θ＝，∴1－i＝.　复数代数形式化为三角形式的步骤(1)先求复数的模．(2)决定辐角所在的象限．(3)根据象限求出辐角(一般取其主值)．(4)求出复数三角形式．把下列复数表示成三角形式．(1)－2＋2i；(2)2.解　(1)原式＝2＝2.(2)原式＝2＝2.题型二  判断复数三角形式的条件例2　判断下列各式是否是复数的三角形式，若不是，把它们表示成三角形式．(1)；(2)－；(3)2；(4)sin＋icos.[解]　根据复数的三角形式的结构，z＝r(cosθ＋isinθ)，可依次作出判断．(1)不是.＝.(2)不是．－＝＝.(3)不是.2＝2.(4)不是．sin＋icos＝cos＋isin.　判断复数的三角形式的条件(1)r≥0；(2)加号连接；(3)cos在前，sin在后；(4)θ前后一致，可任意值．即“模非负，角相同，余正弦，加号连”．求复数z＝3的辐角主值．解　∵z＝3＝3，∴辐角主值argz＝.题型三  复数三角形式化为代数形式例3　把下列复数表示成代数形式．(1)4；(2)6.[解]　根据a＋bi＝r(cosθ＋isinθ)，可得a＝rcosθ，b＝rsinθ，故可解．(1)4＝4×＋4×i＝2＋2i.(2)6＝6×＋6×i＝3－3i.将复数的三角形式化为代数形式：由z＝r(cosθ＋isinθ)＝rcosθ＋irsinθ，可得a＝rcosθ，b＝rsinθ.将下列复数的三角形式化成代数形式．(1)z1＝2；(2)z2＝6(cos60°＋isin60°)．解　(1)z1＝2＝＋i.(2)z2＝6＝3＋3i. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．－6的辐角主值为(　　)A．0  B.  C．π  D．－答案　C解析　－6＝6(－1＋0·i)＝6(cosπ＋isinπ)，辐角主值θ＝π.故选C.2．下列说法正确的是(　　)A．已知复数z＝cos＋isin，则z的辐角主值为B．复数z＝2i＋3的虚部为2iC．(＋i)6＝－64D．复数z＝2i的三角形式为z＝2答案　C解析　A项，z的辐角主值argz＝，错误；B项，虚部为实数2，错误；C项，(＋i)6＝[(＋i)2]3＝(2＋2i)3＝8＋3×2×(2i)2＋3×22×(2i)＋(2i)3＝－64，正确；D项，z＝2(0＋i)＝2，错误．故C正确．3．复数－i的三角形式是________．答案　cos＋isin解析　－i＝cos＋isin，故复数－i的三角形式是cos＋isin.4．设复数z，z＋2的辐角主值为，z－2的辐角主值为，则z＝________.答案　－1＋i解析　设z＋2＝r1＝＋i，z－2＝r2＝－＋i.∴－2＋i＝2－＋i，易得∴r2＝r1，代入①得r1＝2，∴z＝1＋i－2＝－1＋i.5．设复数z满足z－3的辐角主值为，z＋1的模为，求复数z.解　设z＝x＋yi(x，y∈R)．由|z＋1|＝，得|(x＋1)＋yi|＝，∴(x＋1)2＋y2＝10.①又z－3＝(x＋yi)－3(x－yi)＝－2x＋4yi，所以 arg(z－3)＝⇔②解①②，可得x＝2，y＝－1.所以z＝2－i.